Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

жения этой капли, но и от времени,-и капли воды океана можно рассматривать как находящиеся в нестационарном силовом поле.

 

 

 

 

Силовая функция

силового

поля.

Дано

Силовой функцией называют

какое-либо

стационарное

поле

и

пусть

такую

функцию координат

существует

некоторая

функция

координат

точек

стационарного

поля,

 

JJ

JJ

t x

у

z)

 

 

(237^

полный

дифференциал

кото-

-

 

 

„ ' ^'

 

 

 

^ '

рой равен

элементарной ра-

обладающая

тем

свойством,

что ее частные

 

боте

сил поля

 

производные

по

х,

у

и г

являются

одно­

значными функциями координат и равны проекциям X, Y и 2силы поля на соответствующие оси координат, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

%-Y-

dl=z-

 

 

_

 

<238>

Функцию

U называют

силовой

функцией1,

а силу F поля, про­

екции

которой

на оси равны

частным производным от силовой

функ­

ции

по этим осям, называют

градиентом

силовой

функции:

 

 

 

 

F=7X

+7Y + kZ =1 g

+ 7

 

+ ~k

 

= grad U.

 

(239)

Геометрическое

место точек,

в

которых силовая

функция

имеет

одинаковое

значение

U

(х, у, z) = const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(240)

называют эквипотенциальной

 

поверхностью, или поверхностью

уровня.

Все

силовое

поле

можно

представить

заполненным

непрерывным

множеством бесконечно близких друг другу

поверхностей уровня.

Для

 

каждого

мгновения

существуют

определенные поверхности

уровня и в

нестационарных

силовых

полях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (х,

у,

z,

t) = const.

 

 

 

 

(240')

Во

всякой

точке

поля

градиент

(239) направлен

по

нормали

к

поверхности

уровня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X,

Подставив

в выражение

,(221)

элементарной

работы

вместо

Y и Z

эти значения,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA = XdxJrYdyJrZdz

 

= ^-dxJr^~dyJt-^-

 

dz = d(J,

 

 

т. е. элементарная

работа

силы поля

равна полному

дифференциалу

силовой функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA = dU.

 

 

 

 

 

(241)

Для существования силовой функции должны удовлетворяться определенные соотношения между проекциями силы поля. Продиф­ ференцируем по z второе из равенств (238), а третье продифферен­ цируем по у, получим

dY

_ d2U

3Z

_

дЮ

дг

~~ ду дг '

ду

 

dz ду '

1 Термин ввел Гамильтон.

На основании свойств частных производных можем написать следующие равенства:

дУ

dZ

 

и

dZ

дХ

дХ

дУ

 

, п . п .

-з— = -г-

 

аналогично -3- = ^ — ,

ду

= ^—.

'

у(242)

dz

си/

 

дх

дг

'

дх

'

Задача № 169 (Г.

Н.

С а в и н , Н. А. К и л ь

ч е в с к и й, Т.

В.

П у т я т а .

Теоретическая механика, Киев, 1963). Существует ли силовая функция в стацио­

нарном

силовом

поле,

если

проекции

силы

поля

на оси координат зависят от

координат материальной точки следующим образом

Х = 2ху; Y = x2;

Z = 0?

 

Решение.

 

Дл я ответа на

вопрос

воспользуемся

равенством (242)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

=

2*;

 

«1=

2*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, условия

(24 2)

выполняются.

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Да,

существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенциальное

силозое

поле.

Стационар-

Потенциальным

полем

на-

н о

е п

о л е - в

котором выполняются

эти усло-

зывают

такое

стационарное

вия, т. е. имеется силовая функция

V,

силовое

поле,

в котором ра-

называют

потенциальным

полем.

Пусть

бота силы поля,

приложен-

в

потенциальном

поле движется

матери­

ной к материальной частице,

альная

частица,

перемещающаяся

'

 

зависит только от началь-

с про-

ного и конечного положений

извольной скоростью и безразлично по

 

этой

частицы

 

какой

траектории из одного

положения,

 

 

 

 

 

 

которое

мы

примем

за

начальное, в ка­

кое-либо другое, которое мы назовем

конечным. Обозначим через <У0

значение силовой функции в той точке поля,

которую мы приняли

за начальное

положение частицы,

а через

U — в

конечной

точке

и

затем,

проинтегрировав

левую и правую части равенства

(241) в со­

ответствующих

пределах

от 0 до Л и от £/„ до U,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = U — U0.

