Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 238

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Задача

№ 156.

Доказать,

что

сумма

работ

внутренних

сил

абсолютно твер­

дого тела при всяком перемещении тела равна

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Рассмотрим две

точки А

и В

твердого тела (рис. 212). Силы

взаимо­

 

 

 

действия

этих

точек

всегда равны

между

со­

 

 

 

бой

и

направлены

по

прямой

АВ

в

противо­

 

 

 

положные

стороны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекции

скоростей

точек

Л и

В

на

пря­

 

 

 

мую

АВ

 

всегда

равны

между собой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vA

COS <X =

VB

COS p\

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому при любом перемещении работы сил

 

 

 

взаимодействия точек А и В равны по величине,

 

Рис.

212

но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю:

 

 

^dA

=

FvA

cos <xdt-\-FvB

cos (180° — $)dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

== FVA

COS a

dt

— F V B cos

p dt =

0.

 

 

Доказательство

проведено для двух

точек абсолютно

твердого тела,

за

которые

мы можем принять любые точки тела, а

потому

оно

относится

ко всем

точкам

"твердого тела. В случае упругого тела

или изменяемой системы точек сумма

работ внутренних сил не равна нулю.

Так,

например,

при падении

камня на

Землю силы

взаимодействия

между

камнем

и Землей

(внутренние силы

системы

Земля — камень) равны и противоположны, но сумма

работ этих

сил не равна нулю.

О т в е т . Сумма

работ всех внутренних сил в

абсолютно

твердом теле при

всяком перемещении

тела равна нулю.

 

 

Работа упругой силы равна половине произведения коэф­ фициента жесткости на квад­ рат деформации:

Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на К см, если для растяжения этой пружины на 2 см необходима сила с кГ

(рис. 213). Сначала определим работу,

2которую необходимо совершить для растя­ жения этой пружины на X см.

Согласно одному из основных законов теории упругости и сопро­ тивления материалов, называемому законом Гука \ растяжение на­ груженного" тела прямо пропорционально нагрузке:

F — сх,

где F—нагрузка,

х—растяжение

и с — коэффициент

жесткости.

Подставляя

это

значение F в

(221) и интегрируя в

пределах от 0

до X, найдем работу,

необходимую для искомой деформации пружины:

 

 

к

 

 

A = ^cxdx = ~ .

(227)

о

 

Если к пружине приложить силу, например

растягивать пру­

жину рукой, то со стороны пружины возникнет

реакция, называе­

мая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принципу равенства действия и противодействия упругая сила равна и проти­

воположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой

силы

определяется найденным значением. Знак работы "упругой

силы

отрицателен, если сила

упругости направлена против

деформации,

т. е. если деформация

увеличивается, и. положителен,

если

дефор­

мация уменьшается.

 

 

 

1 Закон деформации упругого тела открыт Гуком в 1660 г., но опубликован только в 1676 г.

Задача № 157. Применить графический метод для вывода формулы (227).

Решение.

Будем откладывать

(рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины,

а по оси ординат — силу F,

потребную для этого

растяжения,

затем построим по

точкам кривую зависимости

между силой

и перемещением точки приложения силы.

В нашем случае это кривая

первого порядка, т. е. прямая

линия.

Первую

точку

поставим

в начале

координат,

так как

при отсутствии растя­

гивающей силы растяжение

пружины

равно нулю. Чтобы

растянуть пружину на

1 см, нужна

сила

с кГ, поэтому

вторая

точка

кривой имеет

координаты д с = 1 .

сА

Зс

 

 

 

 

 

 

2с

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

2

3

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

213 v

 

 

 

Рис. 214

 

 

 

 

 

у —с. Если

сила

с кГ

будет

продолжать

действовать

на пружину, то

пружина

будет

оставаться

растянутой

на один

сантиметр,

но

чтобы

растянуть

пружину

еще на один сантиметр, надо

увеличить

силу

еще на с кГ. Следовательно,

коор­

динаты

третьей

точки

х — 2,

у = 2с

и

т. д.

Д л я

растяжения

пружины

на

X см

нужна

сила

в

сХ кГ.

Точка

х = Х,

у — сХ лежит

на

прямой,

соединяющей все

нанесенные

точки. Проведя ординату

крайней точки, получим треугольник

с

осно­

ванием X и высотой сХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Работа выражается площадью

этого треугольника,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=с^.

