Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 257

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

масс, равна нулю. Поэтому теорема моментов для относительного движения системы выражается совершенно так же (192), как и для абсолютного, если переносное движение есть поступательное движе­ ние вместе с центром масс.

§ 45. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Главный момент количества движения вра-

Главный

момент

количества

Щающегося

 

„

т-, ,„„т

 

 

„„

 

„

движения

тела

относительно

тела.

Пусть

твердое тело

оси вращения равен произ-

вращается

вокруг

неподвижной

ОСИ.

По­

ведению

момента

инерции

строим систему координатных осей xOyz,

тела относительно оси вра-

приняв ось

вращения

за

ось

Oz.

Будем

щения на угловую

скорость:

*

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

,

г

 

рассматривать это

тело

как

состоящее из

 

г

г

 

множества

 

материальных

 

точек.

Тогда

главный момент количества движения тела относительно оси Oz определится формулой (186):

к~п

^ г л . z = 2 Щ [xkvky — ykvkx).

(186)

k— 1

 

Проекции скоростей точек вращающегося тела выразим формулами Эйлера:

 

 

vkx^—

Ук®> vky=+xk®-

 

 

 

(89)

Подставляя

(89) в (186)

и

вынося общий множитель со

за

знак

суммы,

получим

 

 

 

k=

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ Г

л . * =

<°

2

тк(х1

+

у \ ) .

 

 

 

Обозначим

 

 

 

к— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

/,=

2

 

ЩІ4+УІ)

 

 

 

 

(194)

 

 

 

 

k=i

 

 

 

 

 

 

и назовем эту сумму моментом

инерции

твердого

тела

относи­

тельно

оси 0ZX.

Тогда

1 . г л . г

= /г со.

 

 

 

(195)

 

 

 

 

 

 

Как видно из (194), момент инерции тела относительно оси равен

сумме произведений массы тк

 

каждой

материальной

частицы

на

квадрат

расстояния х%-\-у% = г%

этой частицы от оси и является ве­

личиной существенно положительной. Поэтому знак

L r , .г

всегда

совпадает со знаком со.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Словами равенство (195) можно выразить так: кинетический мо-

момент

вращающегося

тела

 

относительно

оси вращения

равен

произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно

той же

оси 2 .

 

1

Моменты инерции впервые ввел Гюйгенс (1673

г.), термин предложен

Эйлером

(J749 г.).

 

2

Равенство (195) впервые появляется у Пуансо (1824

г.) во 2-м издании «Эле­

ментов

статики».

 

Дифференциальным уравне­ нием вращения тела вокруг данной неподвижной оси Ог

является уравнение

ИЛИ

Дифференциальное уравнение вращения тела. Подставим выражение (195) в урав­ нение моментов (192):

j t J2a = М г л . г,

z d t ~

z'

(196)

 

Принимая во внимание известные из кинематики соотношения,

перепишем это равенство в следующей

форме:

 

/ г є

= ЛҐ г л . г ,

 

(196')

или

 

 

 

J z d t 2

— М г л - г -

(196")

 

Зная моменты внешних сил, приложенных к вращающемуся твер­ дому телу, можно найти вторую производную от угла поворота по времени. Интегрируя полученное уравнение, можно выразить угол поворота ср как функцию времени t и определить вращение тела. Конечно, при интегрировании появятся две постоянные, которые надо определить по начальным данным, т. е. по начальным значе-

dw

НИЯМ ф

и

^ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (196) называют дифференциальным уравнением вра­

щательного

движения твердого тела вокруг

неподвижной

оси.

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное

 

уравнение

плоского

Плоское

движение

тела

опи­

движения тела*. Если твердое тело дви­

жется

в

плоскости,

то

его

движение

мож­

сывают: уравнениями движе­

но

рассматривать

 

как

состоящее

из по­

ния центра масс и уравнени­

 

ем вращения

вокруг

цент­

ступательного

движения вместе с полюсом

ральной

оси,

перпендикуляр­

, и

относительного

 

вращательного

вокруг

ной плоскости

движения

оси, проходящей через

полюс

перпендику­

 

 

 

 

 

лярно

плоскости

движения.

