Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 248

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

с

Sx

В данном случае

v l x = 0, v2x = 0, v l y = vt, v2y = v2

со.

с

Подставляя эти значения скоростей, определим импульс ударной реакции:

SX = Q; Sy = ( ~ - m ) (v2—i>x).

Эти равенства показывают, что при

1=±-

(211)

 

 

Рис.

200

 

 

ось

вращения

 

не

испытывает

 

ударов.

Полученная

 

 

 

 

 

 

 

формула,

определяющая

при рассмотренных

условиях

 

 

 

 

 

 

 

центр

удара, имеет

большое значение при конструиро­

 

 

 

 

 

 

 

вании различных машин, вращающиеся детали

ко­

 

 

 

 

 

 

 

торых

подвергаются

ударам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратим

внимание

на тождественность полученного

равенства с (199),

определяю­

щим центр

качания

физического

маятника,

хотя, вообще

говоря,

центр качания

и центр

удара

отличаются

друг от друга

и совпадают

лишь

в

 

отдельных

 

слу­

чаях *.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

№

 

146

( №

1063, М ) .

•л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Валы

І

к

II

 

вместе

с

насажен­

1

1—'

-f

 

 

 

 

 

 

 

ными на них шкивами и зубчатыми

 

 

J

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

колесами

(рис. 201) имеют

момен­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ты

инерции,

соответственно

 

рав­

 

1г

mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ные:

JХ = 500кГ-см-сек2

 

и

/ 2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

400 кГ • см-сек2;

 

передаточное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число

зубчатой

передачи

й 1 2 = 2/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Через

сколько

оборотов

 

вал

/ /

 

 

 

 

 

Рис. 201

 

 

 

 

 

 

будет

делать

я 2 =

120 об/мин,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

система приводится в движение из

 

Л1І = 50 кГ-м

 

 

 

 

 

 

 

состояния

покоя

вращающим

 

мо­

ментом

приложенным к валу

/? Трением в подшипниках пренебречь.3

Решение.

 

За

единицы

принимаем

м,

кГ

и сек.

Тогда

Jx

— b

 

кГ-м-сек2,

/ 2 = 4

кГ-м-сек2,

 

М1 = 50кГ-м,

 

начальные

угловые

скорости

со1 | 0 = со2 ,0

= 0,

конечные

угловые

скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пп2

 

,

 

 

 

 

8 л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ) 2

^ " З О

 

Щ ' ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачу решим, применив дифференциальное уравнение

 

вращения

 

твердого

тела. Сначала рассмотрим вращение вала

/

вокруг оси

/ — / .

На

вал

действуют:

вращающий

момент

Л 4 1 = + 5 0

и сила F сопротивления

вала

 

/ / ,

 

момент

которой

равен

— F r x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~~аТ~~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

Ja> —

Jan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Различие между центром качания

и центром

удара

установил

Иван

Бер-

нулли

в

1714 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Для этой же

задачи

даны

и

другие

решения (см. задачи

№ №

167, 179,

189, 193).

В нашем случае w0

= 0 и

 

—FrJ.

 

 

 

 

 

 

 

J ^ = 501

 

 

 

 

Затем

переходим к рассмотрению

вращения

вала

/ /

вокруг

оси / / — / / . На

второй

вал действует сила F давления

зубьев

первого

вала. Ее момент равен

-\-Fr2,

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 2 со2

= Ft

2t.

 

 

 

 

Решаем

оба уравнения совместно:

 

 

 

 

 

 

50/ =

У 1 ы 1 + У 2 ш 2

^ - = 5 • - | я + 4 . 4 л | " = ( у +

2 4 )

n =

117,227;

/ = 2,344сек.

Под действием постоянного момента второй вал вращается равноускоренно: є Ґ1

со2 = 4я = є2 г; < р 2 = - ^ 2 - = 2 я / .

За время t II вал сделал

Ответ. я 2 = 2,344 об.

