Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Примеры вычисления моментов инерции 1

Задача № 132. Определить момент инерции тонкого однородного

прямоли­

нейного стержня длины / относи­

тельно оси, перпендикулярной

стерж­

~ ^ - \

т/2

ню в его конце. Вычисления

провести

с различной

точностью:

сосредоточив

L/L

*

а

массу т стержня в двух точках, в

E

J

четырех

точках,

в

восьми

точках

и

/7?/4

5

учитывая, что

масса

распределена

по

1/16

стержню

непрерывно

и

равномерно.

т/в

д

Решение.

1)

Разделим

мысленно

стержень на

две

равные

части

и мас­

dx

су

каждой

половины

сосредоточим в

в

ее середине

(рис. 196, а). Момент

инер­

ции стержня подсчитаем по (200)

как

dm--^-dx

момент

инерции

неизменяемой

систе­

ь.

мы двух

материальных

точек:

Рис.

196

т

- f ! £ ( l + 9 ) = ^ 2 .

k=i

Т

32

/

3,2

2) Разделим мысленно стержень на

четыре

равные

части,

массу каждой

части

будем считать

сосредоточенной

в ее центре (рис.

196,6). Момент инерции

стержня

подсчитаем

по

той

же

формуле

(200),

для

системы

четырех

материальных

точек:

Л,

k

=

i

mkru

= -т

( I

^ 2

,

m (

З/

V

,

от

Ґ51\*

,

т (Ц '

= _ ^ ( 1

+ 9

+ 2

5

+ 4 9 ) = ^ .

т

3) Разделим мысленно стержень на восемь частей

и массу -g-

каждой части

со­

средоточим

в ее

середине

(рис. 196, в), а затем подсчитаем

момент инерции

стержня

по

формуле

(200)

-.У

mkr\=

ml2

( 1 + 9 -

25 +

49 +

81 + 121+169 +

225)

=

ml2 680 _

ml2

" и ;

2048

3,01

'

*

8-256

4)

Чемк =на1 большее

число

частей мы разбивали стержень, тем

меньше оказывалась

малых

отрезков длины dx

каждый

(рис. 196, г). Чтобы подсчитать

массу такого

т

п

отрезка

надо помножить

его длину

на массу единицы длины у = —.

Сумма ко­

числа бесконечно малых величин, т. е. в

интеграл (200'), и мы получим точное

решение задачи, взяв

интеграл

J =

г 2

dm,

распространенный

по

всей

массе стержня

1

= ml2

dx

ml2

ml1

,

3)

/ =

ml2

О т в е т . 1)

J-- '3,20 1

2) У = 3,05

1

зТоТ

4,

Задача №

133.

Вычислить

момент инерции однородного тонкого круглого

диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска в его центре.

Решение.

Если

плотность

диска

(массу

единицы

его

поверхности) обозначим

через у,

то масса

диска

откуда,

дифференцируя,

т =

улг2,

Подставляем

в (200')

dm — у2лг

dr.

j _

J

г 2

dm = J 1>2яг3

dr

у2кг*

mr*

О т в е т .

Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к диску

в его центре,

равен половине произведения массы диска на

квадрат

его

радиуса.

Задача №

134.

Определить

момент

инерции

однородного

круглого

цилиндра

относительно

его

оси.

Решение.

Поступая,

как

и

в предыдущей

задаче,

будем

иметь:

т = ynr2h,

dm =

y2nhr

dr,

г

У = J y2nhr3

dr

=^К! .

О т в е т .

Момент

инерции

цилиндра

относительно

его

оси равен

половине

произведения

массы

цилиндра на квадрат его радиуса.

Задача №

135.

Определить

момент

инерции

однородного круглого

цилиндра

относительно

образующей.

Решение.

По теореме

о

параллельных

осях

имеем

П1Г

!z

~

JzC + т с 2

— —^--{-mr2

=

1,5

mr2.

О т в е т .

Момент

инерции

цилиндра

относительно

образующей

равен

трем

вторым произведения массы цилиндра на квадрат его радиуса.

Задача №

136.

Определить

радиус

инерции

цилиндра

относительно

его

оси.

Решение.

Подставляя

в

(201) данные

цилиндра,

находим

Г«

V

т

~

V

2т

2

О т в е т .

Радиус инерции цилиндра равен 0,707 его радиуса.

Задача №

137.

Вычислить момент инерции

диска

относительно диаметра.

Решение.

Построим в центре диска оси координат,

направив ось

Ог

перпен­

дикулярно к его плоскости. Тогда, по теореме о плоской фигуре (207),

Так как моменты инерции однородного диска относительно каждого его диа­

метра одинаковы,

то

J x

= J y .

Известно,

что

У г

= — g - ,

а

следовательно,

.

__тгг

тг2

5

,

4

1

4

О т в е т .

Момент

инерции

диска

относительно касательной

равен

пяти

чет­

вертым произведения массы диска на квадрат его радиуса.

Задача № 139. Вычислить момент инерции прямого тонкого стержня

длины I

относительно оси, перпендикулярной к стержню в его середине.

Решение.

Обозначим

массу

единицы

длины стержня у. Тогда масса стержня

m~yl,

дифференциал

массы dm = ydl

и

момент инерции по (200')

l_

1_

J=

J y l 2 d l = \

у1ъ

ml2

Тот же момент инерции можно получить, применив формулу (202) о моментах

инерции

тела

относительно параллельных осей. Момент инерции

стержня относи­

тельно оси, перпендикулярной

к нему

в

его конце

т е

из

зада­

y J — ~2~J » известен