Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 255

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, момент инерции тела относительно оси равен сумме

произведений,

полученных

от умножения массы каждой частицы тела

на квадрат расстояния этой частицы от оси.

 

 

 

 

 

 

 

Размерность

момента

инерции

в физической

системе

единиц и

в технической

системе единиц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ / ] Ф

= 1 3 Л 1 ] Г ° ,

 

[ / ] Т

=

 

№ Р .

 

 

 

 

 

 

Если тело, момент инерции которого определяют, имеет правиль­

ную геометрическую форму и масса

в нем распределена непрерывно,

то сумму (200)

следует

заменить

интегралом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

= J гЧт,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(200')

распространенным по

всей

массе

тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Радиус инерции. Только в том случае, если

Радиусом

инерции^ тела

от-

в

с е

ч а с т

и ц ы

т е

л а

отстоят

от

оси

на

оди-

носительно данной оси на-

наковом

 

расстоянии,

г

„

выходит за знак

зывают

такую

величину,

 

2

имеющую

размерность дли-

интеграла

(200')

и

момент

инерции

тела

ны, на квадрат которой надо

выражается

произведением

квадрата

этого

умножить

массу тела, чтобы

расстояния

на

Maccv тела. Такой случай

получить

значение

момента

r

 

 

 

 

 

 

-1

,

 

 

 

 

 

J

инерции этого тела относи-

можно представить себе, если предполо-

тельно данной оси:

 

 

жить, что вся масса тела расположена по

 

 

—

 

 

поверхности

круглого

цилиндра,

постро-

 

/

—

 

 

енного

вокруг

 

данной

 

оси.

В

технике

 

 

 

 

 

 

(например, в различных каталогах) часто вместо значения момента инерции какой-либо детали машины или какого-либо иного тела приводят так называемый радиус инерции этого тела относительно данной оси, понимая под этим радиус такого воображаемого круглого полого цилиндра, построенного вокруг дан­ ной оси, который обладает той же массой т и тем же моментом инерции / относительно этой оси, что и данное тело. Иными сло­ вами, под радиусом инерции ги тела относительно данной оси пони­ мают такую величину, имеющую размерность длины, на квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции тела относительно этой оси:

т

.,

 

 

 

 

 

Теорема

о

параллельных

осях.

Найдем

Момент

 

инерции тела

отно-

г

 

 

 

г-

 

 

 

«

сительно какой-либо оси ра-

зависимость

между моментами

инерции

вен

моменту

инерции

того

одного

и того же тела относительно

раз-

же

тела

относительно

оси,

личных осей, параллельных между собой,

ей

параллельной, но прохо-

Пусть

известен

момент

инерции

тела

дящей

 

через

центр

масс

1

 

 

 

 

 

г>

проходя-

тела,

плюс

произведение

относительно

некоторой оси Сг,

массы

тела на квадрат рас-

щей через центр масс С тела, и требуется

стояния

между

осями:

 

определить момент инерции тела относи-

 

 

J z

= Jjic + m c i

 

тельно

оси Oz',

ей

параллельной

и отсто-

 

 

 

(Эилер)

 

ящей

от

нее

на

расстоянии с.

Следуя

Эйлеру, построим прямоугольные координатные оси с началом в центре масс С, направив ось Су в плоскости обеих осей (рис. 194).

Если координаты какой-либо материальной частицы К данного тела обозначим через xk, yk, zk, то квадрат расстояния этой частицы от оси Oz' определится из треугольника KNL по теореме косинусов:

г'и = ( 4 + УЇ) + с ' - 2с V4 + УІ cos а,

или

г'кг={х1 + у1) + с*-2сук.

Зная квадрат расстояния каждой частицы тела от оси Oz', мы легко определим момент инерции тела, для чего составим сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния от оси Oz':

k-n

k-n

k-n

Jv= 2

Щ(4 + УІ) + 2

mke — 2 2 cmkyk.

Вынесем общий множитель с за знаки второй и третьей сумм. Первый член правой части выражает момент инерции / г С тела отно­ сительно центральной оси Cz, второй член равен произведению суммы масс всех материальных частиц (т. е. массы всего тела) на квадрат расстояния с между осями, а третий член равен нулю, так как

fe = п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ЩУк является

статическим моментом

масс относительно цен-

 

 

г

 

тральной

оси. Получаем

 

 

 

 

 

Ух

 

 

/ 2 , = J 2 C + m c 2 .

 

(202)

 

 

 

Словами равенство (202) можно

 

 

\г

 

 

прочитать

так:

момент

инерции

 

 

 

V

 

 

 

тела

относительно

оси равен мо­

 

 

 

 

 

с

0

 

менту

инерции

того

же тела

отно­

 

 

 

сительно

 

оси,

проведенной

через

 

 

 

 

центр масс тела параллельно дан­

 

 

 

 

ной оси, сложенному с произве­

 

Рис.

194

дением

массы тела на квадрат рас­

 

 

 

 

стояния между осями1 .

 

 

 

Если надо определить момент инерции тела по известному моменту

инерции того

же

тела относительно оси, параллельной данной, но

не

проходящей

через

центр масс, то, проведя через, центр

масс па­

раллельную ось, можно для двух данных осей написать

соотношения

J2' = Jz0

+ mc\ и У2» = / 2 о 4 - тс\,

 

откуда непосредственно

вытекает

 

Jz' = Jzz-> + m{c\ — с*),

(203)

1 Эту теорему часто, но совершенно необоснованно, называют теоремой Штейнера. Якоб Штейнер никогда этой теоремы не доказывал, а найденное им (1840 г.) соотношение для распределения точек на плоскости имеет к (202) весьма отда­ ленное отношение. Теорема была известна еще Гюйгенсу и строго доказана Эйлером (1749 г.).

