Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 2
Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинети ческой энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кине тической энергии.
Рис. 217
Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к точке сил.
Уравнение (232) можно записать более коротко:
Т—Т0=А. |
(232') |
Задача № 161. Самолет делает посадку с выключенным мотором на боло тистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость v может иметь
самолет, не |
рискуя |
капотировать (опрокинуться), если расстояние |
ОС |
центра |
||||||||||||||||
|
|
|
|
тяжести от оси шасси равно |
с и |
угол |
наклона |
прямой СО |
||||||||||||
|
|
|
|
с вертикалью в мгновение посадки |
равняется |
а |
(рис. |
217). |
||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
Опрокидывание |
самолета |
происходит |
от |
того, |
|||||||||||
|
|
|
|
что при соприкосновении с Землей |
скорость |
шасси |
умень |
|||||||||||||
|
|
|
|
шается, а |
корпус |
продолжает |
двигаться |
с постоянной |
ско |
|||||||||||
|
|
|
|
ростью. Для |
капота |
достаточно (и необходимо), |
чтобы |
центр |
||||||||||||
|
|
|
|
тяжести, |
поднявшись, |
оказался |
на |
вертикали, |
проходящей |
|||||||||||
|
|
|
|
через |
ось |
шасси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
работа |
силы |
тяжести |
не |
зависит |
от |
траекто |
|||||||||
|
|
|
|
рии центра тяжести, а зависит лишь |
|
от |
его |
вертикального |
||||||||||||
|
|
|
|
перемещения, |
то |
работа силы тяжести |
при опрокидывании |
|||||||||||||
|
|
|
|
(рис. |
218) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A~ |
|
— Gh — —Gc(\ |
— cos а ) . |
|
|
|
|
||||||
Рис. |
218 |
|
|
Вертикальная |
скорость |
самолета |
теряется |
при |
ударе о |
|||||||||||
|
|
|
|
Землю, но |
горизонтальная |
сохраняется. |
Если |
|
при |
спуске |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
„ |
|
|
самолета шасси остановится, то оставшаяся кинетическая |
энергия |
|
|
уйдет на |
||||||||||||||||
опрокидывание |
самолета: |
— = — m g c ( l - |
-cos |
а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решая это |
уравнение, находим |
ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
О т в е т . |
о < |
У 2gc (1 — cos |
а ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача |
№ |
162. |
(№ 121. Б. С. З е р н о в . |
Сборник |
задач |
по |
теоретической |
|||||||||||||
механике, ч. II—Динамика). Пренебрегая |
сопротивлением |
атмосферы, |
определить, |
|||||||||||||||||
с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку |
|
вертикально |
||||||||||||||||||
вверх, чтобы она |
не |
вернулась |
на |
Земли?. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли:
Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:
Материальная |
точка, |
получив |
начальную |
скорость |
о0 , |
будет |
удаляться от |
||||||||||
Земли, при этом |
под |
действием силы |
F скорость |
ее |
будет |
уменьшаться, |
умень |
||||||||||
шаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если'в мгно |
|||||||||||||||||
вение, когда скорость ее станет |
равной |
нулю, |
перестанет |
действовать |
и |
сила. |
|||||||||||
Сила притяжения обратится в нуль при |
г = о о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Работу силы |
F при изменении |
г |
от |
R |
до оо |
выразим |
интегралом |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Г am |
|
|
am |
|
|
|
|
|
|
|
||
Знак минус перед интегралом взят |
потому, |
что |
сила |
направлена в |
сторону, |
про |
|||||||||||
тивоположную |
движению. Подставляем в |
(232): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
mv\ _ |
|
am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя числовые |
данные, |
получим |
ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
О т в е т . |
va= |
Y2-9,8-6366ОООяу |
|
11 200 м/сек. |
(2-я |
космическая |
скорость). |
||||||||||
Задача № 163. В автоматическом |
оружии |
отдача |
используется |
для |
выбрасы |
||||||||||||
вания пустой |
гильзы |
и вкладывания |
нового патрона. |
Это осуществляется |
посред |
||||||||||||
ством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя»
отдачу, отскакивает назад и под действием |
пружины |
возвращается обратно, про |
|||||||
изводя упомянутые |
операции. Какова |
должна быть |
скорость пули, |
достаточная |
|||||
для того, чтобы работал автоматический пистолет, если |
вес пули |
8 Г, |
вес кожуха |
||||||
250 Г, расстояние, на которое отскакивает |
кожух, 3 |
см |
и сила, |
необходимая для |
|||||
сжатия пружины на |
1 см, равна |
4 кГ? |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Путь |
кожуха 3 см. |
На |
этом |
пути начальная скорость кожуха v0 |
||||
уменьшается, |
достигая нуля. Механическое |
движение кожуха переходит в упругую |
|||||||
энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как
конечная |
скорость |
равна |
нулю: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 — л |
|
|
|
|
Упругая |
сила |
пружины изменяется |
по закону |
Гука |
F = cx; подставляя |
|||||
вместо F |
и х |
их |
заданные |
значения, находим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 кГ = |
сЛ |
см, |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
с = 4 кГ/см |
и |
F — 4x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя |
в |
(221) и |
интегрируя в |
пределах |
от 0 |
до 3, |
находим |
|||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = — ^ 4xdx |
= — 18 |
кГ-см, |
|
|
|