Скорость конца вектора ки нетического момента относи тельно некоторой точки равна главному моменту всех внешних сил относительно

этои точки

оборотов

п - ф 2

Теорема Резаля—Гейуорда1 . Пусть гироскоп2 (рис. 202, а) (волчок) имеет ось сим-

метрии3 . Допустим, что главный момент количеств движения волчка направлен по о с и симметрии. Если бы ось была непод-

г

вижнои, то такое направление кинетиче­ ского момента было бы очевидным. Но основным свойством всякого гироскопа является способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость о) гироскопа вокруг его оси очень велика, а угловая скорость сог,

с которой

поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной

точностью

можно допустить, что главный момент количеств движения

гироскопа

относительно точки опоры О направлен по оси симметрии

и равен произведению угловой скорости на момент инерции гиро­ скопа относительно оси симметрии:

Lo — /со.

Построим систему координатных осей xOyz с началом в точке О (рис. 202, б) и отложим вдоль оси симметрии вектор OA — L 0 в та­ кую сторону, чтобы вращение гироскопа представлялось происхо­ дящим против хода часов, если смотреть от Л к О.

Проекции вектора Lo на оси координат представляют главные моменты количеств движения L r , х , L r n y и L r J l z гироскопа относи­ тельно этих осей. Эти же величины являются координатами точки А.

При движении системы главный момент L 0 не остается постоянным,

1

В. Л.

Кирпичев в книге «Беседы о механике» сообщает, что.раньше

Резаля

эту теорему

доказал английский

математик Гейуорд.

 

2

Термин «гироскоп» предложил Фуко (1852 г.).

 

3

Не всякий

гироскоп имеет

ось симметрии. Теория несимметричного

гиро­

скопа

создана С.

В. Ковалевской

в 1888 г.

 

точка А (конец вектора) перемещается

в

пространстве1

и коорди­

наты ее меняются. Проекции скорости

vA

точки А на оси

координат

равны первым производным от текущих

координат точки по времени,

т. е. производным от главных моментов количеств движения системы

Z

относительно осей, которые в свою очередь равны главным моментам внешних сил относительно тех же осей:

VAx = dx~dlA

ЛУА

JAy dt

dzA

VAz dt

или в векторной форме

vA

^ г л . х

••M e

dt

 

ГЛ.Х,

dt

 

(212)

 

 

dt

••

М г л . 2 .

 

 

= A f M l 0 .

(212')

На примере гироскопа мы доказали теорему Резаля: скорость конца вектора главного момента количеств движения, взятого отно­ сительно точки О, равна главному моменту всех внешних сил си­ стемы относительно той же точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прецессия оси гироскопа*

 

 

 

 

 

 

Задача

№

147

(№

40.1,

1027 М). Волчок вращается

вокруг своей

оси

против

часовой

стрелки

с

постоянной

угловой

скоростью со =

600

сек ~х;

ось

О А

накло­

нена

к

вертикали;

нижний конец

оси О А остается неподвижным; центр тяжести С

волчка

находится

на

оси

О А

 

на

расстоянии

ОС = 30 см от

точки

О;

радиус инер­

ции волчка относительно

оси

 

равен

10 см. Определить

движение

оси

ОА

волчка,

допуская,

что

при

весьма

большой

угловой

скорости со главный момент

количеств

движения

волчка

направлен

по оси ОА и равен /со.

 

 

 

 

 

 

1

Кривая,

являющаяся геометрическим

местом "концов

векторов,

выходящих

из одной точки

и

равных

различным

значениям вектора,

являющегося

функ­

цией

времени,

есть

годограф

вектора.

Следовательно,

точка А

описывает годо­

граф

главного

момента

количеств движения

гироскопа.

 

 

 

 

 

 

ОС.

Вместе

с точкой

А в том же направлении

получит

движение

ось

ротора,

она будет

поворачиваться вокруг оси NNt

с

некоторой

угловой

скоростью Щ=

^ — ^-

Если сила (ее

момент

Мегл.с)

по­

стоянна,

то движение

равномерное

(vA = const,

а следовательно, и

(% = const), но как только действие

силы прекратится,

тут же пре­

кратится

движение оси (^4 = 0,

со =

0). Поэтому

ударные силы,

дей­

ствующие весьма малый промежуток времени, почти не изменяют положения оси гироскопа1 . Ось быстровращающегося гироскопа с тремя степенями свободы не чувствительна к ударным нагрузкам.