 

 

 

 

 

(243)

Таким

образом,

независимо

от скорости

частицы и формы

траек­

тории работа силы потенциального поля равна разности значений силовой функции в конечной и в начальной точках траектории. Пусть имеется такое положение точки, для которого значение сило­

вой

функции равно нулю. Назовем это положение нулевым и примем

его

за начальное (£/0 = 0). В таком случае

 

A = U.

Следовательно, силовая функция выражает ту работу, которую производит сила поля при переходе материальной частицы из нулевого положения в данное.

 

 

 

 

Потенциальная

энергия

материальной ча-

Потенциальная энергия

ма-

стицы.

Наряду

с силовой функцией U нам

териальной

точки равна

ра-

понадобится величина

П,

связанная с си-

боте

сил

потенциального

л о в о и

функцией простой

зависимостью

поля

при переходе точки

из

 

т - '

 

. .

 

 

данного положения в нулевое

 

 

П = — и

 

(244)

 

 

 

 

и называемая

потенциальной

энергией1.

1 Термин «потенциальная энергия» принадлежит Лазару Карно. Во всеобщее употребление термины «кинетическая энергия» и «потенциальная энергия» были введены Ранкиным, определившим кинетическую энергию как активную, а потен­ циальную— как энергию положения,

Равенство (244) вместе с предыдущим равенством позволяют выяс­ нить физическую сущность этого понятия: потенциальная энергия материальной точки, находящейся в каком-либо данном положении, равна работе силы потенциального поля при переходе точки из дан­ ного положения в нулевое.

Поясним это следующими примерами.

Потенциальная энергия пружины. Сжатая пружина обладает потенциальной энергией, обусловленной упругими деформациями в материале пружины. Если пружина сжата на величину х, то, как было показано (227), при переходе ее в ненапряженное состояние

сила упругости может совершить работу А = Ц-. Эта способность

сжатой пружины совершить работу является потенциальной энер­ гией пружины:

Так же выразится и потенциальная энергия растянутой пружины.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести. Материальная

частица или тяжелое тело, поднятое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, равной той работе, которую совершит сила тяжести при опускании тела до «нулевого положений». Однако ну­ левое положение в поле силы тяжести не может быть так естест­ венно определено, как в поле упругой силы. Для пружины и вообще в случаях упругих сил нулевым положением является то, при кото­ ром отсутствует деформация. Для тяжелого тела нулевым положе­ нием может быть уровень пола, уровень земли и т. д. Уровень, относительно которого отсчитывают потенциальную энергию тела, поднятого на некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Но эта условность в выборе нулевого положения не ска­ зывается на1 расчетах, так как в. расчеты всегда входит не полная потенциальная энергия, а ее изменение. Нужно лишь отсчитывать потенциальную энергию относительно одного и того же уровня. Поэтому для определения потенциальной энергии тела в поле силы тяжести мы построим систему прямоугольных координатных осей, направив ось Oz вертикально вверх, но не будем пока уточнять поло­ жение начала отсчета и определим проекции силы тяжести:

Х = 0; 7 = 0; Z = — G.

Условия (242) существования силовой функции удовлетворяются. Определим дифференциал силовой функции:

Xdx + Ydy + Zdz = — Gdz = dU.

Интегрируя, найдем силовую функцию силы тяжести:

U = — Gz + C.

Постоянная интеграции С зависит от начала отсчета, но изме­ нение U — U„ силовой функции от начала отсчета не зависит. Интегрирование можно провести и в пределах. Выберем, например,

за нулевое положение уровень моря и

пусть тело

поднято

на высо­

ту h,

тогда

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Gdz-

 

Gh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = +

Gh.

 

 

 

 

 

 

Нетрудно

видеть, что

изменение

П

П0

потенциальной

энергии

тела при заданном изменении его вы­

 

г

 

 

 

 

соты

одинаково,

выразим

ли

мы

ее

 

 

 

 

 

 

как

U = Gh

или

IT = Gz + C,

и

не

 

 

 

 

 

 

зависит

от

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Силовая

функция поля всемирного

 

 

 

 

 

 

тяготения.

