Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 225

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чительно выведена из этого положения, она стремится вернуться к нему, совершая около него малые колеба­

ния;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) наоборот, если

потенциальная

энергия при

равно­

весии системы

имеет

максимум,

то

система

находится

в состоянии

неустойчивого

равновесия

и, будучи

выве­

дена из этого состояния, не может

остаться

близкой

к

первоначальному положению равновесия1 .

 

 

 

 

Так, например, на рис. 223,

а и б изображен физиче­

ский маятник

в состоянии

равновесия, но в положении,

изображенном

на рис. 223, а,

потенциальная

энергия

маятника

минимальна и

равновесие

устойчиво,

а

на

рис. 223,

б потенциальная энергия максимальна

и равно­

весие неустойчиво. Такой маятник является механиче­ ской системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого рав­ новесия. Указанный Лагранжем метод изучения коле­ баний (см. § 62) имеет громадное применение в различ­ ных отраслях науки и техники и, в частности, в теории вибрации машин.

а)

Рис. 223

1 Закон был открыт Лагранжем (1788 г.)

и в отношении

устойчивости равно­

весия при максимуме силовой функции строго

доказан Лежен Дирихле (1846 г.);

в отношении же неустойчивости равновесия,

при котором

условие максимума

силовой функции не выполнено, доказан для широкого класса случаев А. М. Ля­ пуновым (1892 и 1897 г.), но пока еще никем не доказан в общем виде.

14 № 784

Г Л А В А XIX

ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА И ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

 

 

 

 

 

 

 

§ 50. ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА

 

 

 

 

 

 

Сила инерции. Если в задаче динамики

Силой инерции

материальной

или статики требуется определить движе-

частицы

называют геометри-

ниє или

условия

 

равновесия

какого-либо

ческую

сумму

сил

противо-

материального объекта, то, составляя

урав-

К Г н о й ™тУ иЩ цы С Я тГла а Т :;

нения движения или равновесия этого

сообщающим ей ускорение

материального объекта, мы включаем в них

 

 

 

 

только те силы, которые на него реально

действуют.

В эти уравнения

не должны

входить

силы,

с которыми

данное тело действует на окружающие материальные тела.

 

 

Однако

в динамике

есть

и такой метод решения задач, где

 

©

 

 

 

 

наряду с силами, приложенными к

 

 

 

 

 

данному

объекту

и

сообщающими

 

 

 

 

 

этому

объекту

ускорение,

учитывают

 

 

 

 

 

 

также и силы, с которыми данный

 

 

 

 

 

 

объект

противодействует

 

телам,

со­

 

 

 

 

 

 

общающим ему ускорение.

 

 

 

 

 

 

м '

'

 

 

Пусть

имеется

некоторая

мате­

 

 

 

 

 

 

риальная

частица

М

(рис. 224,

а)

 

 

u

j

 

 

и другие

материальные

объекты

Мг,

 

 

 

 

 

 

М2,

М3,

. . . , действие

которых

на

 

 

 

 

 

 

данную

материальную

частицу

М

 

 

 

 

 

 

представлено

силами Flt

F2, F3

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти силы сообщают материальной ча­

 

 

 

 

 

 

стице М

ускорение а.

 

 

 

 

 

 

{ftk^

 

і

\

 

 

Материальная частица М противо-

 

д

 

у

у

 

действует телам Mlt

М2,М3,

 

. . . . Силы

 

 

2

'

 

 

противодействия

равны

силам

 

Flt

 

 

 

 

 

 

F2,

Fз,

. . . и противоположно направ­

 

 

 

 

 

 

лены (рис. 224, б), но не уравно-

 

•''

 

 

 

 

вешиваются

ими, так

как

силы

про­

 

 

 

 

 

 

тиводействия приложены не к мате­

 

 

 

 

 

 

риальной

частице

М, а

к

телам

 

Mlt

 

 

 

М, )

 

М2,

М3 . . . .

