Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 221

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда

a = gctg /_ ВАЕ.

Как видно из чертежа:

,

 

АЕ

f(l+d)*-K>

ctg ^ВАЕ=-Ш=

 

^

Подставляя в предыдущее

равенство, определим ускорение.

О т в е т .

 

 

 

 

а = -|- f (l+dyt

— h*.

При таком ускорении автомобиля давление бревна на дорогу, а следовательно, и сила трения равнялись бы нулю.

Силы инерции вращающегося звена*

Задача № 178. Определить величину, направление и точку приложения рав­ нодействующей всех сил инерции звена, вращающегося вокруг неподвижной оси О

( о

W

а)

( о

В)

X

 

Рис.

227

 

 

при следующих данных: масса

звена т, момент инерции относительно

оси вра­

щения J , расстояние центра масс С от оси вращения

ОС = с, угловая

скорость

в данное мгновение (о, угловое

ускорение

8.

 

 

Решение. Построим систему

координатных осей

хОу (рис. 227, а) с

началом

на оси вращения, направив ось Ох к центру масс звена, тогда координаты центра масс:

 

 

с

т

>

т

где mk

— масса

материальной

частицы, a xk и yk

— ее координаты, и суммирование

распространено на все материальные частицы

звена.

К

каждой

материальной

частице звена мысленно приложены центробежная

сила инерции

и касательная

сила

инерции. Требуется найти равнодействующую

этих

сил.

 

 

 

 

Займемся сначала центробежными силами. Если радиус-вектор k-н частицы

обозначим

гк,

а

угол,

составляемый

радиусом-вектором

с осью Ох,

обозначим

ак

(рис. 227, б),

то

центробежная сила

этой

частицы

и ее

проекции на

оси Ох и

Оу

выразятся

следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фкМ=ткгки,2;

 

 

 

 

 

 

 

фШх

= mkrk(s>2

cos ак

= ткгкт2

 

=ткхкы2.

 

 

 

 

 

 

= ткгкт2

sin af t

= т ^ ш 3

=

mA t/A w2 .

 

 

Центробежная сила направлена обратно центростремительному ускорению (от оси вращения О звена), следовательно, центробежные силы всех частиц плоского звена представляют собой плоский пучок сил, пересекающихся в точке О.

Равнодействующая Фдг этого пучка (центробежная сила звена) приложена в той же точке О, проекции этой силы:

ф Л Ъ =

2

 

®kNx

=

2

ткхк®г =

2

ткЧ =

тш2;

фЫу

=

2

Фк

Ny

=

2 ткУк^

= Ш2

2 m A#ft =

°-

Следовательно, центробежная сила звена направлена по оси Ох, т. е. от оси вращения звена к центру масс, и равна произведению массы звена на центро­ стремительное ускорение центра масс:

 

 

 

 

 

 

 

Ф^—тсии2.

 

 

 

 

 

 

Перейдем теперь к касательным силам инерции

(рис. 227,

в).

Касательная

сила инерции элементарной частицы равна произведению

массы

этой частицы на

ее касательное

ускорение

и

направлена

против

ускорения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фкТ

=

Щгке.

 

 

 

 

 

 

Проекции

этой силы

на

оси

координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H i

 

 

 

 

 

 

 

Ф * г * =

 

 

 

sin

 

 

а.к=+Щг! k

кг~=+ткукг;

 

 

 

 

 

фкТу

= — Щгкъ

cos

ак = — ткгке

~=-ткхк&.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гк

 

 

 

 

 

Линии

действия

касательных

сил

инерции различных частиц

не

пересекаются

в точке О,

и, чтобы

сложить

 

эти

силы,

надо,

следуя

методу Пуансо,

перенести

их к точке О, добавив соответствующие пары, моменты

которых

равны

моментам

данных сил

относительно

точки приведения.

 

 

 

 

 

 

Момент

касательной

силы

инерции,

приложенной

к

&-й точке

относительно

начала координат О,

подсчитаем

по формуле (28):

 

 

 

 

 

 

Мк0

= Хкук — УкХк

= ХкфкТу-УкфкТх=

— Щ

(хк+Ук)е.

 

Проекции главного век гора касательных сил инерции:

 

 

фТх

= 2 ФкТх

= +

2 ткУк£

= + 8

2

ткУк = о,

 

 

 

фТу =

2

фкТу

= — 2

mkxke

= — 8 2

ткЧ

= — тс&.

 

Следовательно, главный вектор касательных сил инерции равен (по модулю)

произведению

массы

звена

на

тангенциальное ускорение

центра масс звена:

 

 

 

 

 

 

Ф г л . Т =

тсг.

