Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 244

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, равна половине произведения массы тела на квадрат скорости любой из его частиц.

Кинетическая энергия вра­ щающегося тела равна поло­ вине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

тJw2

~2

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Скорости частиц вращающегося твердого тела пропорциональны угловой скорости тела и расстояниям частиц от оси враще­ ния:

Vb=(xirb

(90)

Возводя это равенство в квадрат

и под­

ставляя в (215), получим

 

9 2

Т =••

Вынося общий множитель у за знак суммы и принимая во вни­ мание, что сумма произведений массы каждой частицы на квадрат расстояния этой частицы от оси выражает момент инерции (200) тела относительно оси, получаем окончательно

Т = ^ - .

(216)

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

Эта формула применима не только в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, но и вокруг мгновенной оси. В случае плоского движения момент инерции фигуры или тела в формуле (216) надо подсчитывать относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, перпендикулярно плоскости движения, тогда

 

 

 

 

 

 

 

т =

 

 

 

 

 

 

(216')

 

 

 

 

 

 

 

Формула Кёнига. Выведем формулу для

Кинетическая

энергия

твер­

определения

 

кинетической

 

энергии

твер­

дого

тела

равна кинетиче­

дого

тела,

совершающего

плоское

движе*-

ской энергии его центра масс,

ние.

Для определения

проекций скорости

в котором

предполагается

были

выведены формулы

 

 

 

сосредоточенной масса

всего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тела,

плюс

кинетическая

 

 

 

 

 

 

 

 

(114')

энергия тела

в его враща­

 

 

 

 

 

 

 

.1

тельном

движении

вокруг-

 

 

 

 

 

 

 

 

оси,

проходящей через

центр

где х1к и ylk

— координаты

каждой

точки

масс

тела:

 

 

 

 

тела

относительно

системы

координатных

 

 

 

Jc.®2

 

 

 

т =

 

 

осей,

параллельных

неподвижным

осям,

 

 

 

2

 

 

 

но имеющих начало в произвольной точке

 

 

 

 

 

 

 

Е, принятой

за полюс.

 

 

 

Возводя

эти

равенства в квадрат

и складывая,

найдем квадрат

полной

скорости

любой

точки

тела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

, /

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vE

+

{xik- -y\k)

(o2 — 2vExylkti)

+

2vEyxlku).

 

 

Подставляя затем

в (215),

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

=

2

?

[у я +

(x\k + у\к)

м2

+ 2vEya>xlk

 

— 2і>£*сог/іА]

 

 

 

 

 

 

 

4=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем

эту

 

сумму

на

четыре

части и

вынесем за

знаки

2

величины,

не

зависящие

от

к:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

k—n

 

 

k = n

 

 

 

 

k — n

 

 

 

k = n

 

 

k=n

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

k=n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ,

mh

= m — масса

всего

тела;

^

mk(x\k-\-y\k)

 

= J E—момент

инер-

k=\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=\

 

Е,

 

 

 

 

ции

тела

относительно оси,

проходящей через

перпендикулярно

 

 

 

 

 

 

 

 

k=n

 

 

 

k=n

 

 

 

 

 

 

плоскости

движения;

^

mkxlk

и

2

ткУ\к~статические

моменты

 

 

 

 

 

 

 

 

ft=l ft=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

масс

относительно

осей

координат,

имеющих

 

начало в полюсе £ .

 

Если за полюс принять центр масс С тела,

то последние

два

члена

 

обращаются

в

нуль (xltC

= 0,

j l i C = 0)

и

кинетическая

энер­

гия

получает

простое

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = - j £ + i < f - .

 

 

 

 

(217)

Эта

формула

доказана

нами

для

плоского

движения

твердого

тела1 . Она имеет большое применение в различных областях меха­ ники и, в частности, в теории механизмов и машин, где плоское движение встречается очень часто. Но формула (217) остается спра­

ведливой

при

всяком движении

твердого тела. Словами ее можно

прочитать

так:

кинетическая энергия твердого тела равна кинети­

ческой энергии

материальной точки, обладающей массой

всего

тела

и скоростью центра масс, плюс

кинетическая энергия

тела

в его

вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс.

При

разложении движения

в кинематике мы могли принимать

за полюс

любую точку тела.

При определении кинетической энер­

гии по формуле (217) мы обязаны принимать за полюс только центр

масс тела,

иначе появятся

члены, содержащие статические моменты

масс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

 

№

150.

Определить

кинетическую

энергию диска

массы т = 1 0 кг и

радиуса

/? = 0,5

м,

катящегося

со скоростью

vc = 2 м/сек

по

прямолинейному

рельсу

без

 

скольжения.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Задачу

решим

пока двумя различными

способами

(система

единиц

физическая).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Она

является

частным

случаем более общей

формулы, доказанной

Кёни-

гом

(1751

г.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-й

с п о с о б . Мгновенный центр

скоростей находится в точке касания

(рис. 206,

а).

Угловая скорость диска

 

 

 

 

: 0\5 ==4 сек-1.

Момент

инерции диска относительно оси, проходящей через мгновенный центр

скоростей

перпендикулярно диску, определим

по теореме о параллельных осях:

 

 

mR2

- | - 1 0 ~

= 3,75 кг-м2.

 

 

- т Я 2 =

Кинетическую" энергию диска определим по (216'):

_ - W ^ 2

3,75-16 , п

, , .

Т = — ^ — = — — = = 3 0

кг-м1!сек?.

 

 

 

 

 

Рис. 206

 

 

 

2-й с п о с о б .

Кинетическую энергию

определяем по формуле (217) Кёнига

(рис. 206, б):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П2

/ 9

1Л

А

10--Т--16

 

 

 

 

 

mv?

