Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

можем дать самолету воображаемое перемещение по плоскости аэро дрома, которое не нарушает связи. Всякое мысленное бесконечно малое перемещение тела, материальной точки или механической си стемы, не нарушающее наложенной связи, называют возможным, или виртуальным, перемещением1. Так, в нашем примере для самолета виртуальным перемещением является всякое воображаемое бесконечно малое перемещение его по плоскости аэродрома. Перемещение, хотя бы мысленное, самолета над аэродромом не относится к числу вир туальных, так как оно нарушает связь.

			Реакции связи	направлены перпендику-
Реакция	идеальной связи		Л Я Р Н 0 виртуальным перемещениям. Плос-
направлена	перпендикулярно		костью виртуальных перемещений для рас-
виртуальным		перемещениям	сматриваемого	самолета является горизон
			тальная плоскость, реакции же аэродрома
на самолет		перпендикулярны виртуальным перемещениям, они верти
кальны.

Если тело находится на наклонной плоскости (см. рис. 5), то

виртуальным	его перемещением является перемещение по плоскости,
а реакция RlV	перпендикулярна этой плоскости. Отметим, что, го

воря о реакции, мы подразумеваем так называемую идеальную реак

цию, а не	реакцию	с	трением, как	называют	равнодействующую,
полученную	от сложения идеальной			реакции с	силой трения. О на
справлений	реакций	с	трением будет	сказано ниже (см. § 14). Реак

ции связей, осуществляемых в виде нитей и шарниров, будут разоб раны ниже в конкретных примерах и задачах.

С понятием связи и с виртуальными перемещениями мы ознако мимся более подробно в главах X I X и X X .

1 Лат. virtualis—возможный, который может быть.

Систему сил, линии действия которых пересекаются в од ной точке, называют систе мой сходящихся сил, или пучком сил

Г Л А В А III

СИСТЕМА сходящихся СИЛ

§ 5. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Метод последовательного сложения сил.

Изучение статики начнем с простейшего случая, а именно с системы сходящихся сил, т. е. таких сил, приложенных к твер дому телу, линии действия которых пере секаются в одной точке. Всякую силу

можно переносить вдоль линии действия. Мы имеем право перенести все эти силы в точку пересечения их линий действия и рассматри-

а)

Рис. 7

вать систему сходящихся сил как пучок сил, приложенных к одной материальной частице. Если все силы расположены в одной плоско сти, то пучок называют плоским пучком сил, или плоской системой сходящихся сил, в противном случае пучок называют пространст венным.

Одной из задач статики является преобразование систем сил в системы, им эквивалентные. Неуравновешенная система сходя щихся сил может быть заменена одной силой, эквивалентной данной системе сходящихся сил и называемой равнодействующей пучка сил. Определить величину и направление равнодействующей, или, как говорят, привести систему сходящихся сил к равнодействующей, можно различными способами.

Познакомимся сначала со способом последовательного сложения сил пучка по правилу параллелограмма.

Пусть дана система нескольких сил (например, четырех сил), линии действия которых пересекаются в точке О. Перенеся все силы к этой точке, изобразим их (рис. 7, а) в некотором масштабе векто рами: Рг ==ОЛ; F2 = OB; F3 = 0C; Fi = OD. Обратимся сначала к ка-

ким-либо двум из сил пучка, например к силам F1 и F s . Эти силы приложены к точке О и направлены под углом друг к другу. Можно заменить обе эти силы одной, изображаемой (в том же масштабе)

диагональю ОЕ параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Обозначим эту равнодействующую двух сил Rl2:

Ri,

= K +

Ft-

Мы имеем

теперь систему трех сил

R12,

и Fit

эквивалентную

системе четырех сил Flt

F2, F3 и Ft.

Складывая

по

правилу

параллелограмма

силу

R12

какой-либо

из оставшихся

сил

пучка,

например с

силой

Fs,

заменяя обе эти

силы одной силой

R1M,

изображаемой диагональю

ОК

параллело

грамма ОСКЕ,

мы

получим систему двух сил

R1M

и Ft,

причем

« 1 2 3 =

« 1 2 4" ^ 3

или, имея в виду

предыдущее

равенство,

« 1 2 3 = ^ г + ? г

+ Р а

складывая

по

закону

параллелограмма $ 1 2 3

F4 ,

найдем равно

действующую-всей системы четырех сходящихся сил:

OL^F. + F^F. +

F^R.

