Файл: Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках пер. с англ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 3
52 |
Глава 3. Поглощение |
(Eg+Ep) и (Eg -j- | п), получаемыми экстраполяцией к иулю кривых
"Уа на фиг. 3.6 соответственно для чистого и легированного мате риала, а затем прибавить к найденной величине расчетное значе-
|
3 |
4 |
5 6 7 Ѳ 9 ІО |
20 |
30 |
4 0 |
50 60 |
|
|
|
N 40~,8> см'3 |
|
|
|
|
Ф и г . |
3.8. Уменьшение |
энергетических |
зазоров |
Д0 |
и |
Л! соответственно |
|
при к = (000) и к = |
(111) и положение уровпя Ферми |
в зоне проводи |
|||||
|
мости при 4,2 К в зависимости от степени легирования [9]. |
||||||
ние |
и вычесть Ер. Уменьшение ширины зоны для прямых перехо |
||||||
дов Д0 можно вычислить по краю поглощения |
в области больших |
||||||
значений а. |
|
|
|
|
|
|
|
4. Непрямые переходы между прямыми долинами х)
Непрямые переходы между прямыми долинами (фиг. 3.9) очень похожи на только что рассмотренные переходы между непря мыми долинами. Сохранение импульса обеспечивается за счет эмис сии или поглощения фонона или за счет рассеяния на примесях или свободных носителях. Здесь опять-таки возможны переходы из лю бого занятого состояния валентной зоны в любое свободное состоя ние зоны проводимости. Следовательно, коэффициент поглощения в этом случае определяется формулами (3.11) — (3.13), если в акте поглощения' участвуют фононы, и формулой (3.14), если закон сохранения импульса обеспечивается без участия фононов. В лю бом случае коэффициент поглощения вблизи края возрастает про-
-1) Более точным был бы термин «непрямые вертикальные переходы».—
Прим. ред.
§ 1. Собственное поглощение |
53 |
порционально квадрату раз ности между энергией фотона и некой пороговой энергией. Такие непрямые переходы, будучи процессами второго порядка, обладают меньшей вероятностью, чем прямые пе реходы, которые приходятся
Фи г. 3.9. Четыре из многих воз можных непрямых переходов из начального состояния в зону проводимости.
на ту же область энергий. Измеряемый на опыте коэффициент поглощения представляет собой сумму вкладов, отвечающих этим двум механизмам поглощения.
5. Переходы между хвостами зон
Мы видели, что в случае переходов с сохранением импуль са между параболическими зонами край поглощения описывается формулой (3.2), согласно которой коэффициент поглощения уве личивается пропорционально корню квадратном}’’ из разности между энергией фотона и шириной запрещенной зоны. Край погло щения обычно изображают в полулогарифмическом масштабе, как это показано на фиг. 3.10. Для прямых переходов поглощение кван тов с энергией, меньшей ширины запрещенной зоны, не должно иметь места и поэтому край поглощения должен быть очень рез ким. На самом деле поглощение вблизи края возрастает по экспо ненциальному закону [10—20]. Оказывается, что в ряде материа лов
d (ln а) _ |
1 |
d (hv) |
кТ ’ |
это соотношение называется правилом Урбаха [21] Было показа но, что в GaAs экспоненциальный край поглощения можно объяс нить переходами между хвостами зон, форма и величина которых зависят от легирования материала [20].
Рассмотрим, каким образом экспоненциальное распределение состояний влияет на коэффициент поглощения. Возьмем случай вырожденного материала p-типа. Будем считать, что уровень Фер ми находится в «невозмущенной» области валентной зоны, так что
х) Строгое объяснение экспоненциальной зависимости а (hv) в области края полосы поглощения дано В. Л. Бонч-Бруевичем [79]. — Прим. ред.
54 |
Глава 3. Поглощение |
состояния, относящиеся к «хвосту», лежат выше уровня Ферми. Тогда плотность начальных состояний N t пропорциональна I Е ѵ |1/з, где Е ѵ — энергия, отсчитанная от уровня, соответствую щего краю «невозмущенной» зоны (фиг. 3.11). Плотность конечных
Ф п г . 3.10. Краж поглощения GaAs при комнатной температуре [10].
Сплошные кружки — экспериментальные данные, пунктир — теоретическая кривая
а = А (Лѵ — Eg)1/*.
