Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 240

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Работа силы тяжести. Складывая веса

Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:

F = F{x, у,

z, х, у,

z, t),

то мы можем вычислить интеграл

(222')

только в случае, если из­

вестно движение точки. Подставив тогда вместо х, у, z, х, у, z. их

выражения

в

зависимости

от времени,

мы

сможем

представить

ра­

боту

силы

в

виде интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A=\f{t)dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t,

 

 

 

 

 

 

 

где tt

и t2 — мгновения, соответствующие положению точки в М 1 и

Мг.

„ „

,

 

 

Графическое

определение

работы.

Ввиду

Работа графически вы ража-

сложности

математического

вычисления

ется

площадью,

ограничен-

ной кривой,

изображающей

работы на практике часто пользуются для

зависимость

проекции силы

этой цели графическим методом. Будем

на скорость от пути, осью

откладывать

по

оси

абсцисс

длину

пути,

абсцисс и крайними ордина-

u

 

„

 

 

 

J

 

 

тами

пройденного

точкой,

а по оси ординат —

 

 

 

 

соответствующую

проекцию

силы

на

на­

правление скорости, учитывая и знак проекции. Получим некоторую

кривую, изображающую зависимость между проекцией

силы на

на­

правление

скорости

и путем точки. Площадь, ограниченная этой

кри­

вой, осью

абсцисс

и

двумя крайними

ординатами,

изображает

ра­

боту силы на данном пути.

Если

кривая

или часть

ее

расположена

по отрицательную

сторону,

вниз

от

оси

абсцисс, то

соответствую­

щая площадь изображает отрицательную работу.

 

 

 

 

Для

построения

графика

зависимости силы от

пути

имеются

раз­

личные

приборы.

В

частности,

специальный

прибор — индика­

тор — служит для записи давления в цилиндре в зависимости от хода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикатор­ ной работой.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на изменение высоты центра

тяжести тела: AG = Gh

всех

частиц тела, заменим их одной

с и л о и

Q равной весу тела и приложенной

г/-. гт

8 Центре тяжести С. Пусть при движении тела центр тяжести тела переместился из

С^х,, у1У zx) в С2 (*„ у„ г2) (рис. 210).

Определим проекции веса на оси коорди­ нат, считая, что Oz направлена вертикально вверх:

 

Х = 0 ;

У = 0; Z =

—G,

 

и, подставив их в (222'), получим под

знаком

интеграла полный

дифференциал, а

потому

 

 

 

А=

— J Gdz = — \Gdz=

— G(z2—

гг),

или

с,сг

2,

 

 

 

 

 

 

A=*G(zt — z,) = GA.

(223)

 

 

 

 

Следовательно,

работа

силы

 

 

 

 

тяжести не зависит от вида

 

 

 

 

траектории точек тела и равна

 

 

 

 

произведению веса тела на раз­

 

 

%(х2,у2,гг)

ность начальной и конечной вы-

 

 

сот центра

тяжести. Если

тело

 

 

 

 

опускается,

 

то

сила

тяжести

 

 

 

 

тела

совершает

положительную

 

 

 

 

работу,

а

если

 

поднимается,

 

 

 

 

то

отрицательную. Так,

на­

 

 

 

 

пример,

если

человек

поднял

Рис. 210

 

 

гирю

весом

 

10 кГ

на

высоту

 

 

одного

 

метра

(безразлично — по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вертикали или по иной

траекто-

рий), то работа

силы

тяжести

равна

10

кГ-м,

а работа

человека

на преодоление

силы

тяжести

равна

+ 1 0

 

кГ-м

 

 

 

 

 

Элементарная работа силы, приложенной к телу, закреп­ ленному на неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вра­ щения на бесконечно малый

угол поворота: dA = Mdcp

Работа силы, приложенной к вращающе­ муся телу. Пусть тело вращается (или может вращаться) вокруг неподвижной оси и к какой-либо точке К этого тела при­ ложена сила F. Примем ось вращения тела за ось Ог прямоугольной системы координат. Элементарная работа силы вы­ разится равенством

 

 

 

 

 

dA=Xdx

+ Ydy + Zdz.

(221)

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции

вращатель­

ной

скорости

точки

К (х, у,

г) с угловой скоростью и координатами

этой

точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vx

= — г/со,

vy=

+ха;

vz

— 0.

(89)

Умножая

эти

равенства

на dt,

найдем

приращения

координат

лючки приложения

силы:

 

 

 

 

 

 

 

dx=—ydcp;

dy—+xdq>,

dz = 0.

 

Подставим

эти выражения

dx, dy и dz в формулу (221)

 

 

 

 

dA = ( — yX + xY)dy.

 

 

Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы

относительно

оси вращения Ог:

 

 

 

 

 

 

 

 

M, = xY-yX,

 

 

(23)

а следовательно, элементарная работа силы, приложенной к вра­

щающемуся телу, равна произведению момента силы

относительно

оси вращения на дифференциал

угла поворота:

 

dA

= Md(f.

