Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл (22,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 247

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

превращается в уравнение (196):

4f Ет ^= Е ** °+ ^*+ 4- Xт*"*>=Еу*а+^+

4- Ет *( _ г*"*'}=Ем**в ~Rr>1'

4t^Lmk {ZkVkx)=Е

^*/+а д

•'е = 2 Л , * і в - Г д е * = 1 - 2

п.

Как видно из третьего уравнения,

проекция

реакции

подпятника

на ось

вращения

не зависит

от скорости

и равна

проекции

внешних

активных

сил на

ту

же ось:

К л , =

2 4 , а -

Шестое

уравнение

является дифференциальным

уравнением

вращения

тела и

не

содержит реакций

опор.

Выполняя

дифференцирование

в четырех

остальных

уравнениях,

получим:

а+*А*+явх.

= 2 у * " + * А у + R B y ,

т к ч ч у = 2

Міха—Квуі,

= 2 м

V +

Подставляя

вместо а А л . и afey их значения (95)

Чх=—Ук&—Ч®*>

аку = xkz — Ук®2

и вынося

общие множители є и со2

за знак 2 > получим:

— е 2 т * У А - ш а 2 т * * * = 2* * а + Я л * + Я в * .

є 2 m r t - w 2 2 O T ^ = 2 K f e а + ^ л у + ^ .

— е 2 " V * * * + со2 2

= Mek'x а — RВу1,

— є 2 т*у*г* - ш 2 2 mkzk4=2

Из этих уравнений найдем четыре

неизвестные проекции

реакций.

Заметим,

что суммы,

стоящие в левых

частях

первых

двух

из этих

уравнений,

являются

статическими

моментами:

тхс

= 2 m***'

тУс = 2 т *У* 1

суммы,

стоящие в левых

частях

двух

последних

уравнений

J у.г~^ткУкгк<

J'г-х~^ткгкХк>

являются центробежными моментами инерции тела. Четыре полученных нами уравнения можно переписать в следующем виде:

-тусг-тхс(о2	= ^Хе,;	a	+ R A x +		RBx,
тхсг-тус^	= ^Уеі	а+^АУ		+	^ву<
- J u . z * - J z . x ^ ^ M l ' y a + R B x t .
Чтобы реакции в опорах	вращающегося		тела	не	зависели от со и s (или,

что то же, от скоростей его точек), необходимо и достаточно выполнение сле

дующих

условий:

*с = 0; ус

= 6;

У„.2 = 0- J г . х

= 0.

Вращающееся

тело,

реакции

опорах

которого

не

зависят

от

скоростей

точек

тела,

называют

полностью

уравновешенным телом.

Если

выполнены

два

первых

условия, т. е. ось вращения

проходит через

центр

масс

(«центральная

ось»),

то

тело называют статически

уравновешенным.

Если выполнены два последних условия, то вращающееся тело называют

динамически

уравновешенным,

ось — главной осью инерции.

О т в е т .

Для полной уравновешенности вращающегося тела

необходимо и

достаточно,

чтобы

оно

вращалось

вокруг

центральной и

главной

оси

инерции.

Г Л А В А XVII

К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Э Н Е Р Г И Я

§ 46. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинетической энергией на зывают меру механического движения, выражающуюся половиной суммы произведе ний массы каждой частицы материальной системы на квадрат ее скорости:

~ 2 - 2

Кинетическая энергия.	Ознакомившись
в двух предыдущих главах	с одной из мер

механического движения, перейдем теперь


к другой		мере — кинетической			энергии,
которая	наряду		с количеством		движения
существует		во всяком		движущемся мате
риальном		теле.	Кинетическая		энергия
каждой	материальной			точки выражается

половиной произведения массы точки на

квадрат ее	скорости:
Т = - ^ - а .	(214)

Чтобы получить кинетическую энергию системы, надо взять сумму кинетических энергий всех ее точек. Сумму надо брать,

конечно, арифметическую, потому	что,	как видно из (214), кинети
ческая энергия есть величина скалярная и всегда			положительная:
Г - £ ^ ,			(215)
или
T ^ ' Z ^ i x t	+ yl	+ zl).	(215')

Размерность кинетической энергии в физической системе единиц [ T ] 4 = L, M1 T-»,

в технической системе единиц

Обе меры механического движения (количество движения и кине

тическая	энергия), как	это	уже было	сказано	в гл. X I I I , не	про
тиворечат	одна другой,	но	каждая	из них	является мерой	для

определенного круга явлений. Количество движения характеризует

способность	механического движения	п е р е д а в а т ь с я	от одних
материальных	частиц другим в виде	механического же	движения,

акинетическая энергия характеризует способность механического


движения	п р е в р а щ а т ь с я		в эквивалентное	количество другого
движения	(в потенциальную энергию, в теплоту			и пр.).
Так, например, во время удара движущегося биллиардного шара
по неподвижному		шару часть	механического движения		перешла от
ударяющего шара		к ударяемому и ударяемый		получил	некоторую

скорость. Мерой этого переданного механического движения явля ется количество движения. От удара количество движения системы


двух шаров		не	изменилось,		потому что внутренняя сила не изменяет
количества		движения		в системе.		Вместе с тем часть	механического
движения	шара		во	время	удара перешла в другие виды движения
(в звук,	теплоту), и мерой				этого	движения является	кинетическая

энергия. Часть кинетической энергии ударяющего шара была поте ряна системой, перешла в другие виды движения, кинетическая энергия системы от удара уменьшилась.

Отсюда не следует делать вывод, что уравнения проекций коли честв движения (169) и уравнения моментов количеств движения (192), а также уравнение кинетической энергии (230), которое будет доказано в этой главе, не имеют всеобщего применения, а законны лишь в отдельных частных случаях» Они выведены математически вполне строго из дифференциальных уравнений движения и носят

название семи всеобщих	уравнений	двиокения.	В зависимости	от усло
вий задачи приходится	решать,	каким из	этих уравнений	удобнее

воспользоваться. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проинтегрировать уравнения (169). Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями рас стояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравне ния для решения задачи.

Выяснив физический смысл и математическое выражение кине тической энергии, резюмируем все сказанное о ней: кинетической энергией называется мера механического движения, характеризующая его способность превращаться в эквивалентное количество другого вида движения и выражающаяся половиной суммы произведений массы каждой материальной частицы механической системы на квад рат ее скорости.

В случаях движения неизменяемой механической системы (твер

дого	тела) выражению (215) можно придать вид, более удобный
для	вычисления.

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, выражаются половиной проивведения массы на квадрат ско-

Р о с т и :

Кинетическая	энергия поступательно дви-
жущегося тела.		Скорости	всех частиц
поступательно	движущегося		тела	между
с о б о й	( 8 0 )	п о э т о м у	е с л и	т в е р д о е
v	\ "	J		і «