Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 233

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

из следующих формул:

m i ( " — » і ) — — S, \

m2(u-v2)

= S,

/

тгт2

(Vj

— Vj)

о

т1

+

т2 = 5

-

m

<1/4>

Л7 с ч

<175>

Кинетическую

энергию

системы

двух тел до удара обозначим Т0,

а после

удара

Т. Изменение кинетической

энергии

 

 

т

т _ , т 1

и 2

т2и2\

fmjvt

. m2vl\_m1(u2

— v2)

~r

m2(u2 — v\)

і

1 "о ~ {

2 + 2 J \ 2 ' 2 J ~

2

2

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T—T

... m i ( u —vi> (u

+ vi)

і rn2(u

— v2)(u + v2)

 

 

і

і

о —

2

 

 

2

 

 

Если

тела

неупруги,

то, принимая во внимание

(174), получим

 

Т

— Т

— ~

s

і 5

(u + v*)

_

s (vi — vJ

 

 

 

1

1

C\

о

"

Г о

 

о

•

 

Подставив

вместо 5 его значение (175),

убедимся,

что кинети­

ческая энергия

системы

уменьшилась:

 

 

 

 

 

 

 

T - T ^ - m r

; i v r V f < 0

.

 

(234)

Если

одно

из тел, например

второе, до удара было

неподвижно

(t»2 = 0),

то начальная кинетическая энергия

системы

равна кинети­

ческой энергии

первого

тела:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Т — Г 0 =

 

 

Т0.

 

 

(235)

Следовательно,

в этом случае

потеря

кинетической

энергии за­

висит исключительно от отношения масс ударяющихся тел. При

ковке металла переход кинетической энергии в тепловую

целесооб­

разен,

а потому

наковальня

должна

быть во много раз массивнее

молота.

Так, например, если

молот в 99 раз легче

наковальни, то

Т — Т0

= — 0,99 Г 0 , т. е. 99% энергии

уходит

главным

образом на

полезную

работу

(на ковку)

и лишь

1% затрачивается на сотрясе­

ние наковальни. Напротив, при забивании свай

надо сообщить свае

возможно

большую скорость,

т. е. надо по возможности

сохранить

при ударе

кинетическую

энергию системы, а потому целесообразно

ударять сваю

массивной

бабой.

Так, например,

если масса бабы

в 99 раз больше массы сваи,

то Т — Т0=

— 0,01 7, 0

и 99 % энергии

уходит на полезную работу (забивку сваи) и лишь

1 % теряется на

звук, теплоту

и пр.

 

 

 

 

 

 

 

 

Потерю кинетической энергии при ударе выразим более удобной

формулой.

Для

этого возведем

(175) в квадрат

и

потом разделим

правую часть полученного равенства на левую:

S2 ( т 1 4 - т 2 ) 2

Умножим теперь на полученное выражение (т. е. на единицу) равенство (234):

Т—Тп =

пцпці^—

t>

2 )2

S 2 ( " i i +

m 2 ) 3

 

 

 

2 ( " i i +

m2 )

 

т\т\ (vx-

2т2

2тх

 

 

 

или в виду равенств

(174)

 

 

 

 

 

 

Т-Тп

 

=

mx

(v1

— u)2

m 2 (у2

— и ) 2 '

(236)

 

 

 

 

 

 

(Uj — и) и ( и 2 — ы) выражают скорости, потерянные первым и вторым телами при ударе. Поэтому равенство (236) словами читают так: потеря кинетической энергии неупругих тел при ударе равна сумме кинетической энергии, которую имели бы эти тела, если бы их скорости были равны тем скоростям, которые они потеряли при ударе1 .

Аналогично можно показать, что в случае не вполне упругого

удара потеря кинетической

энергии равна

1 —ft

доле кинетической

l + f t

энергии, соответствующей

потерянным скоростям:

г - г 0 =

~тх (vx — «x)2

m 2 (у2

(236')

 

 

Если бы существовали абсолютно упругие тела (k — l ) , то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.

 

Задача

№

168.

Определить потерю

кинетической

энергии при прямом

цен­

тральном ударе двух тел, а также

их скорости после

удара, если т1

— тг = 2 кг,

vx = 4 м/сек,

v2

= Q, ft =

0,5.

 

неупругим, то скорость тел после

удара

была

 

Решение.

 

Если

бы

удар был

бы

по (176):

 

 

 

 

2-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u=—— = 2 м/сек.