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что работа

упругой

силы

выражается

полученным

ра­

венством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта фор­

мула

относится

в

равной

мере ко всем

случаям

упругой деформа­

ции,

в которых

упругая

реакция подчиняется закону Гука F — сх,

где

х—перемещение

точки приложения

реакции,

отсчитанное от

положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас—

постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.

 

Мощность силы. Одну и ту

же

работу

Величину, характеризующую

можно

произвести за различное время.

Величину, характеризующую быстроту при­

быстроту приращения работы

ращения

работы,

называют

 

мощностью

силы и выражающуюся отно­

 

шением элементарной работы

силы

и

обозначают буквой

N.

Разделив

к дифференциалу времени,

работу,

произведенную силой,

на

время,

называют мощностью силы:

в течение которого

эта работа

произведена,

 

 

получим

значение

средней мощности силы:

А

/V,

В этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность—это работа за единицу времени. При таком определении

получается, что мощность является работой, или элементарной ра­ ботой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размер­ ность. В физической системе единиц

[Л^]ф = Ь 2 М 1 Т - 8 .

Единицей мощности в СИ является мощность силы, производя­ щей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт1 и обозначают вт. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (кет):

1 кет = 1000 вт = 1 0 2 кГ • м/сек.

В технической системе единиц

В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой2 :

1 л. е. — 75 кГ -м/сек = 736 вт.

Чем меньше промежуток времени,

за который

определена

сред­

няя мощность силы, тем ближе она соответствует

мощности в

дан­

ное мгновение, которую мы определим в пределе,

если будем умень­

шать промежуток времени, сохраняя

начало этого

промежутка:

Таким образом, мощность силы выражают отношением элементар­ ной работы к дифференциалу времени.

При некоторых частных выражениях работы мощность можно

определить по другим формулам. Так, например,

если

сила направ­

лена по скорости, то dA

= Fds, и, подставляя

в

(228),

найдем

 

N = F-v,

 

 

(229)

т. е. мощность можно выразить произведением

силы

на скорость.

При езде на автомобиле

по ровной хорошей

дороге, где нужно по­

лучить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопро­

тивления, включают

высшие

передачи,

а при подъеме или на плохой

дороге, где нужно развить при полной

мощности возможно большую4

силу тяги, хотя бы и за счет

потери

скорости, включают

низшие

передачи.

 

 

 

 

 

 

скорость — в км/ч,

 

Если сила выражена в килограммах,

а мощ­

ность

надо выразить

в л. с,

то

формула

(229) принимает

следую­

щий вид:

 

 

 

 

Fv

 

 

 

 

 

 

.,

fy-1000

 

 

 

 

 

 

/V = —

=

 

п

г

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

3600-75

270

 

 

1

Принято

на I I Международном

конгрессе электриков в 1889 г.

 

2

Единица

мощности

«лошадиная

сила»

введена Джемсом Уаттом.

 

При вращательном движении тела подставим вместо dA его

выражение

(224):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N ^ M £ t

=

Ma,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(230)

т. е. мощность

выражается

произведением

вращающего

момента и

угловой

скорости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 158. Тягач, развивая мощность

80 л. с,

тянет

 

по

горизонтальной

ледяной дороге со скоростью

15 км/ч

 

сани

с

грузом

36 т. Определить

коэффи­

циент трения саней о дорогу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

За основные единицы примем: L — в км, F — в кГ,

Т — в ч.

 

На сани действуют следующие силы:

1) вес 36 000 кГ,

 

направленный

верти­

кально вниз, 2) реакция дороги, направленная

 

вертикально

вверх;

3) сила тяги

тягача, направленная горизонтально вперед по

ходу

саней,

и

4) сила

трения

полозьев о дорогу, направленная горизонтально

 

назад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа вертикальных сил при горизонтальном движении

саней

равна

нулю,

и эти силы нас не интересуют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сани движутся равномерно, откуда следует,

 

что горизонтальные силы уравно­

вешивают друг друга. Следовательно,

 

сила

тяги

F уравновешена

силой

 

трения,

равной, как известно, произведению коэффициента трения

на

нормальное

давле­

ние (36 000 кГ). Подставляя эти данные,

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О Л

/-36 000.15

,

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80=--

 

 

_

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80-270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

36 000-15

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим теперь эту же задачу

 

в СИ, т. е. примем

L в м,

М — в кг, Т — в сек.