 

(совершенно

условно)

 

 

 

 

 

Приложим

 

 

 

 

 

 

 

эти

силы

противодействия не к телам

 

 

 

 

 

 

Mlt

М2,

М3,

 

.. ., к которым они при­

 

 

 

 

 

 

ложены в действительности-, а к мате-

 

 

 

'

 

 

риальной частице М и сложим их

 

 

Рис.

224

 

 

(рис. 224, б). Эту геометрическую сум­

 

 

 

 

 

 

му

сил противодействия

движущейся

материальной частицыМтелам Ми

М2, М3,

...,

сообщающим ей уско­

рение,

называют

силой

инерции.

Мы будем обозначать

ее буквой

Ф.

Понятие «сила инерции» нельзя отождествлять с уже знакомым нам понятием «инерция». Еще Лазар Карно, первый определивший (1803 г.) силу инерции как силу, «которую тело сообщает всем дру­ гим телам, стремящимся вывести его из данного состояния», указы­ вал, что «сила инерции»—величина, вводимая в вычисления наравне с другими силами, тогда как «инерция»—это проявление присущего

материи

свойства сохранять движение без действия сил.

 

 

 

 

 

 

Силы

инерции широко

применяют в науке

Сила инерции

материальной

и

т е х н и к е п

р и

различных расчетах,

О чем

частицы выражается произ-

 

-

 

t

г

 

ц г

а

сейчас

ведением

массы

частицы на

б

УД е т

сказано

в

дальнейшем,

ее ускорение

и

направлена

определим

величину,

направление

И раз-

противоположно

ускорению

 

 

 

 

 

 

,г

 

 

 

 

 

 

мерность силы инерции. Ускорение а, по­

лучаемое

частицей М под действием

сил Flt

Fit

F3,

согласно

основному закону динамики (123') направлено по равнодействующей

всех этих сил и пропорционально ей.

 

Составляющие силы, геометрическая сумма которых

является

силой инерции, равны, но противоположны силам Flt F2,

F3,

действующим на частицу М, а потому сила инерции частицы М по

величине равна произведению

массы частицы на ее ускорение,

но

направлена в сторону, противоположную ускорению:

 

ф

=== — т а .

(248)

Как видно из этого равенства, размерность силы инерции Ф есть размерность обычных ускоряющих сил, т. е. в физической системе единиц:

 

 

 

[Ф]ф =

Ь 1 М 1 Т - 2

 

и

в технической системе

единиц:

 

 

 

 

[ Ф З т ^ І Л ^ Т Л

 

 

Единицей силы

инерции в

Т Є Х Б И Ч Є С К О Й

системе единиц могут

служить килограмм-сила

или

его дробные

и кратные единицы,

а

в СИ — ньютон

(н).

Составляющие силы инерции. В различных

 

 

 

„задачах динамики, в которых применяют

Касательной

силой инерции

 

инерции,

 

г

г

 

называют

составляющую

с и л ы

эти силы приходится про-

силы инерции, направленную

ецировать на

оси и раскладывать по раз-

по касательной к траектории

личным

направлениям,

причем

особенно

частицы и

равную произве-

ч а с т 0

по направлениям касательной и глав-

дению массы частицы на ее

„

 

 

т

 

инерции про-

касательное

ускорение с

н о и

нормали. Так как сила

обратным знаком:

тивоположна ускорению

частицы, то и на-

-

 

правляющие косинусы силы инерции по

т——тат

величине равны, а по знаку противопо­

 

 

ложны

направляющим

косинусам

ускоре­

ния, и компонента силы инерции по

касательной

к траектории

точки М равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф г

= — ш а т ,

 

 

 

(249)

403

14*

или по

абсолютной

величине

 

 

 

| Ф Г | =

dv

 

 

m d t

Эту

компоненту

называют касательной силой инерции. Как видно

из полученного равенства, касательная сила инерции частицы равна произведению массы частицы на ее касательное ускорение и направ­ лена в сторону, противоположную касательному ускорению, т. е. против скорости при ускоренном движении и по скорости — при замедленном.