 

 

 

 

При

относительном

движении

необходимо

учесть

кориолисовы

силы. Но если за полюс принять центр

масс

тела,

то,

как

было

показано,

момент

этих

сил

равен

нулю, а потому дифференциаль­

ные уравнения

плоского

движения

тела

имеют

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

тхс

= 2 Х'к, тус

= 2 Y%, Jzy

= 2 М\.

 

 

 

(197)

 

 

 

 

 

Задача

№

131. Шкив (рис. 191) радиуса

г =

20 см

 

 

 

 

и веса 3,27

кГ

приводится

во вращение

ременной

пере­

 

 

 

 

дачей. Определить натяжение

Тх ведущей и Т2

ведомой

 

 

 

 

ветвей

ремня,

считая

Т1

— 2Т2,

если шкив,

принимае­

 

 

 

 

мый за

тонкий обод,

вращается

с угловым

ускорением

 

 

 

 

 

1,5 сек.-2,

а момент

сопротивления

MCQnv

=

—

\кГ-м.

 

 

 

 

 

Решение.

Задача

задана

 

в технической

системе

 

 

 

 

 

единиц.

Примем при решении

Задачи

L

в см,

F — в кГ

 

 

 

 

 

и Г —

в

сек.

Составим

дифференциальное

 

уравнение

 

Рнс. 191

 

вращения

шкива.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Физическим маятником назы­ вают твердое тело, способное качаться относительно оси под действием собственного веса

На шкив действуют: момент натяжения ведущего ремня Мх = Тгг = 2Т2 л; момент натяжения ведомого ремня М2= — T t r \ момент сопротивлений Л 4 с о п р =—100 кГ-см; моменты прочих сил (вес шкива, реакции подшипников) равны нулю. Главный момент внешних сил относительно оси вращения равен алгебраической сумме со­ ставляющих моментов:

М г л = 7>20 — 100.

Момент инерции шкива, принимаемого за тонкий обод, равен сумме произве­

дений массы mk

каждой частицы обода

на квадрат

ее расстояния х\-\гУІ = г2 от

оси вращения шкива:

 

 

 

 

 

 

 

j= ^mkr2

= mr2,

J = 1,333

кГ-см-сек2.

Уравнение (196)

принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

1,333-1,5 = = 7 > 2 0 —100,

откуда находим

Т2.

Натяжение

7\

ведущего

ремня

вдвое больше.

О т в е т . 7 ! =

10,2 кГ, Г 2 = 5,1

кГ

или в

СИ 7^ = 100 м, Г 2 = 50 н.

Физический маятник. Твердое тело, за­ крепленное на горизонтальной или на наклонной оси так, что оно может качать­ ся относительно этой оси под действием собственного веса, называют физическим

маятником. Определим период качаний физического маятника на горизонтальной оси. Обозначим буквой ср угол, составляемый пло­ скостью, проведенной через ось подвеса О и центр масс С маятника

Ось nodSeca

т<р с

Рис. 192

Рис. 193

с вертикальной плоскостью. Будем считать, что на физический ма­ ятник действуют только его вес G и реакция оси подвеса (рис. 192). Для составления дифференциального уравнения качаний физического маятника воспользуемся (196)

J(p = — Gc sin ф.

Здесь J—момент инерции физического маятника относительно оси подвеса и с—расстояние центра масс от оси подвеса.

Если угол ф достаточно мал, то, полагая

в і п ф ^ ф ,

получим

 

 

Ф + 7 Ф =

0,

 

 

 

т. е. дифференциальное

уравнение,

уже проинтегрированное нами

в задаче № 126 и др. Оно описывает гармонические

колебания,

частота которых

 

 

 

 

 

 

 

а период

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ф

= 2я

Y к '

 

 

<198>

Длину

/ математического

маятника с таким же периодом качаний,

что и данный физический, называют приведенной

длиной

физического

маятника1.

Чтобы определить эту

длину,

приравняем

период т м

качаний математического

маятника

 

 

 

 

 

 

 

 

: 2 Л

Y

і

 

 

(i8g)

(см. стр. 320) периоду т ф

качаний

физического

маятника. Получим

 

 

 

/ П Р = 4 С .

 

 

 

(199)

Отложим от точки О (рис. 193) по прямой ОС отрезок OA, рав­ ный приведенной длине физического маятника. Точку А называют центром качания маятника, а ось, проведенную через центр качания параллельно оси подвеса маятника,—осью качания маятника. Если ось качания сделать осью подвеса, то период качаний не изменится. Это свойство использовано в «оборотном маятнике Катера» для гра­ виметрических измерений2 .