Гироскопы с двумя степенями свободы этим' свойством не обла­ дают, так как, отняв у гироскопа одну степень свободы, например, закрепив вторую раму, мы лишим ось ротора возможности переме­ щаться в направлении, перпендикулярном к направлению прило­

женной силы.

От дополнительного давления гироскопа на

подшип­

ники К и Кх

возникает пара сил с моментом

 

 

М = /о)(о г

(213)

Этот момент носит название гироскопического момента, а его появ­ ление называют гироскопическим эффектом. Если угол t), заключен­ ный между осью ротора и той осью, вокруг которой она вращается, не прямой, то гироскопический момент

 

 

 

 

M = /coco1 sinrj.

 

 

 

(213')

Задача № 148 (№ 40.4, ЮЗОМ)

(рис. 204). Определить

максимальное

 

гиро­

скопическое

давление на подшипники

быстроходной

турбины, установленной на

корабле. Корабль

подвержен

килевой

качке с амплитудой 9° и периодом

15 сек

вокруг

горизонтальной оси, перпендикулярной к оси ротора. Ротор турбины

 

весом

3500 кГ

с радиусом

инерции 0,6 м

делает 3000 об/мин. Расстояние

между

под­

шипниками 2 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Гироскопический

момент

определим по (213), так как угловые

ско­

рости

взаимно перпендикулярны.

Все необходимые

данные

имеются

в условии

задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

G

2

 

 

 

 

 

 

момент инерции ротора / = — л и ,

угловая скорость ротора со = дд - =100я .

 

Для вычисления угловой скорости щ оси

ротора примем во внимание, что

килевая

качка

в

условии

задачи

задана

гармонической, с

угловой

амплитудой

9° =

я • 9

 

я

 

и периодом т = 1 5 , следовательно, частота

2 я

и

мы

имеем

-ygg = ;JQ рад

й = —

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л .

2я „

 

 

 

 

 

Дифференцируя

определим

угловую

скорость качки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• -

2я'2

2л ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Р=

 

з о о с о з Т Г Л

 

 

 

 

 

 

1 В точной

 

теории

гироскопов

показано, что под действием таких

нагрузок

ось

ротора

приходит в

колебание

с очень

малой

амплитудой

и с большой

часто­

той,

называемое

 

нутационным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальное значение этой угловой скорости примем за щ;

2 л 2

Ш 1 = зоо-

Тогда по

(213)

гироскопический

момент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. .

,

 

3500.0,36

1 f

t n

2 л 2

п

„ „ 0

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M =

J(o(o1=

 

g

— •

1 0 0 л 2 6 3 8

кГ-м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения давления на подшипники остается лишь поделить гироскопи­

ческий момент

на

расстояние

2 м между

подшипниками.

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

1320

кГ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравновешивание

вращающегося

тела **

Задача № 149. Определить реакции в

подпятнике

Л и в

подшипнике В'

твер­

дого тела (рис. 205), вращающегося вокруг неподвижной оси

АВ

с

угловой

скоростью

со

и с

угловым

ускорением є,

и

найти

такую

ось,

при

вращении

 

тела

вокруг которой эти реакции не зависят

от со

и

е.

Заданными

являются

все

внешние активные силы Fek' ° и расстояние АВ = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Кроме активных

сил,

на тело действуют искомые

реакции

Яд

к

Rg.

Построим

 

оси

 

координат,

взяв

начало

в

подпятнике, и, направив ось аппликат

по оси вращения, спроецируем реакции на оси.

 

состоящую из п частиц, и

Представим

тело

как

неизменяемую

 

систему,

напишем уравнения (169) количества движения и

уравнения

моментов

 

(192),

учитывая,

 

что

проекции

скоростей

точек

 

тела на ось вращения равны нулю

(с* = 0),

а

последнее

из

уравнений

(192)

 

моментов

 

относительно

оси

вращения

355

 

 

 

 

 

12*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы