|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
угловая скорость линейки вокруг |
мгновенного центра |
скорос |
тей равна |
угловой |
скорости |
кривошипа вокруг оси О. Для определения |
кинети |
ческой энергии линейки нам надо |
знать |
угловую скорость |
линейки вокруг оси, |
проходящей перпендикулярно |
к плоскости движения в центре |
масс. Напомним, что |
угловая |
скорость |
не зависит от |
выбора |
полюса, |
а потому искомая |
угловая |
скорость равна найденной угловой скорости относительно мгновенного центра скоростей.
Чтобы определить скорости точек А и В линейки, надо умножить угловую скорость линейки на расстояние этих точек от мгно венного центра скоростей. Если обозначим через ф угол поворота кривошипа, то
vA = со 21 cos ф, vg = со 21 sin ср.
Кинетическую энергию кривошипа опреде лим по формуле (216) как энергию вращающе гося тела:
т |
Pl* |
со' |
Р/2 |
со2 |
Рис. 208 |
|
|
~2 |
|
|
|
Кинетическую энергию линейки определим по формуле (217) Кёнига:
1 л — |
2Р |
со2 /2 |
|
, 2Р (2/)2 |
со* |
4Р/2 со2 |
g |
2 |
і |
g 12 |
~2 |
3g • |
|
|
|
|
|
|
Кинетическую энергию поступательно движущихся ползунов определим по (215):
|
|
|
|
Q |
ыЧГ2 cos2 ф |
|
|
2Q/2 w2 |
cos2 |
ф |
2 я |
2Q/2co2 sin2 |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
механизма |
равна |
арифметической |
сумме |
кинетических |
энергий |
его звеньев: |
|
|
|
|
|
|
|
•Тл + |
Тв+Т,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к р |
|
|
|
О т в е т . |
(1.5P + 2Q) |
Рсо2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
№ |
153. |
Определить |
|
кинетическую |
энергию планетарного механизма |
(рис. |
209). Рукоятка |
Ох03 |
массы |
m и длины |
Аг вращается с угловой |
скоростью ш |
вокруг |
неподвижной |
оси Оъ |
проходящей |
через |
|
|
|
|
центр |
неподвижного |
зубчатого |
колеса |
/ . На ру |
|
|
|
|
коятке |
свободно насажены |
два |
зубчатых |
колеса |
|
|
|
|
радиуса |
г и массы m |
каждый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Система |
состоит |
|
из |
рукоятки |
и |
|
|
|
|
двух |
зубчатых колес |
( / / |
и |
/ / / ) . |
Кинетическая |
|
|
|
|
энергия системы равна сумме кинетических |
|
|
|
|
энергий этих тел. Кинетическую энергию ру |
|
|
|
|
коятки |
определим |
по (216), |
приняв |
рукоятку |
|
|
|
|
за однородный |
стержень: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti-- |
Jco2 |
|
m (4/-)3 |
(0" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическую |
энергию |
среднего |
колеса |
определим по формуле (217) Кёнига, |
считая |
зубчатое колесо |
круглым |
диском. Скорость центра 02 |
диска |
/ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v02 |
= |
a2r, |
|
|
|
|
потому |
что эта точка |
принадлежит и рукоятке, |
вращающейся |
вокруг |
О х . Мгновен |
ный |
центр |
скоростей |
|
этого |
диска |
находится |
в точке |
касания |
его с |
неподвижным |
зубчатым колесом / . Угловую скорость среднего |
|
диска найдем, |
поделив |
v 0 |
i на |
расстояние |
от |
0 2 |
до мгновенного |
центра |
скоростей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со, = |
г |
= |
2со. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
m4r2 co2 . mr2 |
4со2 |
|
„ „ „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г„ = |
л |
— |
|
|
^-==3/я/-со2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Эту |
же величину |
можно |
определить |
по (216'), |
считая, |
что колесо |
вращается |
вокруг |
мгновенного |
центра |
|
скоростей; |
в |
таком |
случае момент |
инерции |
|
колеса |
относительно |
оси |
вращения |
надо |
подсчитать |
по |
теореме |
о |
параллельных |
|
осях |
' тг2 |
|
|
3 |
|
\ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—^--\-mr2 |
—-^ |
mr2 \ . Умножив |
затем |
- у ^ г 2 на квадрат |
угловой скорости |
(2<о)2 |
и поделив на 2, получим |
Т2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить угловую скорость крайнего колеса, найдем скорость точки |
касания его со средним колесом. Скорости |
точек |
среднего |
колеса |
определим |
как |
вращательные |
вокруг мгновенного |
центра |
скоростей. Таким |
образом, точка |
|
каса |
ния обоих |
подвижных колес движется со скоростью со22л = 4сог, равной скорости 0 3 , |
откуда угловая скорость крайнего колеса |
со3 |
= 0, |
|
следовательно, |
крайнее |
колесо |
совершает |
поступательное |
движение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
крайнего зубчатого колеса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
m (to4/-)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая |
энергия |
всего |
механизма |
равна |
сумме |
кинетических |
энергий |
его звеньев. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . Г = ^ у + 3 + 8^ mr 2 co 2 = y m r 2 c o 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
47. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ СИЛЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие работы. Энергия может перехо- |
«Работа — это |
изменение |
дить из одного вида в другие. Например, |
формы движения, рассматри- |
потенциальная |
|
энергия |
воды, |
поднятой |
ваемое |
с его количественной |
|
|
„ |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
стороны» |
(Энгельс)1 |
|
плотиной |
на гидроэлектростанции, |
перехо |
|
|
|
|
|
|
|
дит в кинетическую энергию вращающихся |
турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энер гию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию
электропечей, в |
световую, в звуковую и в прочие |
виды |
энергии. |
При всех этих |
явлениях исчезает (или возникает) |
такое |
же коли |
чество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс на зывает работой.
Из множества различных видов движения в теоретической меха нике интересуются только механическим движением. Переход механи
ческого |
движения |
в |
нёмеханическое |
или же, наоборот, |
немеханичес |
кого |
в |
механическое |
происходит на |
протяжении некоторого пути и |
1 |
К. М а р к с и |
Ф. |
Э н г е л ь с . Соч., т. 20. Госполитиздат, |
1961, стр. 419. |
|
зависит |
от |
действующих |
сил. Поэтому понятие работы в |
механике |
|
связано |
с |
понятиями |
перемещения и |
силы. |
|
|
|
|
|
|
Работу постоянной силы при |
Работа постоянной силы при прямолиней |
|
ном движении. Знакомство с понятием |
ра |
|
прямолинейном движении вы |
боты силы в механике начнем с частного |
|
ражают |
произведением |
мо |
|
дуля силы на величину пере |
случая — |
работы |
постоянной |
силы |
при |
|
мещения |
материальной час |
прямолинейном движении точки ее прило |
|
тицы и на косинус угла меж |
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
ду направлением силы и пе |
Пусть |
к некоторой |
материальной |
ча |
|
ремещением! Л = Fs cos |
а |
|
стице приложена |
сила |
F, постоянная |
по |
|
|
|
|
|
|
величине и по направлению. Пусть |
точка |
приложения |
силы пере |
|
местилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае |
произведение |
|
|
|
|
|
A=*Fscosa |
|
|
|
(218) |
|
выражает работу постоянной силы F при прямолинейном |
движении |
и характеризует механическое воздействие на материальную частицу
со стороны |
других материальных объектов на данном пути. |
Работа1 |
является скалярной величиной, она не имеет направления |
и вполне |
характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) |
модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла а между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости у, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если
угол (Fv) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F
А. У\
совпадает с направлением перемещения, то угол (Fv) = 0, cos (Fv) = 1 и
A^Fs.
Если же сила направлена противоположно перемещению, то (ft>) = 180°, cos (Ft!) = — 1 и
|
|
|
A^—Fs. |
|
|
|
|
Сила, |
перпендикулярная |
к |
перемещению, |
работы |
не совершает, |
так как |
cos 90° = 0. |
|
|
|
|
|
|
Определим |
размерность |
работы. |
В физической системе |
единиц |
|
|
l |
^ |
= L ' № T - ' |
|
|
|
Единицей работы в СИ является джоуль* — работа силы в 1 ньютон, |
действующей по направлению перемещения на |
пути в |
1 метр |
(1 дж~ |
= 1 н-м = 1 |
кг-мг-сек~2). |
|
|
|
|
|
|
Размерность |
работы в технической |
системе |
единиц |
|
|
[Aj^UF1!0.
Термин «работа» введен в науку Кориолисом и одновременно Понселе в 1829 г. Принято на П-м Международном конгрессе электриков в 1889 г.