 

 

 

 

 

Учитывая

коэффициент

восстановления,

скорости

 

каждого из тел определим

по

(178):

 

^

= 24-0,5 ( 2 — 4 ) = I ; и 2 = 24-0,5 (2—0) = 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Потерю

кинетической энергии

определим

по (236'):

 

 

 

 

 

Т

- Т 0

= -

0,5

2(1 — 4 ) 2

2(3 —О)2

6

кг-м2/сек2.

 

 

 

 

1,5

г,

Г

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что механическое движение имеет две меры: 1) количество дви­ жения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения пере­ даваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движе­ ния переходить в другие немеханические виды движения.

1 Эта теорема доказана Лазаром Карно в 1803 г. («Всеобщие принципы рав­ новесия и движения»).

Поэтому

кинетическая

энергия

системы

теряется

при

ударе,

переходит

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в теплоту, звук

и пр. и

 

mkPk

ф c

o

n s { _

 

g

данном

примере (задача №

168)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-42

 

 

 

 

кинетическая

энергия системы до удара

 

была

Т0

— —— =

16 кг-м2/сек2,

а

после

удара стала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 . 1 2

О . 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = ~ -

+ =-±- =

 

10 кг • м2/сек2.

 

 

 

Потерянная системой двух тел кинетическая

энергия 6 кгм2/сек2

перешла в другие

немеханические

виды

движения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Количество

же

движения

системы

 

лишь

передалось от одного тела другому,

но сохранилось

в системе.

В

самом деле,

К0 = 2-4 = 8 кг-м/сек;

К =

2.1 -j-2-3 =

= 8кг-м/сек,

т. е. К — К0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Т — Т0 = 6дж;

их=\

м/сек;

иг

— Ъ м/сек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г Л А В А

XVIII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ *

 

 

§ 49. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ И СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Силовое поле. Пусть к материальной части­

Силовым

полем

называют

це

находящейся

внутри некоторой области

(части

пространства),

приложена

сила,

часть пространства,

приве­

денную какими-либо телами

обусловленная наличием каких-либо тел.

в такое

состояние, при кото­

Если материальная

частица передвигается

ром в каждой ее точке на дан­

в этой

области,

то

действующая на

нее

ную материальную частицу

сила может изменяться в зависимости

от

действует

сила,

зависящая

только от положения частицы

положения частицы или же оставаться

и от времени, но не

от

ее

постоянной.

Зта

сила

может

изменяться

 

скорости

 

 

 

и

со временем,

но

не

должна

зависеть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от скорости частицы. Такую часть

про­

странства

 

называют

силовым

полем, причем силовое поле

называют

стационарным,

если

силы его не

зависят

от

времени,

и

нестацио­

нарным,

если

силы

поля

с течением времени

меняются.

 

 

 

 

Так, например, наша планета находится под действием силы

притяжения к Солнцу. Эта сила обратно пропорциональна

квадрату

расстояния

Земли

от Солнца,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зависит от

положения

Земли отно­

ЛП\

 

 

а

 

 

 

 

сительно

Солнца,

но не зависит от

 

 

 

 

 

 

времени, и поле тяготения к Солнцу

(

)

 

 

 

 

 

 

 

является

 

стационарным

силовым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тяготением

Ньютон

объяснил

 

 

 

Рис. 221

 

 

 

 

(1687

г.)

морские

 

приливы

и от­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ливы.

Его

теория,

усовершенствованная

главным образом

Д. Бер­

нулли, рассматривает океан как водяной покров, окружающий твер­ дый земной шар. Капли воды, находящиеся ближе к Луне, притя­ гиваются к ней сильнее, чем более удаленные капли. Вследствие «приливного ускорения» (рис. 221), т. е. геометрической разности

ускорений,

которые Луна сообщает центру земного шара и каплям

водяной оболочки Земли, возникает движение воды такого

характера,

как будто

обращенная к Луне часть океана притягивается

ею, а про­

тивоположная отталкивается. Поэтому навстречу вращению Земли

(т. е. с В

на 3) всегда бежит по океану приливная волна (но не

течение!).

Аналогичное явление получается от притяжения к Солнцу,

но расстояние до Солнца так велико по сравнению с размерами Земли, что приливное ускорение от притяжения к Солнцу состав­ ляет всего 4" приливного ускорения от притяжения к Луне. Тем

не менее при вычислении приливов и отливов приходится учитывать положение Земли по отношению к Солнцу и к Луне. Взаимное положение светил непрерывно меняется со временем, поэтому на каждую каплю воды действует сила, зависящая не только от поло-

Смотрите также файлы