состояний, образующих «хвост» зоны проводимости, экспонен циально зависит от энергии Е:
N f = N 0eE/E°,
где Е 0 — эмпирический параметр, имеющий размерность энергии; Е 0служит для описания распределения состояний, а не для «при вязки» их энергии к определенному началу отсчета. Будем считать, что сохранение импульса в рассматриваемых оптических перехо дах обеспечено, и предположим, что матричный элемент для таких переходов постоянен, т. е. не зависит от энергии фотона hv =
— Е — Е ѵ. Как мы видели в п. 3 § 1 настоящей главы, это разум ные предположения для сильно легированных полупроводников.
Коэффициент поглощения пропорционален интегралу по всем возможным (для данного hv) переходам от произведения плотно стей начальных и конечных состояний:
ІІѴ~Ър |
|
а (hv) = А ^ \EV|1/2 exp ~ dE, |
(3.15) |
\р
§ 1. Собственное поглощение |
55 |
где А — константа. |
Подставим Е — hv вместо Е ѵ и произведем |
||
следующую замену |
переменных: |
|
|
|
Лѵ —Е |
|
|
Выражение (3.15) можно записать в виде |
|
||
|
gp/Eo |
|
|
а (hv) = |
— Aehv/E° (Е0)3/~ ^ |
х1!ге~хdx. |
(3.16) |
|
(Л ѵ + |р )/Е 0 |
|
|
Нижний предел можно считать бесконечным, поскольку hv |
Е0, |
||
при этом интеграл перестает зависеть от hv и мы получаем |
|
||
|
|
О |
|
а (hv) = А (E0f /2 ehv/Eo^у (я)1/2— j |
ххЕе~хd x j . |
|
|
Наклон края поглощения в полулогарифмическом масштабе дает величину Е0:
d (Лѵ) J |
(3.17) |
|
Как было указано ранее, экспериментальные данные в области края поглощения хорошо соответствуют экспоненциальной зави симости от hv. Следовательно, можно опре
делить величину Е0 и сопоставить ее с кон центрацией примеси, как это сделано на фиг. 3.12.
Мы предположили, что легирование приво дит к искажению края как зоны проводимо сти, так и валентной зоны и что уровень Ферми находится в неискаженной «парабо лической» части соответствующей зоны. Оп тические переходы происходят между пара болической частью одной зоны и хвостом
Фи г . 3.11. Энергетическая диаграмма, иллюстри рующая, каким образом поглощение зондирует со стояния в хвосте зоны проводимости в полупро воднике р-типа.
Хвост валентной зоны не показан, так как состояния в нем не заполнены ц не участвуют в процессе поглощения.
другой зоны. Следовательно, в материале п-тина мы измеряем распределение состояний в хвосте валентной зоны, тогда как измерения на материале p-типа дают сведения о хвосте зоны проводимости.
5(5 |
Глава 3. Поглощение |
Модель хвостов плотности состояний полупила косвенное под тверждение во многих экспериментальных исследованиях помимо спектров поглощения. Туннельная спектроскопия [22] дает, воз можно, наиболее непосредственное доказательство существования хвостов плотности состояний. Этот метод выходит за пределы тематики дайной книги и потому не будет здесь рассмотрен, но он может оказаться столь важным инструментом для исследования
зо -
Cq 20-
5 |
. |
съ |
|
^10 -
|
_______________I_ |
_ |
I_ _ |
_ _ |
__ _ _ |
_ _ |
_ I _ _ _ |
_ _ |
_ _ |
_ |
_ |
|
|
Ю16 |
Ю17 |
|
ІО18 |
|
ю19 |
|
юм |
|
|
|
|
|
Концент рация носит елей, см |
J |
|
|
|
|
||||||
Ф п г. 3.12. Зависимость |
параметра |
Е 0 от концентрации носителей |
[20]. |
|
||||||||
распределения |
состояний, |
кто |
все |
те, |
кто |
в |
будущем |
собирает |
|
|||
ся работать в |
области физики твердого тела, должны иметь его в |
|
||||||||||
виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В гл. 1 мы впдели, каким образом хвосты состояний могут воз |
|
|||||||||||
никать в результате искажения краев зон заряженными примесями. |
|
|||||||||||
Искаженные края зон остаются параллельными в каждой точке |
|
|||||||||||
пространства, и поэтому ширина запрещенной зоны всюду посто |
|
|||||||||||
янна. Однако такое искривление зои соответствует локальному |
|
|||||||||||
электрическому полю, которое может быть довольно сильным, |
|
|||||||||||
порядка ІО5 В/см. В гл. 2 мы указали, что в результате эффекта |
|
|||||||||||
Келдыша — Франца |
край |
поглощения оказывается |
размытым. |
|
||||||||
Редфилд указал на связь |
между локальным |
внутренним |
полем |
|
||||||||
и эффектом Келдыша — Франца и предположил, что флуктуации |
|
|||||||||||
внутреннего поля ответственны за экспоненциальную зависимость края поглощения [23]. Перед тем как обсуждать влияние меняю щихся локальных полей на край поглощения, уместно рассмотреть, каким образом на этот край влияет однородное электрическое поле.