Этим методом последовательного сложения можно найти равно действующую любого количества сходящихся сил, в частности про странственной системы сходящихся сил, поскольку всякие две силы пространственного пучка обязательно лежат в какой-либо плоскости (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плосквсти), а равнодействующая двух этих сил лежит в какой-либо плоскости со всякой другой силой пучка. Символически это записывают так:

*=2iFі k	= R, или	проще: %F = R.	(1)
Как видно из хода	нашего	доказательства, последовательность,

в которой силы пучка складывают по правилу параллелограмма, не

влияет на результат,		т. е.	от перемены мест слагаемых геометричес
кая сумма не	изменяется		(рис. 7, а и	б).
—>•	—	— *	—*.	— — » .

^1284 ~ « 2 1 4 3 ~ « 2 4 3 1 = « 1 4 2 3 ^ « 1 2 4 3 = « 2 3 4 1 И Т - Д -

При построении силового многоугольника складывае мые силы чертят последова тельно одну за другой так, чтобы начало каждого век тора совпадало с концом предыдущего. Начало век тора равнодействующей сов падает с центром пучка, а конец — с концом послед него' приложенного вектора

Метод силового многоугольника. Взглянув на чертеж (рис. 7, а), нетрудно заметить, что, складывая силы пучка по методу последовательного применения правила параллелограмма, мы провели на этом чертеже много лишних линий. Для нахож дения равнодействующей 0L можно было не чертить линии BE, ОЕ, С/С, ОК., DL.

Равнодействующую OL можно найти значительно проще. Для этого нужно от конца одного из слагаемых векторов, на пример от точки А (рис. 8), отложить век

тор, равный и параллельный вектору какой-либо другой из слагае мых сил, например АЕ = ОВ. ЭТИМ положение точки £ вполне опре делено и нет надобности чертить линии BE и ОЕ предыдущего чертежа. Если складывать силы в той же последовательности, какой мы ТОЛЬКО ЧТО придерживались (см. рис. 7, а), то для нахождения

точки К надо отложить от точки Е вектор ЕК, равный вектору ОС, а для нахождения точки L нужно лишь отложить от точки К век тор KL, равный вектору OD. Но коль скоро точка L найдена, то для нахождения равнодействующей остается только провести век тор 0L.

Таким образом, для приведения системы сходящихся сил к рав нодействующей нужно от конца вектора одной из сил пучка отло

жить вектор, равный вектору какой-либо другой силы пучка, от его конца отложить вектор, равный вектору какой-либо


третьей		силы	пучка,	и т. д.,		пока	не будут таким				L
образом		отложены все силы				системы. Для нахож
дения равнодействующей системы сил нужно соеди
нить	центр пучка с			концом		последнего			отложен
ного	вектора.
Ломаную OAEKL				называют силовым					многоуголь D
ником.
Последовательность, в					которой			прикладывают
эти	векторы		друг к	другу,		не	имеет		значения,		Рис. 8
так как геометрическая сумма подчиняется										за
кону	переместительности,				т. е. не			зависит		от перемены мест сла
гаемых.		Но	нужно	твердо		помнить,			что	векторы	прикладывают

так, чтобы начало каждого последующего приложенного вектора

совпадало с концом предыдущего.	Тогда,	обходя	последовательно
вершины силового многоугольника	OAEKL,	будем	все время пере

двигаться в направлении, указанном стрелками, я только равнодей ствующая 0L направлена иначе: в точке L она соединяется с век тором KL концами, а в точке 0 (в центре пучка)—с вектором OA на чалами.

2 № 784

многоугольник был замкнут

Способ силового многоугольника справедлив для всякой системы векторов, приложенных к одной точке, однако он удобнее в приме

нении	к	плоским	пучкам,	так как	плоские	графические	построения
				просты и	наглядны.
				Условие	равновесия пучка сил в геометри-
Для равновесия системы схо-				ческой форме. Система сходящихся сил
дящихся	сил необходимо и			всегда может быть		приведена	к равнодей-
достаточно,		чтобы	силовой	„ г,		1	г

ствующеи R, за исключением одного слу-

чая: R — 0. Этот случай имеет особое зна чение для статики и на нем необходимо остановиться подробнее.

Если равнодействующая пучка сил равна нулю, то, следовательно, эквивалентна нулю и вся система сходящихся сил, т. е. наличие

Рис. 9

Рис. 10

системы эквивалентно ее отсутствию. Такие системы мы назвали уравновешенными. Следовательно, если равнодействующая системы сходящихся сил равна нулю, то система находится в равновесии. Очевидно, что справедливо и обратное заключение: если система сил находится в равновесии, то равнодействующая системы равна нулю.

В силовом многоугольнике равенство нулю равнодействующей выражается в том, что конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой силы, т. е. многоугольник является замк нутым. Замкнутость силового многоугольника является необходимым и достаточным условием равновесия пучка сил в геометрической фор ме 1 . Такой случай изображен на рис. 9 и может быть записан так:

2^ =

(2)

Задача № 1. Тело находится в покое

под

действием

трех

сил,

одна

из

кото

рых Fx=\2H

направлена

вертикально

вниз,

другая

F 2

9 н

направлена

горизонтально влево. Определить

величину

и направление

третьей силы

(рис. 10, а).