Моментом инерции твердого тела относительно оси называют меру инерции этого тела при его вращательном движении вокруг данной оси, выражающуюся суммой произведений массы каждой материальнои частицы тела на квадрат расстояния этой

частицы от данной оси: k=n

j = 2 ткг%

*=i

Момент инерции твердого тела относитель-

но оси.

Как видно из уравнений (196),

угловое

ускорение тела

зависит

не только

Q T м

о м е н

т а

приложенных

К нему

внешних

с и л >

 

 

r

J ,

тела от-

н о и

о т

момента инерции J

носительно оси вращения.

Чем больше мо-

мент

инерции

тела,

тем

больший враща-

ю щ и й

м о м

е н т нужен,

чтобы сообщить телу

 

 

3

'

 

3

заданное

угловое ускорение е.

Отсюда можно сделать заключение, что момент инерции твердого тела относительно оси вращения имеет такое же значение при вращательном движении тела, какое имеет

1

Задача

определения приведенной длины маятника была поставлена Мерсе-

ном

(1646 г.).

Над нею работали многие ученые (Декарт, Роберваль, Кавендиш,

Пикар и др.). Полное и точное решение этой задачи Гюйгенсом (1673 г.) явилось едва ли не первым случаем геометрического интегрирования, первым точным ре­ шением задачи по динамике твердого тела, первым введением понятия момента инерции и, безусловно, создало эпоху в развитии физико-математических наук.

2 Оборотный маятник создал Прони в 1792 г., т. е. на 25 лет раньше Катера (1817 г.).

масса тела при его поступательном движении или же масса одной материальной частицы при движении этой частицы.

Следовательно, момент инерции твердого тела относительно оси есть мера инерции этого тела при вращательном движении вокруг данной оси.

Момент инерции тела относительно оси зависит только от масс частиц тела и от их распределения в теле. Исследование моментов инерции, определение центра масс и некоторые другие проблемы, связанные с распределением масс, составляют предмет геометрии

масс1.

Так как момент инерции является понятием геометрии масс и не зависит от вращения тела, то, очевидно, можно определять моменты инерции не только вращающихся тел относительно оси вращения, но также и тел, не вращающихся относительно любой неподвижной оси. Мы можем считать, что момент инерции неподвижного тела от­ носительно любой оси явится мерой инерции этого тела в случае, если оно будет вращаться вокруг этой оси. Таким образом, момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела в его

вращательном движении

(реальном или

воображаемом)

вокруг

этой оси.

 

 

 

Момент инерции, как и вращение, является понятием, присущим

только телу. В применении

к материальной

точке оно теряет

всякий

смысл. Поэтому момента инерции материальной точки не существует. Если даны твердое тело и координатные оси, то, разбивая мыс­ ленно это тело на п элементарных частиц, обозначая массу 6-й частицы

через mk,

ее координаты—через xk,

yk

и zk

(где k

принимает после­

довательно

все значения

от 1 до га), мы можем написать

следующие

выражения

момента инерции

тела относительно

осей

 

координат:

 

 

 

 

 

 

k =

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

і

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

>

 

 

 

(194)

 

 

 

 

 

 

к =

п

 

 

у

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к =

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вообще, если дано

Jz=

2 тк(х% +

уІ).

 

 

 

 

ось

и если это

какое-либо тело

и какая-либо

тело

 

 

 

 

 

k = і

 

 

 

 

т2,

т 8 ,

. . . ,

тп и

разбить мысленно на элементарные массы тх,

обозначить

расстояния частиц от оси соответственно

rlt

rit

rs, ...,

rn,

то момент

инерции

тела относительно оси выразится

 

суммой

 

 

 

J = тхг\ + тА

 

 

+ ... + mar%,

 

к =

п

 

 

 

 

 

+ тъг\

J -

2

1

mkr\.

 

(200)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=

 

 

 

1

Выделить геометрию

масс в самостоятельный

раздел

механики

предложил

Атон

де

ля

Гупийер

в 1857

г.,

тогда же

им предложен

и термин. Л .

Карно

(1803

г.)

и М. Шаль

(1837

г.)

предлагали

эти

вопросы

выделить из механики

и присоединить к геометрии.

Смотрите также файлы