Если |
сила |
выражена |
в кГ, а длина —в м, |
то единицей |
работы |
является |
1 |
килограммометр1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размерности |
работы и кинетической |
энергии |
одинаковы. |
|
|
|
„ |
|
|
|
|
Элементарная |
работа |
силы. В |
общем слу- |
Элементарнои |
работой |
|
силы |
ч а е - е с |
r |
|
|
„ |
|
|
или |
|
J |
называют |
работу |
силы на |
л и |
с и л а |
|
переменна |
движение |
столь |
малом |
перемещении |
точки |
приложения |
силы |
криволинейное, |
точки |
ее |
приложения, |
при |
определять работу |
силы |
по (218) |
нельзя, |
котором изменением |
|
силы |
т_[0 ) разбив мысленно весь путь на такие |
можно |
пренег^ечь: |
|
маленькие участки, которые можно считать |
|
dA = F cos (Fv)ds |
|
|
прямолинейными и на которых можно пре |
небречь изменением |
величины и направления силы, мы определим на |
каждом из этих участков |
работу, |
называемую |
элементарной |
работой |
силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA=Fcos(Fv)ds. |
|
|
|
|
|
|
(219) |
В этом равенстве ds выражает длину |
|
элементарного перемещения |
и является величиной всегда положительной. |
|
|
|
|
|
Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно |
определить |
работу |
на конечном участке. Докажем некоторые |
теоремы |
о работе |
силы. |
|
|
|
Теорема об элементарной работе равнодей- |
|
|
|
|
|
|
|
Элементарная |
работа |
равно- |
ств\ющей. Пусть к точке О приложен пучок |
^ Г р Т ы х |
S |
T « Г а в ! |
с и л Ч |
F „ ... , |
Fa. |
Обозначим |
равнодейст- |
|
ляющих: |
|
|
вующую |
этого |
пучка |
F. Спроецируем все |
|
dA = y\dAk |
|
|
|
сялы |
пучка и равнодействующую |
на нап- |
|
|
|
|
|
|
|
равление |
скорости |
точки |
О и |
приравняем |
проекцию |
равнодействующей сумме |
проекций |
составляющих: |
|
F cos (Fv) = Fx cos ( / > ) + F2 cos (F^v) + ... + Fn cos (/=>)•
Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds эле ментарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элемен тарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:
/Ч |
|
|
/\ |
|
|
|
|
/Ч |
|
'Ч |
|
F cos (Fv)ds |
= Ft |
cos (FjV)ds + F 2 |
cos (F2v)ds |
+ ... + Fn cos |
(Fnv)ds, |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA=%dAk. |
|
|
|
|
(220) |
Под суммой следует |
понимать, |
конечно, |
алгебраическую |
сумму, |
потому что работа |
не имеет |
направления, но имеет знак. |
|
|
|
|
|
|
Выражение элементарной работы через про- |
Элементарная работа |
силы |
е к |
ц и |
и |
с и |
л ы |
н а о с и |
координат. |
Разложим |
связана с проекциями силы на |
С И Л У |
|
г, |
|
|
г |
|
коррди- |
оси координат соотношением: |
F |
н |
а |
составляющие ПО осям |
dA = Xdx+Yd |
+Zdz |
нат и определим элементарную работу |
силы |
~г |
у г |
|
п о |
С |
у |
М м е |
|
работ ее составляющих. |
Пусть |
составляющие |
силы |
направлены |
в положительном направлении |
осей |
1 Эта единица предложена Понселе в 1829 г., но Д . С. Чижов еще в 1823 г. измерял действие машин в «динамических единицах», равных 1 кГ-м.
координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) на правляющих косинусов скорости. В таком случае имеем
dA — F cos (Fv)ds = X cos avds + Y cos $vds + Z cos yvds,
или, подставляя значения направляющих косинусов, |
|
dA^X^ds |
+ |
vfds+Z^ds; |
|
сокращая на ds, получаем окончательно |
|
dA = Xdx+Y |
dy + Zdz. |
(221) |
Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При |
выводе этой формулы мы считали X, Y и Z направленными |
поло |
жительно по осям координат. |
Если |
какие-либо из составляющих |
силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, Y и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат,
т.е. определяются |
не только |
величиной, |
но и знаком. Кроме того, |
в отличие от (219), где всегда ds>0, |
в |
(221) величины dx, dy и dz |
являются |
дифференциалами |
координат |
точки приложения |
силы и |
могут быть как положительными, так и отрицательными. |
|
Заметим, |
что |
в общем |
случае |
дифференциальный |
трехчлен |
X dx + Y dy + Z dz |
не является полным дифференциалом и обозначе |
ние элементарной |
работы dA |
не следует |
понимать как полный диф |
ференциал |
от |
А. |
|
|
|
|
|
Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ си лы на элементарных переме щениях, из абсолютных ве личин которых составляется
данный путь:
А--= ^ (Xdx + Ydy + Zdz)
Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения Мх и М2 точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении МХМ% выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемеще ниях, на которые разбит конечный участок пути МХМ2.
м,мг |
Эта сумма |
состоит |
из бесчисленного |
мно |
|
жества бесконечно малых слагаемых. Такую |
сумму называют криволинейным |
интегралом, |
взятым по дуге М-^М^, |
и обозначают так: |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
\ |
F cos (Fv)ds |
|
(222) |
|
|
м,м2 |
|
|
|
|
или, если воспользоваться |
выражением элементарной работы |
через |
проекции силы на оси координат, |
|
|
|
А= |
J |
(Xdx+Y |
dy + Zdz). |
(222') |
Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.
