Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

рых F{. Обозначим

через

М%х момент

относительно

оси Ох равно­

действующей

всех

внешних

сил,

приложенных

к этой точке;

через

M'kx—момент

относительно

той

же

оси равнодействующей

всех

внутренних

сил, приложенных к той же точке;

через

Mkx—момент

относительно Ох равнодействующей всех приложенных к

точке сил,

как внешних, так и внутренних. Тогда

Mkx

= Mlx + M<kx.

Подставим это выражение

в первое из уравнений моментов (18.7),

написанное для этой

точки:

dt

= Mekx +

Mlkx.

Составим такие же уравнения для всех других точек системы и

просуммируем "Их почленно:

k=n

k — n

k=n

dl

k=\

d t

k=\

k=\

Согласно закону равенства

действия

и противодействия

внутрен­

ние силы системы попарно равны и действуют по одной

прямой в

внешних

сил системы относительно

той же

точки.

Интеграл

моментов

(для системы).

Если

Если сумма моментов всех

С у

М м а

моментов

относительно

какой-либо

внешних сил системы отно-

•'

„

сил системы

равна

сительно какой-либо оси рав-

оси Ох всех внешних

на нулю,

то сумма моментов

нулю

во все время движения, то по (192)

количеств

движения

точек

k=n

системы относительно этой

d

V4

,

р.

оси

постоянна

~л7 Z-t

^kx ~ и>

откуда получаем

интеграл моментов

* І \ ,= С.

(193)

k-i

Если

же (постоянно)

равна

нулю

сумма

моментов

всех внешних

сил системы

относительно точки, то

по (192"),

k—n

—

У

bL

- Ои

at

ko

— »

откуда следует, что

2 ^ 0 = 2 г л . 0 = с .

(193')

Таким образом, если сумма моментов относительно точки О всех

внешних

сил

постоянно

равняется

нулю,

то

вектор

кинетического

момента

системы

относительно

этой

точки

О остается

постоянным

во все время

движения.

Так как

вектор

L r j

l 0

сохраняет свое на­

правление в пространстве, то плоскость,

перпендикулярная

векто­

ру L r x - 0 ,

также остается

неизменной. Поясним

это примером.

поэтому кинетический

момент солнечной системы остается постоян­

ным по величине и направлению.

Зная скорость, массу

и положе­

ние

каждой планеты,

Лаплас, принимая планеты за материальные

точки, вычислил

кинетический

момент L r i .0

солнечной

системы и

определил

положение

плоскости, перпендикулярной к этому векто­

р у 1 .

Эта

плоскость

имеет большое значение в астрономии. Ее на­

зывают неизменяемой

плоскостью

Лапласа.

Только

что

перед

этим мы

показали, что

Земля под

действием

тики

не

может считаться

неизменной.

Притяжения планет

друг к

другу

являются внутренними

силами

для всей солнечной

системы

и не влияют на положение

неизменяемой плоскости Лапласа.

Пуансо

уточнил

вычисления Лапласа.

Он

рассматривал каждую

планету

как тело, движущееся по своей орбите

и вращающееся вокруг своей

оси, и добавил в уравнения новые

члены, вызванные вращением

абсолютную скорость, надо добавить к vr

переносную

скорость,

которой является

скорость веревки (среды).

Направления

относительной и переносной скоростей в

данном

случае

противоположны,

поэтому

абсолютная

скорость выразится их раз­

ностью,

и момент

количества

движения

человека

относительно

оси блока равен

Llx=—m

(vr—ve)r.

Знак минус поставлен потому, что

вектор

количества

движения

человека

направлен по

ходу

часов

относительно

оси

блока.

нет

У груза

В

имеется только

одна

скорость — скорость

ve

веревки.

Поскольку

относительной

скорости груза,

его

переносная

скорость

одновременно явля­

ется

и

абсолютной,

и момент

количества

движения

груза

равен

Lix=-\-mver.

Интеграл

моментов принимает следующий вид:

— m(vr

— ve)

г -f- mver = С.

Определим постоянную интеграции С. В начальное мгновение человек был

неподвижен. Скорость веревки тоже равнялась

нулю, следовательно,

С = 0. Ре­

шая

уравнение

относительно

ve,

находим

ответ.

со

скоростью

О т в е т .

Груз

будет

подниматься

вместе

с веревкой

масс системы

J

с центром масс и

относительного

движе­

ния относительно

осей x'Cy'z', движущихся

поступательно

вместе с

центром масс.

Чтобы определить это относительное движение, надо к силам,

действующим на

каждую

материальную частицу, добавить кориоли-

риолисовы

силы равны

нулю. Что же касается переносных

корио­

лисовых

сил,

то

при

переносном поступательном

дгижении

все они

параллельны

между

собой и направлены против

ускорения

центра

масс, а

по величине каждая равна произведению массы

частицы на

ускорение

центра масс.

Равнодействующая

таких

сил

равна

произ­

ведению

массы

системы

на ускорение

центра масс, и центр

парал­

лельных

сил,

в

котором

приложена

равнодействующая,

совпадает с

центром

масс.

Но,

по теореме Вариньона, момент равнодействующей силы

равен

сумме моментов составляющих, а следовательно,

сумма

моментов

всех кориолисовых сил

относительно

осей,

проходящих

через

центр