Нормальной силой инерции называют составляющую силы инерции, направленную по главной нормали к тра­ ектории частицы и равную произведению массы на ее нормальное ускорение с об­

ратным знаком:

Компоненту силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы, называют нормальной силой инерции мате­ риальной частицы:

(Dj V = — maN.

(250)

По абсолютной величине

Фд; = —/ТШдг

Как видно из (250), нормальная сила инерции частицы равна произведению ее массы на нормальное уско­ рение и направлена против нормального ускорения, т. е. всегда в сторону выпуклости траектории. Нормальную силу инерции ча­ стицы вращающегося тела

ФN] •торг

называют центробежной силой.

Касательную и нормальную силы инерции можно рассматривать как проекции силы инерции Ф на касательную и на главную нор­ маль. В таком случае они являются скалярными величинами, как

всякие

проекции силы на ось.

 

 

 

 

 

 

 

 

Принцип Д'Аламбера для одной материаль-

Если ко

всем действующим

н о й т о ч к

и .

Изложим принцип Д'Аламбера

на точку силам добавить силу

сначала

 

„

материальной

'

инерции,

то систему дейст-

для одной

точки,

вующих

на точку сил можно

а потом распространим его на механи-

счктать

на данное мгновение

ческую систему. Согласно основному урав-

уравновешенной и применять

н е н и ю статики точка находится в состоянии

к ней законы статики

 

равновесия, если сумма всех действующих

 

 

 

 

на точку

активных и

реактивных

сил равна

нулю:

 

 

 

 

 

2^ =

0.

'

(2)

Основным уравнением

динамики

является

 

 

 

 

 

 

*2~F = ma.

 

(123')

Пусть

некоторая

точка М массы т под

действием всех

прило­

женных к ней активных сил и реакций связи получила ускорение а. Будем считать, что к точке М приложена также и сила инерции Ф,

4С4

Если к каждой точке матери­ альной системы приложить силу инерции, то систему можно считать на данное мгновение находящейся в равновесии и применять к
ней уравнения статики

Тогда, сложив

почленно

равенства (123') с равенством

(248), получим

 

 

2 J F + Ф =

та—та,

 

 

или

 

2? + Ф = О.

 

 

 

 

 

(251)

Уравнение

динамики

переходит

в уравнение статики, если ко

всем действующим на точку активным силам и силам реакций

связей

прибавить еще и силу инерции Ф,

а следовательно,

при этом

усло­

вии задачу динамики можно решать методами статики. В этом заклю­ чается принцип Д' Аламбера.

Если спроецировать все приложенные к точке силы (включая и силу инерции) на оси координат, то принцип Д'Аламбера можно

записать

в такой форме:

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

(252)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-тх\

Ф„

-ту;

Ф г = —тг.

(253)

Обозначим через F A

равнодействующую всех приложенных к точке

активных

сил,

а равнодействующую

всех реакций

обозначим F R .

Тогда равенство

(251)

можно

записать

так:

 

 

 

 

FA

+

FR

+ O =

0.

(251')

Принцип Д'Аламбера для системы матери­ альных точек. Пусть на материальные частицы системы действуют активные силы и реакции связей. Приложим к каждой частице системы силу инерции, равную произведению массы частицы на ее уско­ рение, но направленную против ускорения

частицы. Тогда для каждой частицы можно написать

где Fg —равнодействующая всех активных сил, приложенных к этой частице, FRK — равнодействующая реакций связей, наложенных

на эту частицу, ФК — сила инерции этой частицы.

Составив такие уравнения для всех точек системы, мы убедимся, что каждую из этих точек можно считать находящейся в данное мгновение в равновесии. Таким образом, если к каждой точке системы приложить силу инерции, то систему можно рассматривать как находящуюся в данное мгновение в равновесии и применять к

Смотрите также файлы