Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 247

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2)

 

 

 

 

ОЦЕНКИ

МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

 

545

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая линейную систему (14.42), (14.43),

устанавливаем, что

 

 

 

 

 

 

^ ( / ) = ѵ0 (М ) + ѵ,(/)Ѳ,

 

 

 

(14.44)

где

ѵ0(/,

I) — ^-изм ерим ая

функция,

линейно

зависящая

от

іо>

•••»

so

а

V!(t) =

(ѵи (t), . ...

vlN(t)) — неслучайная

вектор-

функция

(строка).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применим

к

(() = £(()

теорему 13.5.

Тогда

(при

фиксиро­

ванном Ѳ) найдется последовательность

независимых

гауссов­

ских случайных

величин

ë(t),

t =

0 ,

1 , . . . ,

с

Me (0 =

0 ,

Мё2 ( 0 = 1 ,

 

=

сг{со: | ( 0)........

|(0}-измеримых

при каждом

t

(поскольку

ß, = Ьп-і ф 0),

таких,

что Р-п. н.

 

 

 

 

 

 

&(/+

1 ) =

<х(*+ 1 )Ѳ +

тв (0

+

l/ß? +

Ѵ22(0ё(/ +

1).

(14.45)

 

Используя (14.44),

отсюда

получаем,

что

 

 

 

 

 

 

l ( t + l ) =

[a(t+

1) +

ѵ,(0]Ѳ +

ѵ0 (0

g) + ß(f)ë(H -

1),

(14.46)

где

ß(0 =

V"ßi +

У22

(*)•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но ё(0»

t = 0, 1,

. . . ,

являются независимыми гауссовскими

случайными

величинами

с

Мё(/) = 0 ,

Мё2(0 =

1.

Поэтому

из

(14.46)

легко

находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а4

( |( 0),

. . . ,

КО) =

 

exp

 

t ( 0 ) a ( 0 ) 0

( a ( 0 ) Ѳ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ö2

 

 

2ö2

+

 

 

 

 

 

[ | ( s ) - v

0 ( s -

l , I ) ]

[ a ( s )

+

v

1 ( s -

l ) ] 9

1 [(a(3) + v ,(3 -

1))Ѳ]2\1

+ S (

 

 

 

 

ß2(s —1)

 

 

 

 

 

' 2

 

ß 2 ( s — 1)

j

 

■г=І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

62 =

Mif (0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.47)

 

 

 

 

 

некотором t~ ^N — 1 матрица

 

Предположим, что при

 

 

Dt

а*(0)a (0)

2

[ a

( s )

+

v i

( s

- 1)]* [a (s) + Vi (s —1)1

(14.48)

 

 

â 2

 

 

 

 

 

 

 

ß2 (s —1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не вырождена. Тогда из (14.47) получаем оценку максимального правдоподобия Ѳ, (по определению она обращает в максимум правую часть (14.47)), задаваемую формулой

А

п - 1 [

а * ( 0 ) 1 ( 0 )

, V I [ а ( s ) + у , ( s -

1)]* [ | ( s ) - v 0 ( s - 1, £ ) ]

*t — u t

62

-r 2u

ß2( s - 1)

 

V

 

S = 1 81

 

( 1 4 . 4 9 )

18 P. Ш Липцер, A. H. Ширяев

546

ПРИМ ЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ. 14

 

Из (14.48), (14.49) нетрудно вывести, что оценка 0, является

несмещенной (МѳѲ, =

Ѳ) И

 

 

 

Мѳ[(§, — Ѳ)(Ѳ, — 0)*] =

/>Г'.

(14.50)

С

помощью простых

преобразований

из (14.47), (14.49) сле­

дует, что

 

 

 

 

- ||( І ( 0 ) .........

£ (0) — exp { Q*D,Qt — у Q"DtQ}.

(14.51)

Отсюда, в частности, видно, что в рассматриваемой задаче 0, является достаточной статистикой (§ 5 гл. 1).

Покажем, что в классе несмещенных

оценок Ѳ, — (Ѳ] (7), . . .

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

. . . . Ѳи(0) с

М 2 Ѳ г ( 0 < ° ° оценка

0/

эффективна, т. е.

 

 

 

і=і

 

 

 

 

 

 

 

Мѳ (Ѳі — Ѳ) (Ѳ/ — 0)* >

Мѳ (Ѳі — Ѳ) (Ѳі — Ѳ)’ =

D71.

