Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 215
Скачиваний: 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 188 (№ 47, |
16, |
935 М). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центробежный |
регулятор |
Уатта |
(рис. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
236, а) вращается вокруг вертикальной |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
оси с постоянной угловой скоростью со. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
угол |
отклонения |
ручек |
||||||||||
|
|
|
|
|
Ах |
|
|
|
ОА |
и |
ОВ |
от |
вертикали, |
принимая |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
\в |
|
во |
внимание |
только |
|
вес |
Р |
каждого |
||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
из шаров А и В |
и вес |
Pj |
муфты |
С; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
все стержни имеют одинаковую |
длину. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Составим общее |
уравне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние динамики для |
центробежного регу |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лятора. К трем действующим на регу |
||||||||||||
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
лятор |
активным силам |
(к |
весу |
муфты |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и шаров) |
добавим еще |
силы инерции. |
|||||||||||
|
а) |
|
|
|
S) |
|
|
|
Регулятор |
вращается |
|
равномерно, |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеются |
только |
две |
силы |
инерции — |
||||||||
|
|
|
Рис. |
236 |
|
|
|
|
центробежные силы шаров. Для ре |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шения |
задачи |
составим |
таблицу, |
ана |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
логичную той, какую мы составили |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при решении задачи № 182. По- |
||||||||||||
строим координатные |
оси |
(рис. |
236, б), |
спрсецируем на них силы, найдем ко- |
|||||||||||||||||
ординаты |
точек |
приложения сил |
и |
их вариации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ |
Сила |
|
А |
|
У |
|
X |
|
|
|
У |
|
|
|
6х |
|
|
|
|
|
|
1 |
РА |
|
0 |
|
—Р |
|
|
|
—/ cos |
а |
|
|
|
|
|
/ sin а |
6а |
||||
2 |
Рв |
|
0 |
|
—Р |
|
|
|
—/ cos |
а |
|
|
|
|
|
/ sin а |
6а |
||||
3 |
Pi |
|
0 |
|
-Pi |
|
|
|
—21 cos |
а |
|
|
|
|
|
21 sin а |
6 а |
||||
4 |
Фд |
Р со2/ sin |
а |
0 |
—/ sin |
а |
|
|
|
|
—/cos а |
6 а |
|
|
|
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Ф д |
Р |
со2/ sin |
а |
0 |
|
/ sin |
а |
|
|
|
|
+ |
/ cos а |
6а |
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Найденные |
значения |
проекций |
сил |
и |
приращений |
координат |
точек |
их |
при |
|||||||||||
ложения |
внесем |
в уравнение (256): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
— 2Р/ sin а |
6 а — 2 Р , / sin а 6 а + |
р |
|
|
|
cos а 6 а = |
0. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 — со2 /2 sin а |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем, что а Ф 0, и сокращаем все члены уравнения на 21 sin а б а :
|
|
|
|
|
— Р — Р , + — |
/со2 |
cos а = 0, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
определяем |
угол |
отклонения |
ручек. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
.{P |
+ |
Pi)g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos а = |
- |
Р/со2 |
|
|
|
|
|
|
||
cos а |
< |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PI 1 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача № |
189. |
Решить |
задачу |
№ |
146 по |
принципу |
виртуальных перемеще |
|||||||||
ний. |
(Ср. решения |
этой |
же |
задачи |
другими |
методами: № 146 |
стр. 350, |
№ |
167 |
|||||||
стр. 387, № 179 стр. 412, № 193 стр. 434). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
На систему действует |
активный |
момент Mx |
— bQ кГм. |
Сила |
F |
вза |
|||||||||
имного |
давления |
валов |
вызвана связью |
и в |
уравнение |
(256) не |
входит. |
Добав- |
||||||||
ляем |
моменты |
сил |
инерции |
|
/ х |
е , и |
Ja e2 , |
причем |
е1 = — ег. |
Даем системе вирту |
|||||||||||||||||||||||
альное перемещение, повернув первый вал на |
б ф ь |
Тогда |
второй вал |
получит |
|||||||||||||||||||||||||||||
перемещение |
б ф з ^ - ^ - б ф ! . |
Сумма |
элементарных |
|
работ |
|
всех |
активных |
сил и сил |
||||||||||||||||||||||||
инерции |
равна |
нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мібфі — J |
івхбфі — . / 2 є 2 6ф 2 |
= О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мібф! — -j |
Jі82бф! |
— у /гЄгбф! = |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
бф! не равно нулю, поэтому, сокращая |
на бф ! и подставляя |
заданные |
величины, |
||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 _ [ ! ~ 5 + ! ~ 4 } е а |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5,357 |