Решение.

Приступая к решению какой бы то ни было задачи, нужно

'внимательно

прочитать

условие, обязательно

уяснить,

что

именно

требуется

определить,

наме

тить

ход

решения и уже после этого приступать к

вычислениям.

Это

условие

доказано

впервые Стевином

(1605

г.) для

случая

трех

сил, две

из которых

взаимно

перпендикулярны, и

Робервалем

(1636

г.)—для

трех

произ

вольно направленных

сил.

В данной задаче

тело

находится

под

действием трех

сил, две из которых

даны, а третью

требуется найти. Тело

покоится,

следовательно, система действую

щих

на него сил находится

равновесии.

Так как

сил только

три и они непа

раллельны

и взаимно

уравновешены,

то линии

действия

их пересекаются в

одной

точке, т. е. мы имеем

пучок сил.

А 1р

Теперь

нетрудно

наметить

ход решения: рассмотреть равно-

Щ,

весие пучка

трех

сил, действую-

Iv^

щих

на тело, составить сило-

АШ

вой

многоугольник

(треуголь-

cj Ц

ник),

из которого

определить

неизвестную

силу.

Последовательность, в кото

рой

расположены силы много

угольника,

не

имеет

принци

пиального значения, однако

на

чинать построение следует всегда

с известных сил. Чертим вектор

силы

Л В = 12 н

и от его

кон

ца—вектор силы ВС= 9 н, при

б).

чем

желательно

соблюдать

масштаб' (рис. 10,

Но

на

тело

действует

еще

одна (неизвестная) сила, и силовой многоугольник должен быть замкнутым. Сле

довательно,

эта сила

должна

изображаться отрезком

СА.

Треугольник

ABC

прямоугольный,

потому

= CA = VЛВ2

+ ВС 2 = Y 122

+ 9' 2 =15 н

cos а = т

=15= 0,6.

О т в е т .

F3—

(1,53

кГ),

направлена

вправо

вверх

под

углом

a = arccos0,6

к горизонтали

и проходит

через

точку

пересечения линий

действия

двух данных сил.

ВС,

Тот

же результат

мы

получили бы, если

бы раньше начертили

силу

а от ее конца

провели

бы силу

АВ

(рис. 10, в).

стене АВ

Задача

№ 2.

(№ 2.19,

29 М1 ).

вертикальной

гладкой

подвешен

однородный

шар О на

веревке

АС,

Веревка

составляет

со

стеной

угол

а,

вес

шара Р . Определить натяжение

веревки Г и давление

Qiuapa на стену (рис. И , а).

Решение.

Первый вопрос,

который,

решая

задачу

по

статике, следует

перед

собой

поставить,

почти

всегда

бывает

один и тот же:

1) р а в н о в е с и е к а к о г о

о б ъ е к т а

( т о ч к и , т е л а )

н у ж н о

р а с

с м о т р е т ь ?

Ответить

на этот

вопрос

не всегда бывает просто. В данной задаче обе иско

мые силы (Q и Т) действуют

на стену:

шар давит

на стену с силой Q, а

натя

жение

веревки,

прикрепленной

в точке

А стены,

действует на стену по направ

лению

веревки вниз.

Между

тем за

отсутствием

всех

необходимых

данных (вес

и размеры

стены,

реакции

фундамента

и т. п.)

мы не имеем

возможности

рас

сматривать

равновесие

стены,

а потому

будем

рассматривать

равновесие

шара,

так

как

условии

задачи

относительно

него

приведены

необходимые

данные;

вес

его известен,

на

него

действуют

натяжение Т

веревки

и давление

(реакция)

стены, равное-и противоположное давлению шара

на стену. Итак,

на

первый

вопрос отвечаем: рассматриваем равновесие шара.

Второй

вопрос,

который

нужно

поставить

при

решении

задачи

по

статике,

тоже является

почти

трафаретным:

2) к а к и е с и л ы д е й с т в у ю т н а э т о т

о б ъ е к т ?

Здесь

и в дальнейшем

означает: И. В. М е щ е р с к и й .

Сборник

задач

по теоретической механике. «Наука», 1970.

Смотрите также файлы

Гольденберг Л.М. Импульсные и цифровые устройства учебник.pdf

Гриб В.К. Комплексная механизация прудового рыбоводства.pdf

Давыдов Л.К. Общая гидрология учебник.pdf

Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

Дудич И.И. Самодельные радиоэлектронные устройства.pdf

Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно