Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

матрица, причем каждому характеристическому корню Хр

до ненулевого скалярного множителя отвечает один и толь­ ко один собственный вектор матрицы Л, причем различным кьеткам Жордана соответствуют линейно-независимые соб­ ственные векторы.

Степень вырождения г собственного значения Хр пред­ ставляет собой максимальное число линейно-независимых собственных векторов матрицы А , соответствующихХр. В об­ щем случае г С ар. Если степень вырождения г собствен­ ного значения равна его кратности, т. е. г = ар, то, оче­

видно, /р*= ... = t'p = 1. В этом случае все соответствую­ щие клетки Жордана будут содержать по одному элементу (простые клетки).

Пусть Хі,..., Хт— характеристические числа матрицы Л, соответствующие различным клеткам Жордана (не обяза­ тельно различные между собой). Тогда, так как XI —

ментарными делителями матрицы Л, а натуральные числа Ір, т. е. размеры (порядки) клеток Жордана,— показателя­ ми элементарных делителей, соответствующих числу Хр.

ОХп

причем числа Хр (р = 1.......п) не обязательно различны.

2. Линейные преобразования. Каждой квадратной мат­ рице А порядка я соответствует линейное преобразование А

векторного координатного пространства Сп размерности п,

т. е. вектору х = (хи ..., хп) пространства Сп ставится в соответствие вектор

определяемый соотношением

п

У і = 2 a ikx k.

k=i

Нулевой матрице О соответствует нулевое преобразова­ ние О, переводящее каждый вектор в нуль; единичной матрице соответствует тождественное преобразование. Пре­ образование является примером линейного оператора, дей­

ствующего в Сп.

Говорят, что подпространство Сп линейного простран­ ства Сп инвариантно относительно преобразования А , если каждый вектор из Сп преобразование А снова переводит в некоторый вектор из Сп , т. е. А С п сг Сп .

Если пространство Сп распадается в прямую сумму под­ пространств, инвариантных относительно линейного пре­ образования А , то в надлежащей координатной системе матрица преобразования А принимает клеточно-диагональ­ ный вид и диагональные клетки являются матрицами пре­ образований, индуцированных преобразованием А в ин­ вариантных подпространствах.

Характеристическим многочленом преобразования А на­ зывается характеристический многочлен <р (Я) = det (XI —

— А) матрицы А.

Степень характеристического многочлена преобразова­ ния Л равна порядку матрицы А, а порядок матрицы равен

размерности пространства Сп. Поэтому степень характерис­ тического многочлена преобразования А равна размернос­ ти пространства, в котором действует это преобразование.

Так же, как и квадратная матрица, каждое линейное преобразование является корнем своего характеристиче­ ского многочлена, т. е. q> (А ) = 0.

Число % называется собственным значением линейного преобразования А , если в рассматриваемом пространстве

значения линейного преобразования являются корнями его характеристического многочлена.

Если собственному значению соответствует ровно т > >• 1 линейно-независимых собственных векторов, то т на­ зывается геометрической кратностью собственного значе­ ния X.

Собственные векторы, соответствующие различным соб­ ственным значениям одного и того же линейного преобра­ зования, линейно независимы.

Спектр линейного преобразования А совпадает со спект­ ром матрицы А, представляющей преобразование А .

Алгебраической кратностью m-t любого собственного значения X-, преобразования А называется алгебраическая кратность числа Я/ как собственного значения соответствую­

щей матрицы А. Алгебраическая кратность т/ больше или равна геометрической кратности т,- собственного значе­

который сходится при всех значениях переменной г; для

двух комплексных чисел г и w имеет место соотношение

gZ+W __ gZ . gW'

Аналогичным образом матрица еА определяется для каж­

Согласно (2.10), учитывая известные свойства квазидиагональных матриц *), можем написать:

где А/оР) = /р, /р — единичная матрица порядка р.