|
сек-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
9,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
По |
формулам |
(87) равноускоренного |
вращения |
определим |
время, |
в |
течение |
||||||||||||||||||||||||
которого второй |
вал разовьет |
угловую |
скорость |
со2 = 4л, |
и число |
оборотов, сде |
|||||||||||||||||||||||||||
ланное |
валом за это время. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
О т в е т . |
|
я 2 |
= 2,344 |
|
оборота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задача |
№ |
190. Два |
груза— МХ |
весом |
&\ = 20/сГ |
|
и УИ2 весом |
б 2 |
= 3 4 к Г — |
||||||||||||||||||||||
подвешены |
на двух |
гибких |
нерастяжимых |
|
нитях, которые навернуты, как ука |
||||||||||||||||||||||||||||
зано |
на чертеже |
(рис. 237, а), на жестко скрепленные барабаны, |
имеющие радиусы |
||||||||||||||||||||||||||||||
г 1 |
= 5сл! и гг—\Ьсм |
и насаженные |
на общую ось. Вес малого |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
барабана 4 кГ, |
а большого — 8 |
кГ. |
Массы |
барабана |
|
считаем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
равномерно |
|
распределенными |
по |
их |
внешним |
|
|
поверхностям. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Определить |
угловое |
ускорение |
є барабанов |
и |
|
натяжение |
ни |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
тей 7\ |
и Т%. |
На систему |
действуют |
активные |
силы: веса |
двух |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
грузов и веса |
|
двух |
блоков. |
|
Груз |
|
Мх |
|
поднимается, |
груз |
М2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
опускается, центр тяжести блоков неподвижен. Приложим |
силы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
инерции. Ускорение груза Л42 направлено |
|
вниз и равно ег2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
сила |
инерции |
Ф , направлена |
|
вверх |
и |
равна |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~~^гг2- Ускорение |
груза |
|
|
направлено |
вверх; |
следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
сила |
инерции, |
прикладываемая к |
этому |
|
грузу, |
направлена |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Gi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вниз и равна |
— ег-,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальные |
ускорения |
материальных |
|
частиц |
блоков |
нас |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
не |
интересуют, |
потому |
что |
|
эти |
ускорения |
перпендикулярны |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
к |
скорости |
и работа |
центробежных сил |
инерции |
равна |
нулю. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Касательное |
|
ускорение |
|
каждой |
из частиц |
большого |
|
блока |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
равно ег2, |
а |
|
малого |
блока |
|
равно |
егх |
и направлено против |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
хода |
часовой |
|
стрелки; касательные |
силы |
инерции |
приложены |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в |
каждой частице |
блоков и направлены |
по ходу стрелок |
|
часов. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Даем |
системе |
виртуальное |
перемещение — мысленно |
по |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ворачиваем |
блоки |
с грузами |
|
вокруг |
оси О на угол 6ф. Будем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
для |
определенности |
считать, |
что |
мы |
повернули |
систему |
про |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
тив хода часовой стрелки. Тогда |
груз |
М2 |
получит |
виртуальное |
перемещение вниз |
||||||||||||||||||||||||||||
/"2 бф, груз Мг |
получит виртуальное |
перемещение вверх, |
|
равное |
r-fiw. |
пояснений. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычисление |
работы |
сил тяжести и сил инерции |
грузов |
не требует |
|||||||||||||||||||||||||||
Работу |
касательных |
сил инерции |
блоков |
|
определим |
по (224). |
Умножая |
вектор |
|||||||||||||||||||||||||
касательного |
ускорения |
ег каждой |
частицы блока на массу |
m частицы и изменив |
|||||||||||||||||||||||||||||
направление |
на обратное, |
получим |
силы |
инерции |
частиц. |
Умножая |
на плечо г |
||||||||||||||||||||||||||
и суммируя |
моменты сил инерции |
всех |
частиц, |
найдем |
|
главный |
момент касатель- |
||||||||||||||||||||||||||
ных сил инерции блока относительно оси вращения:
М— — 2т е г 2 ~ —
Мы получили уже известную нам важную в технике формулу: момент каса тельных сил инерции вращающегося тела относительно оси вращения равен про изведению момента инерции тела относительно той же оси и взятого с обратным знаком углового ускорения тела.