По

 

закону

всемирного

 

 

 

 

 

 

тяготения

планеты притягиваются

к

 

 

 

 

 

 

Солнцу

с

силой

F = k ^

, где М —

 

 

 

 

 

 

масса

Солнца,

т—масса

планеты

и

 

 

 

 

 

 

k— постоянная

величина.

Построив

 

 

 

 

 

 

систему

координат с началом в центре

 

Рис.

222

 

 

Солнца (рис. 222), определим проек­

 

 

 

 

 

 

ции

силы

на

оси, для чего умножим модуль

силы

на

ее

направляю­

щие косинусы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos а — — cos а, = — — ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O S В =

cos р\ = •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 7 =

cos Yj = -

 

 

 

 

 

Получим

 

 

 

 

Мтх

 

,

 

Мту

 

 

Мтг

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

Z = —k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г*

•

 

 

Взяв

частные

производные

от этих

величин по х,

у

И 2, можно

показать, что условия (242) существования силовой функции вы­

полняются, а

следовательно, силовая

функция

существует. Найдем

эту функцию:

 

 

 

 

dU = Xdx + Ydy + Zdz = -

kMm

. .

Числитель

дроби в правой части

есть rdr, в чем можно убедиться,

продифференцировав равенство г2 = хг

+ у2 + z2,

поэтому

 

dU = — kMm~

=

-kMm^.

 

Интегрируя, находим силовую функцию ньютонианского поля:

Mm

(245)1

г 1

1 Открыта Лагранжем в 1773 г.

Или, если

ввести

гауссово

число

ц =

кМ, то

 

 

 

 

<У = ^

+

С.

(245')

Потенциальная

энергия

выражается той же величиной, но

взятой

с обратным

знаком.

 

 

 

 

При движении материальной частицы под действием силы потенциального поля сумма кинетической и потенциаль-

Закон сохранения

механической энергии.

На материальную

частицу, находящуюся

в потенциальном поле, действует сила этого поля, поэтому при движении частицы

J г

ной энергий частицы

остает- е е

скорость, а следовательно, и кинети-

ся постоянной

ческая энергия ее в общем случае

меня­

 

ются. Выражая в уравнении (232) работу А

равенством (243),

найдем зависимость изменения кинетической

энер­

гии от изменения силовой

функции:

 

 

mv2

mv\

 

 

2

_ ^ » = С / — L / 0 .

(246)

Это равенство называют интегралом кинетической энергии. Оно показывает, что изменение кинетической энергии материальной частицы, движущейся в потенциальном поле, равно изменению сило­ вой функции, не зависит от пути материальной частицы, а зависит лишь от ее начального и конечного положений в потенциальном поле.

Если в -равенстве (246) силовую функцию мы выразим посред­ ством (244) через потенциальную энергию, то получим

 

 

 

 

ту'2

• ^ о _ г т

 

п

 

 

 

 

 

откуда

 

 

2

 

2

 

0

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

mv2

. г т

 

mvu0

. г т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и вообще

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Ь П =

const.

 

 

 

 

 

(247)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

если

материальная

частица

движется в

потен­

циальном

поле под действием сил этого

поля, то во всякое мгновение

при

всяком положении частицы

сумма

 

ее

кинетической

и потенци­

альной энергий есть величина постоянная. Равенство (247)

выражает

закон

сохранения

 

механической

энергии

и

имеет

применение

в

тех

случаях,

если на

частицу

не действуют

никакие силы,

кроме

сил

потенциального поля. Поэтому потенциальные поля называют

также

консервативными

(от лат.

conservativus—сохраняющий).

 

 

 

Так, например,

закон

сохранения

механической

энергии

спра­

ведлив при движении планет в

поле

 

ньютонианского

тяготения:

чем ближе к Солнцу находится планета на своей

эллиптической

орбите, тем меньше ее потенциальная

энергия

и

соответственно

больше кинетическая (см. § 44 — закон

 

площадей). Скорость

перио­

дических

комет,

движущихся

по

очень вытянутым

эллипсам, в пери-

Смотрите также файлы