(14.52)

Действительно, согласно матричному неравенству

Рао —

Крамера (1.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (Ѳ ,-Ѳ )(Ѳ ,-Ѳ )’ > Г >

) ,

 

(14.53)

где 0, — несмещенная оценка

вектора

0 (МД), =

0), а /(Ѳ) =

==|| /г/(0) II — информационная

матрица

Фишера с

элементами

 

д

 

dfij

 

 

 

 

 

 

Л/(0) = Ме

Ö0,

ln

Щ (£(0), . . . . Ш

 

X

 

 

 

 

 

 

 

х

і

^

іпЦ

.«. .<.««>о

Но в нашем

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.54)

Чтобы доказать (14.54), заметим, вводя обозначения Dtj(f) и А /(0 для элементов матриц Dt и DJX соответственно, что

, dpt

> п -Д й ; (0 ),

£ ( 0 ) = 2 Dkl И) Bk М 0 - - Ѳ *

dH

k, 1=1

§ 2] ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ 547

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln dy\

(1(0), . . . ,

|(0 ) =

y D

//(/)[é/ ( / ) - o z],

 

 

дѲ,

d4

 

 

 

 

 

MB*Â

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l—\

 

 

 

 

 

 

 

/ г/(0) = М |^ - 1 п ||( |( 0 ) ,

. . . , | ( 0 )

 

 

 

d\it

(0),

m

дѲ

in -4 (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I, k=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ѳ*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dtk (/) Dlk (t) I=

 

N

 

 

 

 

 

 

N

 

 

/

N

 

Yj

D„ (t) Dik (t) Dlk (t) =

V Djl {{) (V

 

i, k—i

 

 

 

 

 

i— i

 

 

jU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

y \ D lt(t)6(i,

l) — Dtj (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

Из (14.53)

и (14.54)

получаем требуемое

неравенство

(14.52),

что и доказывает эффективность оценки 0,.

выше

для

вывода

З а м е ч а н и е .

Метод,

использованный

 

представлений (14.49), (14.51),

применим

и в том случае, когда

Ьп—I

Ьп—2 = = • • •

==

Ьп—т = =

0 |

Ьп—т —і

0 ,

П

171

1 ^

0 .

2.

П р и м е р

2.

 

Пусть

| (t) =

Ѳ+ ц (і),

где Ѳ— неизвестный

параметр,

— о о < Ѳ < о о , а ц (t),

t =

0,

± 1, ... — стационарный

гауссовский

процесс

с Мг|(0 = 0

и спектральной плотностью

 

 

 

 

 

f(*) =

 

лІк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е2(Л) + еа + ^

 

 

 

 

 

 

Оценка максимального правдоподобия неизвестного пара­

метра

Ѳ может также интерпретироваться

как

оценка

матема­

тического ожидания

М Ш = ѳ процесса l(t),

t — 0 ,

± 1 , ...

По теореме 14.1 процесс "п(0 является компонентой дву­

мерного

процесса

 

(rp (t), ^(О )

с

“Пі (0 =

Л (0 »

определяемого

рекуррентными уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лі (t +

1) — Л2(0 +

8 (і +

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѣ (t+

1) =

— уЛі ( 0 ~ ті2(0 +

4 'е (/ +

0

 

 

и последовательностью независимых гауссовских случайных ве­

личин е (t), t = 0, ± 1,..., Me (t) — 0, Me2 (0 =

1- Отсюда находим

К * +

1) = Ѳ + т)2(*) + в ( * +

О.

Лг(* + 1) =

. ( 0

+ 1)'

% ( 0 + у

18!

548

 

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

 

[ГЛ. 14

 

В соответствии с этим тв (і) =

М (л, (t) |

является реше­

нием рекуррентного

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«7 Ѳ = — ѳ -

1(t)

 

■m\ +

T + Ѵ/

(i.»/+1

Ѳ— me(t)),

 

 

rnt + I

 

 

 

 

1

+ y .

где

(см.

13.57))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y/+1 = Y/ + t

—

1 +

V ,

 

 

 

 

В силу уравнения (14.20) Mp]

—

Mp2(/) = | ,

Mp, (t)r\.2(t)—

=

-

^

• Поэтому M [g (t) -

Ѳ]2 =

Mp; (0 =

- f

, M [g (t) -

Ѳ] p2 (*)=

=

Mp! (/) p2 (0 =

 

9

 

следовательно,

по теореме о нормаль­

— jg-, и,

ной

корреляции

(теорема

13.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ѳ (0) =

 

| ( ѳ - | ( 0 ) ) ,

 

Y o =

f -

 

 

Решая

теперь

уравнение для

тѳ (t)

 

с начальным

условием

т Ѳ(о) — і-(ѳ — g(0)),

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t - 1

 

2 - + 2Ys

 

 

 

 

 

 

 

 

т ѳ (t)=

-

 

 

[Ѳ-5(0)1 +

 

 

 

 

 

 

 

1 + Ys

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t - l

t - 1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

+ Y,

 

 

 

 

+ Ш

 

 

 

 

¥

( i ( s ) - 0) +

DS+1

 

 

 

 

 

 

V,

 

 

 

s = o

/= 5 + і

V

 

1 +

Y/

где

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+^ o ( t , |)

+ Ѵ,(/)Ѳ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< - l

/

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0 (t> ^

=

- т П

 

Y + 2Ys

 

 

 

 

 

 

 

\

1

+

£o +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s=0

Ys

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t - l

t - l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т + 2 Ѵ/

TT I (s) +

' +

Y ,

 

 

 

 

 

S==0

/=5 + 1

 

1 + V,

1 +

Y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ,(0-тП

 

 

 

 

t - i

t - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52= 0 /= 5 +I1 t‘

+ 2V/

 

 

 

 

 

1 I I I _ T + 2Ys

 

 

 

 

 

 

+ 2 П

1+ Ys

 

- T1 + Ys -

Смотрите также файлы