По условию этой задачи, масса блоков распределена по их внешним поверх ностям. Следовательно, виртуальная работа сил инерции большого блока
и малого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим сумму элементарных работ всех |
активных |
сил и всех сил инерции |
||||||||||||||||||
на данном виртуальном |
перемещении и приравняем |
эту сумму |
нулю: |
|
|
|||||||||||||||
34 • 1 Обф—20 - 5йф - |
44 |
|
|
20 |
5е • 5 б Ф - |
8 |
|
|
|
4 |
25еб Ф = 0. |
|||||||||
щ |
10є 1 Об ф - щ |
< щ ЮОебф - |
щ |
|||||||||||||||||
Сокращая |
на |
бф, определяем |
в: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
240-981 |
=49 |
сек-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задаче требуется еще определить натяжение нитей. Натяжения |
нитей (как |
|||||||||||||||||||
силы связи) не вошли в написанное нами уравнение. Чтобы |
определить натяже |
|||||||||||||||||||
ние нити Т, |
применим |
следующий |
метод. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р а з р е ж е м |
эту |
нить, о т б р о с и м |
часть |
системы, |
но, чтобы |
не упал |
груз, |
|||||||||||||
з а м е н и м |
нить |
силой |
Т, |
равной |
|
натяжению |
нити, |
и |
у р а в н о в е с и м |
груз, |
||||||||||
приложив силы инерции и написав |
уравнения |
равновесия (сумму |
проекций сил |
|||||||||||||||||
на ось ординат). |
|
|
|
|
Мг |
(рис. 237, б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнение |
равновесия |
груза |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2^ = 0; - 2 0 - ^ - 4 9 - 5 + 7 , = 0 , |
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда |
7^ = 25 |
кГ. |
|
|
|
М2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение |
равновесия |
груза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2^ = °; - 3 4 + ^ - 4 9 - 1 0 + Г 2 = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
Т 2 = |
17 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот метод аналогичен методу, применяемому в статике для определения |
||||||||||||||||||||
внутренних |
усилий в стержнях фермы (см. задачу |
№ |
25 |
на стр. 89). |
Его |
назы |
||||||||||||||
вают |
методом |
РОЗУ |
по первым |
буквам |
слов, |
выражающих |
производимые |
дей |
||||||||||||
ствия |
( р а з р е ж е м , |
о т б р о с и м , |
з а м е н и м , |
у р а в н о в е с и м ) . |
|
|
|
|||||||||||||
О т в е т . |
е = |
49 « т с - 2 ; |
7\ = 25 кГ; Т2=17 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Г Л А В А XX
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СИСТЕМЫ*
§5 2 . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
ВОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ*
|
|
|
|
|
|
|
|
Голономные связи. Связи, с которыми мы |
|||||||||||||
Голономными |
называют свя |
встречались при решении задач по статике, |
|||||||||||||||||||
зи, налагающие ограничения |
ограничивали |
свободу |
п е р е м е щ е н и я |
||||||||||||||||||
только |
|
на положение |
точек |
тел |
и не |
зависели от |
времени. В |
§ 4 |
мы |
||||||||||||
системы |
и, |
следовательно, |
назвали |
связью ограничения, |
стесняющие |
||||||||||||||||
выражающиеся |
конечными |
||||||||||||||||||||
соотношениями |
между |
коор |
д в и ж е н и е |
материальной |
точки |
|
или |
ме |
|||||||||||||
динатами |
этих точек |
|
ханической |
|
системы, |
осуществляемые дру |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гими |
материальными |
объектами. |
Под |
это |
|||||||||
определение |
подходят |
также |
и такие |
|
связи, которые |
ограничивают |
|||||||||||||||
не только |
перемещения, |
но и скорости точек механической |
системы. |
||||||||||||||||||
Рассмотрим |
следующий пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р . |
1-й |
с л у ч а й . Шар |
радиуса |
г может передвигаться (скользить и |
|||||||||||||||||
перекатываться |
по |
плоскости |
хОу); |
|
2-й |
с л у ч а й : шар |
может |
только |
перекаты |
||||||||||||
ваться |
|
без скольжения по плоскости. В |
первом |
случае связь |
может1 |
быть выра |
|||||||||||||||
жена |
уравнением zc=r, |
|
которое не содержит производных от координат по |
вре |
|||||||||||||||||
мени |
и |
накладывает |
ограничение |
только на |
положение точки С (центра шара). |
||||||||||||||||
Во втором случае |
на |
шар наложена |
связь, |
заключающаяся в том, |
что |
скорость |
|||||||||||||||
точки |
касания |
равна |
нулю, |
а следовательно, уравнение связи |
должно |
выражать |
|||||||||||||||
условие, чтобы равнялись нулю производные по |
времени х, |
|
у, г от координат |
х, у, |
|||||||||||||||||
г той точки шара, которой он в данное мгновение соприкасается с плоскостью |
хОу. |
||||||||||||||||||||
В |
первом |
случае |
движение |
шара |
подчинено |
голономной |
связи, |
||||||||||||||
а во |
втором—неголономной. |
Вообще, |
голономными, |
или |
конечными, |
||||||||||||||||
связями |
называют |
связи, |
накладывающие |
ограничения только на по |
|||||||||||||||||
ложение материальных точек системы. Они выражаются аналитичес ки конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирова ния. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голо номной связи.
Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скорос
тей |
точек, |
то отсюда |
еще |
не следует делать вывод, что связь не яв |
|||
ляется голономной. |
Нужно предварительно исследовать, |
возможно |
|||||
ли |
проинтегрировать |
это |
уравнение и получить из него |
уравнение, |
|||
не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, |
то связь |
||||||
является голономной, в противном случае связь называют |
неголоном |
||||||
ной, |
или неингпегрируемой1. |
Если среди связей, наложенных на сис- |
|||||
1 |
НеголономнЫе связи — это |
связи |
совершенно иного типа. И х существование |
||||
впервые отметил М. В. Остроградский. |
Он же первый вывел уравнения |
движения |
|||||
неголономных |
систем, правда, в |
недостаточно удобной для практического приме |
|||||
нения форме. |
|
|
|
|
|
|
|