 

 

 

 

Но

этот

главный

 

вектор не является равнодействующей касательных сил

инерции, так как при перенесении

этих сил появился главный момент каса­

тельных

сил

инерции

относительно

точки

приведения,

равный

алгебраической

сумме моментов тангенциальных сил инерции всех частиц звена:

 

 

Мгл. о = 2 м

к

о = — 2 тк

(хк +

Ук) е = — s2 тк

( 4 + у\)

= —Je.

 

Итак, главный момент касательных сил инерции звена относительно оси вра­

щения равен взятому с обратным

знаком произведению момента инерции на угло­

вое

ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим главный момент в виде пары, силы которой равны главному

вектору, а плечо I

равно отношению

главного

момента

к

главному

вектору:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Je

^

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теє

 

 

тс'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили знакомое нам выражение (199) приведенной длины физического

маятника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сил

Одна

из

сил

пары

уравновешивается

 

главным

вектором

Ф г л

Т

касательных

инерции,

и

остается

равнодействующая

касательных

сил

инерции,

которая

равна

произведению

 

массы

звена

на

касательное

 

ускорение

центра

масс,

но

при­

ложена

в

центре

качания

А

звена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перенесем

в

центр

качания

А

 

по

линии

действия

центробежную

силу

Фдг

(рис.

227, г),

сложим

здесь обе

составляющие

(Фдг и

Ф7-) силы

инерции

и

найдем

равнодействующую всех сил инерции звена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

модуль

равнодействующей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

=

тс

Уе2

-f- со4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и по (6) определим

направляющие

косинусы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

со2

 

 

 

 

 

„

 

 

 

 

 

є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У є 2 + ш4

 

 

 

 

 

 

 

У е 2 + о)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Сила

 

инерции

равна

 

произведению

массы

звена

на

ускорение

центра масс, направлена против ускорения

центра

масс,

но

приложена

не в

центре масс, а в центре качания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 179. Решить задачу № 146, применив для системы принцип

Д'Аламбера. (См. другие решения этой задачи:

№

146,

167,

189,

193.)

 

 

 

 

Решение.

Рассмотрим

вращение

первого

вала

вокруг

оси / — / .

На вал дей­

ствуют

вращающий

 

момент

Мг

= 50

кГ

и

момент

сопротивления

второго

вала

—Frv

 

Добавим

момент

сил

инерции,

который

равен

М (Ф) =

— Ji&i -

Имеем

 

 

Рассмотрим вращение второго вала вокруг

оси

/ / — / / .

На

него

действуют

момент

со стороны

первого

вала

Fr2.

 

Добавим

момент сил

инерции

— / 2

е 2 . Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fr,— У2 є2

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

отсюда

F

и подставим

в

предыдущее

уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ml

— J ^ i — — Jlel

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

г

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Г 2

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

е 1

 

 

и

 

 

 

Кроме

того,

дано

 

М1

= 50

 

кГ,

 

Jt=5

 

 

кГм-сек2,

= - 5 - е

2

— = 1 г - .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

Г

2

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У2 = 4

кГм-сек2

и

предыдущее

уравнение

принимает

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

=

0

 

 

 

 

 

SO

 

5> з57

 

- 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 0 - 4 є _ - - 5 - е 2

и

 

Є

г =

=

_ _ =

с е к

 

 

 

 

 

Теперь, когда

угловое

ускорение

второго

 

вала

определено,

легко

вычислить по

формулам

(87)

равноускоренного

вращения

время,

в

течение

которого

вал

ра­

зовьет

угловую

скорость

со2

= 4л

и

число

оборотов

за

это

время.

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

п'2 =

2,344 оборота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 180. (42.4,1101М). Стержень

длины

2h

(рис. 228, а),

на

концах

которого находятся грузы Кх

и

Кг

равного

веса

( Р 1 =

Р 2

= Р ) ,

вращается

равно­

мерно с угловой скоростью со вокруг

вертикальной

оси

АСВ,

проходящей через

середину

С длины

стержня.

Расстояние

точки

С от

подпятника ЛС =

а,

от

под­

шипника

ВС = Ь,

АВ = a + b — l.

Угол

между

 

стержнем

и

осью

вращения

АВ

сохраняет постоянную величину а. Пренебрегая весом стержня и размерами

грузов,

определить

проекции

давлений

на опоры

А и В

в тот момент, когда

стержень

находится в плоскости

Ауг.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Вращающаяся

механическая

система (твердое

тело)

состоит

из двух

точек:

Кх

с

координатами ^

 

=

0,

ух = —ft sin а,

гх~а—ft

cos а

и i ( , с

коорди­

натами

х 2 =

0,

г / 2 = -f-Л sin a,

z2

=

-\-a-\-h

cos а .

