Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

гелии во много тысяч раз превышает их скорость в афелии, но в любой точке орбиты сумма кинетической и потенциальной энергий кометы есть для этой кометы величина постоянная.

Вывод первого закона Кеплера из закона всемирного тяготения Ньютона **

Задача № 170. ** Определить траекторию небесного тела (планеты, кометы, космического корабля), движущегося под действием тяготения к Солнцу, под­ чиняясь закону всемирного тяготения Ньютона.

Решение. Задача относится к обратным задачам динамики: определить дви­ жение по заданной силе. Для решения воспользуемся интегралом кинетической энергии

или, применительно к данной задаче и в виду (245')

Определим из этого равенства а2 и заменим радиус-вектор его обратной ве-

1 личиной и = —:

г

и2 = 2іі«4-Уо — 2іш 0 . Для упрощения записи введем обозначение

i>o — 2ци0 = В.

Тогда

и2 = 2ци + В.

Это значение у2 внесем в первую формулу Бине (191):

'duVl

(2ст)2 r+UpJ j=2^+s-

Решим это уравнение относительно dm:

du

dw=±

2ци

У<(2ао)2 (2(7)

Если мы отсчитываем го от какого-либо начального положения, в котором

Выражение-, взятое в скобки, представляет полный квадрат разности двух количеств, и радикал принимает следующий вид:

(2а)2 (2<j)-» V (2а)2

Сумма двух первых членов в подкоренном количестве должна быть больше отрицательного третьего члена, потому что в противном случае ср было бы мни­ мой величиной. Введем обозначение

Положим, кроме того, как это мы уже приняли при решении задачи № 129,

рdu

d(f~-

В правой части равенства мы имеем дифференциал арккосинуса от аргумента

ир—\

— . Теперь интегрирование не составляет труда и, учитывая, что постоянная

Решим это уравнение относительно и:

и = (1 -j-e cos ф).

Мы получили уравнение конического сечения в полярных координатах.

Как видно из конечного результата предыдущей задачи, величины р иг имеют следующий геометрический смысл: р является параметром, а в—эксцентриситетом. Вводя в квадрат второе из принятых обозначений и вычитая из первого, найдем:

Подставим вместо В в левую часть равенства его значение, принятое в пре­ дыдущей задаче:

Из этого соотношения определим квадрат эксцентриситета; 2ц.'

В аналитической геометрии показано, что у эллипса эксцентриситет меньше единицы, у параболы равен единице и у гиперболы больше единицы. Как видно из написанного равенства, эксцентриситет меньше единицы, равен единице или больше единицы в зависимости от того, является ли выражение, стоящее в скобках, отрицательным, нулем или положительным.

О т в е т . Эллипс-

нятия тела, принимая во внимание, что сила притяжения изменяется обратно

Приравняем сумму энергий в начале движения сумме энергий в конце движения:

силы, например сила сопротивления воздуха, поэтому закон сохра­ нения механической энергии здесь неприменим: происходит рассеяние механической энергии, переход ее в другие немеханические виды. Вместе с тем и немеханические виды энергии могут переходить в меха­ ническую энергию. Переход не только механической, но и всякой дру­ гой энергии из данного вида в эквивалентное количество энергии всякого другого вида подчинен всеобщему закону сохранения и превра­ щения энергии, изучаемому в курсах физики. Согласно этому закону во всякой изолированной системе сумма энергий всех видов (кинетической.

потенциальной, тепловой, электрической и т. д.) остается постоянной. Открытие закона сохранения механической энергии (выражаясь точнее, вывод равенства 246) обычно приписывают Гельмгольцу. Но он провел разработку лишь математической стороны вопроса, однако физическая сущность равенств (246) и (247) не могла получить правильного освещения в трудах Гельмгольца, понимавшего движе­ ние не как внутренне присущий материи атрибут, а как нечто внешнее по отношению к материи, «существо которой», по выражению Гельм­ гольца, «в самом себе представляется для нас покоящимся и без­

действенным».

Открытие же всеобщего закона сохранения и превращения энер­ гии приписывают обычно Р. Майеру или Джоулю. Но никакое крупнейшее открытие не может принадлежать одному человеку. В частности, открытие этого закона было подготовлено трудами Декарта, Гюйгенса, Лейбница, Ломоносова, Сади Карно и многих других ученых. Постановка этой проблемы и, в частности, изучение перехода тепловой энергии в механическую было вызвано в первой половине XIX в. развитием промышленности и применением паровых

работ всех сил, приложенных к точкам системы, при перемещении системы из одного положения в другое не зависит от траекторий

Очевидно, что потенциальная энергия системы математически

причем полный дифференциал этой функции, взятый с обратным знаком, равен сумме элементарных работ сил потенциального поля, приложенных к точкам системы. Такое поле является консерватив­