(224)

Если на тело действует несколько сил, то, составив такие ра­ венства для определения работы каждой из них и просуммировав,

найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dep.

Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от ср! до ср2, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:

Л = Ф $ Ш Ф .

(225)

Фг

 

В частном случае постоянного момента силы

 

Л = М Ф

(226)

работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.

Задача

№

154

(№

29.1,755 М).

Однородный массив ABED, размеры которого

указаны на

чертеже (рис. 211, а),

весит

4 Г. Определить работу,

которую

необхо­

димо произвести,

чтобы опрокинуть его

вращением вокруг

ребра

D.

 

Решение.

1-й

с п о с о б . Рассматриваем

опрокидывание

массива. Какие силы

действуют на

массив?

Их две: вес массива

(3 = 4 Г, приложенный в его

центре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 211

 

 

 

 

 

 

 

тяжести

С, и реакция фундамента. Во

время

опрокидывания реакция

приложена

в

ребре

D,

вокруг которого

происходит

опрокидывание (рис. 211,6), как известно

из

статики

(см. § 6,

задача №

6).

Но

во

время

опрокидывания

ребро

D непо­

движно,

поэтому работа

реакции равна

нулю. Работу веса (силы

тяжести)

опре­

делим по (223). Для

опрокидывания

массива

достаточно

повернуть его

до

поло­

жения

 

неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при

котором

центр тяжести находится в вертикальной

плоскости, проходящей

через

ребро D\

далее

массив

опрокинется

сам. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г 1 =

| - =

4л«,

г 2

=

/ Х

=

У¥+¥=5

м,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = G {г1

— г2)

=

-АТ.м.

 

 

 

 

 

 

Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть -

массив,

надо

произвести

работу,

такую

же

по величине и обратную по знаку.

 

2-й

с п о с о б .

Несколько

сложнее

получится решение задачи, если мы вос­

пользуемся

формулой

(225)

о

работе

сил, приложенных

к вращающемуся

телу.

 

На

поворачиваемый

вокруг

ребра

D массив действуют вес и реакция в ребре D.

Момент

реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна

нулю и работа реакции. Момент

веса — величина

переменная — равен

произведе-

дению

силы

4 Г на

плечо CD cos ср, где

ф

(см. рис. 211,

б) —угол, составляемый

CD с

горизонтальной плоскостью:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М = 20 cos ф.

Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и

sin ср0

= - ^ = 0,8.

 

5

Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:

 

 

 

 

ф 0

=

arcsin

0,8.

 

В конечном положении

(см. рис. 211,

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

Ф =

— 2 " -

 

 

Подставляя

в (225),

получаем

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

—

S

20 cos

ф гіф =

20 sin ф

 

= — 20-f 16 = — 4.

 

 

 

arcsin

0,8

 

 

 

-

arcsin

0,8

 

 

 

 

 

 

Мы определили

работу

восстанавливающего

момента, вызванного силой тя­

жести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на

опрокидывание массива

вращением

вокруг ребра

D

равна

ей

по

величине

и

про­

тивоположна

по

знаку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

А =

-\-4Тм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 155. Определить работу на преодоление силы земного

притяжения

при запуске

на высоту

30 000 м ракеты

массой

m =

2000 кг,

считая

силу

притя­

жения

изменяющейся

по закону

всемирного тяготения.

Радиус

земного

 

шара

принять

# =

6 370 000

м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

На

ракету действует

сила,

направленная

к

центру

Земли и

равная

 

 

 

 

 

F =

k ^ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xі

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k—постоянный

коэффициент пропорциональности1 ,

М—масса

Земли, ш—

>

масса ракеты и x = h-\-R— расстояние ракеты от центра Земли. Обозначая kM через д., имеем

„m

При x = R ракета находится на поверхности Земли, и F = mg,

 

 

 

 

 

 

 

 

m.

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

•x =

/?2 g =

9,81 R*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная [ink,

можно

определить

массу

Земли,

потому

что k =

\i:M.

 

 

Работу

переменной

силы F

на

перемещение ракеты

с поверхности

Земли

на

высоту

h =

30 000

м

определим

по (222):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R+h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l =

- j

 

dx=

- „

, • =

— 5 621 262 369

дж.

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R (R + h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отрицательный знак показывает, что при подъеме

ракеты

сила

тяготения

ракеты

к

Земле

направлена

против движения.

Чтобы

преодолеть эту силу

на

заданном расстоянии, надо совершить работу, такую же по величине, но положи­

тельную по

знаку.

О т в е т .

А = + 5 621 262 369 дж.

1 Коэффициент k был определен Кавендишем (1798 г.) из опытов над притя­ жением двух шаров — большого свинцового и маленького, медного.

Смотрите также файлы