6. Собственное поглощение в сильном электрическом поле
В упрощенном виде эффект Келдыша — Франца можно пред ставить как увеличение при данной энергии вероятности нахожде ния в пределах запрещенной зоны электрона (или дырки), илиуве-
§ 1. Собственное поглощение |
57 |
личение вероятности туннелирования под действием электрическо го поля %.
В присутствии электрического поля вероятность найти элек трон в запрещенной зоне описывается экспоненциально спадаю щей функцией ueihx, где к — мнимая величина [2] (фиг. 3.13). Чтобы оказаться в зоне проводимости, электрон валентной зоны
Ф и г . 3.13. Туннелирование электрона.
а — без изменения энергии; б — с поглощением фотона.
должен туннелировать через треугольный барьер. Высота этогобарьера Eg, а его толщина характеризуется величиной d, полу чаемой из условия
d = |
(3.18) |
где Ш— величина электрического поля. С увеличением электри ческого поля толщина барьера уменьшается и перекрытие волно вых функций, определяющее вероятность найти электрон в запре щенной зоне, возрастает.
Как показано на фиг. 3.13, б, участие фотона с энергией hv эквивалентно уменьшению толщины барьера до величины
Eg — hv |
(3.19) |
d' = ~1% ’ |
при этом перекрытие волновых функций увеличивается и туннель ный переход становится более вероятным.
В процессе туннелирования фигурирует, конечно, только про дольная компонента квазиимпульса. Волновой вектор к принимает мнимые значения для продольного направления, т. е. для направ^- ления туннелирования. Сохраняются только поперечные компо ненты квазиимпульса. Величина продольной компоненты, парал-
58 |
Глава 3. Поглощение |
лелыіой электрическому полю, обращается в пуль на краю зоны (точки поворота). Эти важные детали подробно изложены в рабо тах Кейпа [25] (туннелирование при постоянной полной энергии), Моргана [26] (туннелирование, сопровождаемое эмиссией фотона) и Келдыша [27] (туннелирование, сопровождаемое поглощением фотона).
Эффект Келдыша — Франца в собственном поглощении, т. е. туннелирование с участием фотона, впервые был обнаружен в кремнии [28]. Он проявлялся как сдвиг края поглощения в сто рону меньших энергий. Аналогичные измерения были выполнены
Ф п г. 3.14. Край поглощения GaAs, полученный на нескольких кристал лах [30].
В области перекрытия данные для разных образцов хорошо согласуются. Кривые для Е = 0, 6, ІО и 30 кВ-см-і получены из примерно 200, 100, 100 и 50 точек соответственно. Обычная ошибка в значении Іи а в каждой точке составляет по оценке 0,03. Оптическое разрешение равно 0,5 мэВ.
на GaAs [11, 28—31] (фиг. 3.14) и германии [32]. Отметим, что погло щение, сопровождаемое туннелированием, становится более веро ятным в присутствии электрического поля. Поэтому для дискрет ного уровня или узкой зоны состояний (например, экситона) сле дует ожидать, что будет наблюдаться уширение, а не сдвиг. Однако, когда исследуется низкотемпературный край, как в рас сматриваемом случае, уширение Келдыша — Франца этого края проявляется как сдвиг в сторону меньших энергий.
Поскольку мы рассматриваем эффекты, связанные с сильным электрическим полем, коснемся вкратце так называемого «штар-