Ha

систему

(рис. 228,6)

дейст­

вуют

внешние

силы:

веса

точек

Р\~Р2

= Р и

реакции

в опорах, которые мы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

228

 

 

 

 

 

 

 

проецируем на оси координат. Задачу решим двумя

способами: 1) с применением

общих уравнений

динамики и 2) с

применением принципа

Д'Аламбера.

 

1- й с п о с о б .

Дл я

решения

задачи

первым

из

указанных способов выпи­

шем

уравнения, полученные нами при решении аналогичной

задачи

№

149*:

 

 

 

—в 2

ткУк

-

«2

2

mk4

= 2

Xе, а + ХА +

Хв;

 

 

 

 

 

е 2

m**k -

®8

2

 

 

 

 

ткУк=Ъуе>а+уА+Ув\

 

 

 

 

 

— е 2

mkzkxk

+ со3

2

ткУкЧ

=

 

 

2 а —

 

 

 

 

 

 

— є 2 т

№ г А — w 3

2 m A

 

= 2

 

Ml'a+XR1-

 

 

 

Подставим

в эти уравнения

данные для рассматриваемой системы

и положим

Б =

0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

Х л + Х я ;

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—ftsin а со2

 

ft

 

sin а со2 =

Y& -4- Г»;

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

Р

 

0 = —2P

+

ZA;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin а cos а со2

=

—-Ph sin а +

РЛ sin а — Y a h

 

— ft2 sin а cos а co

2 - j — Л2

 

8

 

 

 

 

8

 

 

0 =

Х Й / .

 

 

 

 

 

 

 

Решая уравнения,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекции

реакций:

 

 

 

 

 

 

 

v

v

п.

v

 

 

v

 

Pftaa>2

sin 2 а

 

 

 

 

 

Лл = Х й = 0; \ А = — YB

=

 

— ; 2 Л = + 2 Р .

 

 

 

Проекции

давлений

на

опоры

имеют

ту

 

же величину, но обратные знаки.

 

2-й с п о с о б .

Решим

теперь

задачу

методом

Д'Аламбера.

К

действую­

щим

в системе

внешним

(активным

и

реактивным)

силам

прибавим

мысленно

силы инерции.

Тело вращается

равномерно, поэтому

к точкам мы приложим только

центробежные силы инерции (рис. 228, в):

р

Ф = — h sin а со3 .

S

Теперь мы можем рассматривать систему как находящуюся в равновесии. Составим уравнения (42) равновесия пространственной системы сил:

£ Х = 0; ХА +

Хв=-0;

 

 

2^ = 0; Г л + У д - Ф х + Ф ^ О ;

 

 

2 Z

= °; — 2 Я + 2 Л = 0;

 

 

'£МХ

= 0;

— Ph sin a - f РЛ sin а — ф 2

(а-j-ft

cos a)-f-

 

- f ф 1

(а—Л cos а ) — YRI = 0;

 

 

2 M V

=

0;

Хя1 = 0.

 

 

Шестое уравнение равновесия

превращается в тождество

0 = 0.

Решая урав­

нения, находим проекции реакций, а затем и проекции давлений.

 

Рассмотрим в отдельности систему сил инерции.

 

 

Главный вектор этой

системы

равен

нулю:

 

 

ft=п

к=1

Моменты сил относительно осей t / и г тоже равны нулю. Определим сумму моментов центробежных сил инерции относительно оси х. Момент центробежной

силы, приложенной к точке К2, определим по формуле (23):

р

Мхг = yZ—zY = — у2ггш2.

Аналогично выражается момент силы Ф г :

р

Mxi = — — ^ л с о 2 ,

причем знаки моментов получатся автоматически после подстановки в формулу (23) значений (с их знаками) проекций силы и координат точки приложения силы. Главный момент центробежных сил инерции относительно оси х равен сумме момен­ тов всех центробежных сил:

 

 

 

 

к=г

 

Поэтому

сумму

произведений

массы

каждой материальной частицы тела на

две координаты этой частицы в данной

прямоугольной системе осей называют

центробежным

моментом инерции:

 

 

 

 

 

 

к=п

 

 

 

J y z

=

2іткУкгк-

 

 

 

 

k=i

 

Таким образом,

система сил инерции

приводится

к паре сил с моментом

 

 

 

 

р

 

 

 

МГЛ=—У),.гсо2

=

— — h2 sin

2асо2.

Пара сил инерции уравновешивается парой сил реакции в опорах. Вращаю­ щееся тело уравновешено статически (хс = 0; yc = 0)t но динамическая неуравно­ вешенность {Jvz Ф 0) вызывает дополнительные давления на опоры.

О т в е т . Проекции давлений на опоры:

у

у

п.

v

v

Pft2 co2 sin2a

;

7

ZA

=

п п

* Л = л д

= 0;

— YA

= YB=

—

 

2P.

Сравним оба способа, которыми мы решили задачу № 180.

Смотрите также файлы