Мощность силы,

развиваемую

тягачом,

выразим

в

ваттах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# = 80-736 = 58 880

вт,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорость — в метрах

в

секунду:

 

15 000

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и==1боо- м , с е к '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силу трения

выразим

в

ньютонах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F T

p

= /-36 000-9,81

к,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, пользуясь

формулой

(229),

получим

ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( _

 

58880-3600

 

 

п

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U T B e T -

' ~ 15000-36000-9,81 ~ и ,

и 4 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 159 (№ 791. Н. Н. Б у х г о л ь ц , И. М. В о р о н

к о в , и А. П. Ми ­

н а к о в. Задачник

по теоретической

механике). Нажим

Прони.

 

 

 

 

 

Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал

машины надевают чугунный шкив, который центрируют

и закрепляют

наглухо

винтами

(рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные

подушки,

одна из которых имеет плечо / с чашкой для грузов Q. Противовес

Р

подбирают

так, чтобы свободно

надетый

на шкив

нажим находился

в равновесии

без гирь Q

в горизонтальном

положении,

т. е.

так,

чтобы

 

плечо

проходило

между

двумя

неподвижными балками А к В. Испытание начинают с

того,

что

затягивают

болты

подушек до тех пор, пока

 

машина

не даст

наперед

заданное

число

оборо­

тов п.

Коромысло

прижимается

при

этом

к неподвижной

балке

А. Затем начи­

нают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от

Л и не

займет

горизонтальное

положение

между

А

а

В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить мощность, если

вес гирь

известен

и равен Q, длина

плеча

равна /,

а число оборотов в минуту п. Подобрать

длину'

плеча

так, чтобы

мощность вы­

ражалась

формулой

N =

Qnem.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Центр тяжести

подушек

с противовесом

Р

по

условию

задачи

лежит

на одной вертикали с осью шкива. На шкив действуют вращающий

момент

и момент

сил

трения,

сумма

которых

равна

нулю,

так

как

шкив вращается

равномерно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и со­

ставим

сумму

моментов

действующих

на нее сил относительно оси вала:

 

 

 

 

 

 

 

2]Afo =

A f T p - Q / = 0.

 

 

 

 

 

Тогда,

по (230),

 

 

 

 

ТІҐІ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

вес выражен

в кГ, а длина —в

м,

тогда

для

выражения

мощности в вт

надо

эту величину

разделить

на 0,102

или умножить

на 9,81:

 

 

Если

/ = 0,98

м, то

N — Qn вт.

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т . N=1,02 6

Qln вт. Если

/ = 0,98 ж, то N = Qn вт.

 

 

Задача

№

160

(№

29.18,722 М).

Посредством ремня (рис. 216) передается

мощность

20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число

оборотов в минуту 150.

 

Рис. 215

 

 

 

 

Рис. 216

 

Предполагая, что натяжение 7\ ведущей

ветви

вдвое

больше натяжения

Т2 ве­

домой ветви,

определить натяжение Тх и

Т2.

системе

единиц, будем

решать

Решение.

Условие

задачи

дано в технической

в СИ и выражать L — в м,

F — в н, T — в-сек.

 

 

 

 

Момент натяжения

ремня,

взятый относительно оси вращения шкива

 

 

 

 

М^ТіГ-Т2г='-^

 

н-м.

 

 

 

Угловая

скорость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со = ж

= 5л.

 

 

 

 

Мощность

20 л. с.

выразим в ваттах:

 

 

 

 

 

и по (230)

 

 

/V = 20-736= 14 720

em,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А' = Мш

= у - 5 л ,

 

 

 

 

откуда

 

 

_

14 720-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Натяжение ведущей ветви

в два раза больше.

 

 

 

О т в е т .

7\ = 3750 н;

Т 2

= 1875 н.

В задачнике

И.

В. Мещерского

ответ

дан в кГ; умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в кило­ граммах: Т2 = ШкГ; 7 \ = 191кГ.

Смотрите также файлы