, ^ =

1 0 _ 4 + _ 4 _ =

3 0 к г < ж 2 / с е / с 2 _

 

 

 

 

У с

 

Теорема

Коши**.

Однако существуют и некоторые другие

определенные

точки,

которыми в формуле (217) можно заменить

центр масс С. Найдем эти точки.

 

 

 

 

 

В общем случае движения тела скорости его частиц можно рас­

сматривать

(см. § 35)

как

состоящие из двух взаимно перпендику­

лярных скоростей: переносной

скорости

vE,

направленной по

мгно­

венной винтовой оси, и относительной,

вращательной вокруг

этой

оси (рис. 207, а). Квадрат

скорости какой-либо точки К, отстоящей

на расстоянии

rk

от

мгновенной

винтовой

оси:

 

 

 

 

 

 

f * = » B

+

roV|.

 

 

 

Подставим

это выражение в

(215):

 

 

 

г - £ « = Е

Момент инерции тела относительно мгновенной винтовой оси обозначим через / в , тогда

JE®2

Проведем через центр масс С ось параллельно мгновенной вин­ товой оси. Если расстояние между этими осями равно clt то, выра­ зив JЕ по (202), получим

Но VE + C\W2 = VC, И МЫ пришли

к формуле Кёнига:

 

 

mv'r

Jc®2

.(217)

 

 

 

 

Проведем

через какую-либо

точку А третью ось А А (рис. 207, б)

параллельно

двум предыдущим,

обозначим через J А момент инерции

тела

относительно

этой

оси, через

с2

— расстояние ее от централь­

ной оси,

а

через

с3—от

мгновенной

винтовой оси. Согласно (203)

подставим

в

(217'):

^в = ^А +

т{с1—с\),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m v E

. т(с\-с\)®2

 

, JAm°-

 

 

В случае, если плоскость, проведенная через эту

ось

А А и

мгновенную

винтовую ось, составляет

с

плоскостью,

проведенной

через

эту

ось

А А и центр

масс С тела,

прямой угол

(а = 90°), то

по пифагоровой

теореме

с\ — с\ — с\

и v\ = v\ - f (с2 — с\) со2, а

потому

 

 

 

 

 

 

 

то".

JAu>2

 

 

(217")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же

аф90°,

то

это равенство

не

выполняется.

 

 

Для определения кинетической энергии твердого тела этим спо­ собом надо провести через центр масс тела ось, параллельную мгно­ венной винтовой оси (рис. 207, в). Приняв обе оси за диаметрально противоположные образующие, построить на них поверхность пря-

мого круглого цилиндра. Во всякое мгновение кинетическая энер­ гия тела равна половине произведения массы тела на квадрат ско­ рости любой из точек этой цилиндрической поверхности, сложенной с половиной произведения момента инерции тела относительно обра­ зующей, проходящей через эту точку, на квадрат угловой скорости тела1 .

Задача № 151**. Решить задачу № 150, применив теорему Коши.

 

Решение.

Мгновенная винтовая ось существует в общем случае

движения

тела. При

плоском движении она превращается в мгновенную ось

вращения,

проходящую через

мгновенный

центр скоростей

перпендикулярно плоскости дви­

жения. Построенная на

мгновенной винтовой оси

цилиндрическая поверхность,

о которой

говорится

в теореме

Коши,

в пересечении с плоскостью

движения

фигуры образует

окружность,

у

которой

мгновенный центр скоростей

и центр

масс фигуры являются диаметрально противоположными точками (см. рис. 206, в). Возьмем на этой окружности какую-либо точку А. Ее скорость

1>/4 = (оЛ£'М цС = (йС£'М дС cos •t> = 2 cos О.

Момент

инерции

диска относительно

оси,

перпендикулярной. к его плоскости

в точке А,

определим

по

(202):

 

 

 

 

 

 

JA

= Jc + m(ACf

=

^+ljsm*®.

 

Полная

кинетическая

энергия

диска

 

 

 

 

mVA

J я(й2

 

 

 

 

 

Т = -фЛ--^-

= Ю +

20 (sin2 # +

cos2 Щ = 30

кг-м2/сек2.

Если взять какую-либо точку, не лежащую на окружности, нанесенной на чертеже пунктиром (см. рис. 206, е), то полусумма произведений массы диска на квадрат скорости этой точки и момента инерции диска относительно проходящей через эту точку оси на квадрат угловой скорости диска не будет равна кинети­ ческой энергии диска. Так, например, для точки В

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

у й ш 2

ю-16

т ' 1 0 ' Т ' 1 6

кг-ж2/сек2.

 

 

 

 

 

 

 

= 110

 

О т в е т .

Кинетическая

энергия диска Т ==30кг-м2 /сек2 .

 

 

Задача №

152.

Определить кинетическую энергию эллипсографа в

задаче № 116.

Решение.

Механическая система состоит

из четырех тел: кривошипа,

линейки

и двух

ползунов.

Чтобы

определить

кинетическую энергию этих

тел,

найдем

сначала

скорости.

 

 

 

 

 

 

 

Эллипсограф является

плоским механизмом: все звенья

его совершают

плоские

движения. Угловая скорость кривошипа дана. Скорость пальца равна со/. Эта же

точка

принадлежит и линейке эллипсографа. Известны направления

скоростей трех

точек

линейки. Перпендикуляры, восставленные в этих

точках

к направлениям их

скоростей, пересекаются в мгновенном центре скоростей

£ м ц с

(рис.

208). Опреде­

ляем угловую скорость линейки вокруг мгновенного центра скоростей. Для этого делим линейную скорость пальца на его расстояние от мгновенного центра ско­ ростей:

со/

1 Эта теорема доказана О. Коши (1827 г.).

364

Смотрите также файлы