Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

момент

инерции

стрелки F с цилиндром В

равен J

д.

Решение.

Рассмотрим

движение

сис­

темы, состоящей

из 1)

диска

А , 2)

стрел­

ки F , жестко соединенной с цилиндром В

и представляющей с ним одно неразрыв­

ное целое, и 3) испытуемого тела D . Ме­

ханическое

движение

диска

передается

другим

телам

системы

в виде

механичес­

кого же движения. Тела совершают вра­

щения

вокруг оси и для решения задачи

удобно

воспользоваться

теоремой

(192)

моментов системы относительно оси. На

точки системы

действуют

только

верти­

кальные

внешние силы — веса

тел и реак­

ция в опоре С. Внешнее трение отсут­

Рис.

197

ствует.

Трение

между

диском

А

и ци­

линдром

В ,

возникающее

при

движе­

нии

диска

по

винтовой

резьбе,

является

внутренней

силой

и

потому не входит

в уравнение моментов. Моменты

внешних

сил относительно

оси

ССХ

равны

нулю, и мы можем

написать

уравнение

(193)

2 L-kz — Ct.

k=l

В начале движения

моменты

количества движения всех входящих

в систему

тел были равны нулю, следовательно,

С 1 = 0 .

Момент количества движения вращающегося тела можно выразить через про­

изведение

момента инерции на угловую скорость

тела

и,

раскрывая

знак

суммы,

получим

где со—угловая скорость диска, а

G^ —угловая

скорость

цилиндра.

Интегрируем

уравнение,

принимая

во внимание начальные условия:

JA4>+(JB

+ JD)<(>I

=

0.

Для конца движения

к этому уравнению добавляем

еще уравнение

Фі — ф =

л ,

где п зависит от геометрических параметров

прибора.

Исключая из

этих уравнений угол

ср, получаем

формулу

JD

+

JB

—ФІ

J

А

Фі

'

і/г

= т 2

(v'e + v r ) r = ^ ^

• 109 + 2000 vr-6000.

Действие внутренних

сил не изменило главного

момента

количества

движе­

ния

системы,

и мы приравниваем друг

другу

суммы

моментов

количеств

движе­

ния

системы

до начала и во время

движения

поезда:

4 К ° 1fi

44 9 Ifi

1 2 - 1 0 6 у ' + ш ш < 1 0 2 7 + 1 0

' ) = ш < 1 0 2 7 + 1 0 9 > -

Из этого

уравнения первой степени определяем vr. Оказывается,

что для

увеличения

продолжительности

суток

на 1 сек поезд

массой 2000 т нужно

было

бы пустить

со скоростью,

в

17 миллионов

раз превосходящей

скорость

света.

Этот

поезд

должен

был бы совершать

по экватору 118 миллионов

кругосветных

путешествий

за каждую

секунду.

О т в е т .

vr = 5,05-1012

км/сек.

Центр

удара**

Задача

№ 145**. В плоскости,

проведенной через

центр масс

С и ось враще-'

ния

тела,

найти такую точку,

через которую должен проходить

перпендикулярный

к этой плоскости мгновенный импульс, чтобы

ось вращения не испытывала

удара.

Решение.

Дл я определения

этой точки,

называемой центром

удара,

рассмот­

рим

ударные

силы,

действующие

на тело

во время удара. Приложенный

к телу

на

одинаковых

расстояниях

от точки О, а импульс

5 приложен в плоскости хОу,

то

реакции в подшипниках

можно заменить одной

реакцией, приложенной

в точ­

ке

О, и данную

задачу свести к плоской. Пренебрегая

действием за время

удара

конечных

сил,

составим дифференциальные

уравнения

(197) плоского движения

тела под действием

приложенного импульса

S и импульса ударной реакции, ко­

торый мы разложим

на Sx

n'Sy:

m(vix—vix)

=sx> т (v2y — Viy) = S—Sy;

J ((o2 — (u1) = St,

где m — масса

тела,

vx и v2 — скорости центра

масс

до и после удара, J — момент

инерции

тела

относительно

оси вращения,

сох и

со2 — угловая скорость

тела и

/—плечо

импульса 5.