Это равенство позволяет определить момент инерции тела отно­ сительно любой оси, если известен момент инерции этого тела

относительно

какой-либо

параллельной

оси и известно положение

центра масс1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

известны

три момента

Теорема

о пересекающихся

осях**. Пусть

дано

некоторое тело, оси

координат

хОуг

инерции и три центробежных

момента инерции тела отно­

и какая-либо ось OA, составляющая с

сительно осей координат, то

осями координат

углы

а,

р и у.

Распре­

можно вычислить его момент

деление

масс

тела

относительно

коорди­

инерции относительно любой

натных

осей известно,

и требуется

опреде­

оси,

проходящей через нача­

лить

момент

инерции

тела

относительно

ло координат: J —

Jxcos2a-\-

+ Jy COS2

Р +

^ г COS2 у —

оси

OA.

 

 

 

 

 

 

 

— 2Jy.z

cos

cos у —

Рассмотрим сначала одну произвольную

— 2JZ.X

cos у cos a—

материальную

частицу

К

данного

тела

 

— 2Jx.y

cos a cos (3

(рис. 195). Квадрат радиуса-вектора ОК.

 

 

 

 

 

этой

частицы равен сумме квадратов ее координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

OK2 = xt + yl + zl

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

OK2

= (xl + yi + z|) (cos2 a + cos2

p + cos2

y),

 

 

 

 

 

 

 

так как последняя скобка равна

единице. Опустим

 

перпендикуляр

KN

на ось

OA. Отрезок

ON является

проекцией

радиуса-вектора

ОК на ось OA:

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

v

ON = xk cos a

- f yk cos p +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

zk

cos y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадрат расстояния произвольной частицы К от оси OA определим из прямоугольного треуголь­ ника ONK'-

r'k2 = OK2—ON2

= {xt +

 

+ УІ + гІ) (cos2 a + cos2 p +

 

+ cos2 у)—(%Acosa-r-

Рис. 195

+ r/ftCOSp + 2ftCOS у)2,

или

 

 

г'и2 = (УІ + 4 ) cos2 a + {z\ + xl) cos2 p + {x\ + y\) cos2 y -

— 2ykzk

cos p cos у—2zkxk

cos 7 cos a — 2xkyk cos a cos p.

Зная квадрат расстояния частиц тела от данной оси, мы легко определим момент инерции тела, для чего составим сумму произве-

1 Доказана Эйлером (1765 г.).

339

дении массы каждой частицы на квадрат расстояния:

J = Jх cos3 a - f Jу cos2 R + Jz cos2 у — 2Jy. z cos (3 cos Y —

 

 

— 2y2 .^cosYcosa — 2/*.,, cos a cos R,1

(204)

где

J x , J у и

J z — моменты инерции тела

относительно

осей коорди­

нат,

а

 

 

 

 

 

 

 

 

Jyz—

2

ткУкгк'

 

 

 

 

 

 

ft=

1

 

 

 

 

 

Jzx—

2

mkzkxk'

z

г

(205)

 

 

 

k=\

 

 

 

 

 

 

Jx-y = 2

тЬХкУк<

 

 

 

 

 

 

k=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

на две коор­

т. е. суммы произведении массы каждой частицы тела

динаты этой частицы—центробежные моменты

инерции тела или

произведения

инерции. Индекс

справа и снизу буквы /

соответствует

координатам, произведения которых

стоят под знаком суммы. Между

индексами ставят точку, означающую произведение. Центробежные моменты инерции имеют размерность моментов инерции, но в отли­ чие от них могут быть как положительными, так и отрицательными величинами или равняться нулю.

 

 

 

 

 

 

Эллипсоид инерции**. Если мы будем из-

Три взаимно перпендикуляр-

менять

направление

оси ОА,

то

будет

ные координатные оси, про-

и з м е н я т ь с я

и

момент

инерции

тела

отно-

веденные через данную точку

 

 

 

„

о

 

 

 

в таких

направлениях,

что

сительно этой оси. Зависимость момента

центробежные моменты инер-

инерции

тела

относительно

направления

ции

тела

относительно

этих

0 с и может быть легко представлена следую-

осей

равны

нулю,

называют

Щ И

м геометрическим построением. Проведем

главными

 

осями

инерции

—

. г

 

-

 

к

 

г

«

 

тела

в

этой

точке

 

через начало координат всевозможные нап­

 

 

 

 

 

 

равления

и

вдоль каждого

направления

отложим отрезок ОМ = ~Г/у, где /—момент инерции тела относи­

тельно той оси, вдоль которой отложен отрезок ОМ.

Определим геометрическое место точек М, для чего найдем их координаты:

1

1

о

і

x = -y=r cos ос;

у = у._. cos р;

г — •^r _- cos у.

Отметим тут же, что х, у и г не могут быть бесконечно большими, потому что момент инерции / не может равняться нулю, а направ­ ляющие косинусы, конечно, меньше единицы. Из этих равенств определим направляющие косинусы:

cosa = x j / ^ ; cosR = t / | / r / ; cos7 = z | / r / .

Подставив выражения направляющих косинусов в (204) и сок­ ратив на J, получим уравнение второго порядка:

Jxx2 + Jyy* + Jzz*—2Jy.zyz

— 2J2.xzx-2Jx.yxy=l.

(206)

1 Эта формула получена Коши (1827 г.). Аналогичную формулу, но в эйле­ ровых углах дал Л . Эйлер (1765 г.).

Смотрите также файлы