Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 251

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

536

 

 

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

 

[ГЛ. И

 

 

 

 

 

Будем

предполагать,

что все корни уравнения Qn(z) = 0

лежат

внутри

единичного круга.

 

 

 

 

 

 

 

Из представления (14.1) следует, что процесс т](/) имеет

дробно-рациональную спектральную плотность

 

 

 

 

 

 

 

м *

)

=

Рп-ЛеІХ)

2

 

 

(14.2)

 

 

 

 

 

Qniea )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим по мере Ф(сй) процесс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е ( 0 =

Jе а ( < - 1 ) Ф(dX).

 

(14.3)

 

 

 

 

 

 

—Я

 

 

 

 

 

Ясно,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Me (t) — О,

 

M l

8 ( 0 р =

’

dl_

 

 

 

 

 

 

 

2п

 

 

 

 

 

Ме(0 e(s):

 

eiMf" 5,l r

=

6 V, s),

 

(14.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

где 6 (t,

s) — символ Кронекера.

 

 

 

e(t),

Из

(14.4)

следует,

что

последовательность

величин

t = 0,

±

1, . . . ,

является

последовательностью с

некоррелиро­

ванными значениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

Наряду с процессом ті(/), допускающим спектральное пред­

ставление (14.1),

определим

новые процессы ц, (/), . . . , r\n{t) по

формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л /(0 =

J еш №,-{еа )Ф((И),

/ = 1 , . . . .

я,

(14.5)

где частотные характеристики W/{z), j = следующим специальным образом:

П—1

W / (z) =

z ~ in~1)Wn(z) + S

/ = 1 ,

 

k=i

 

В7я(2) =

- 2 - 1 S a * r * +I(z) + z-*ß„

 

 

ft=0

 

с

/-1

 

 

 

ßl

I» ß/ bfl—j —j ßi^n—/+/>

/ =

 

(==1

 

I, . . п, выбраны

... , n — 1, (14.6)

(14.7)

2, . .., я. (14.8)

§ Ч

ФИЛЬТРАЦИЯ

СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

637

Из (14.6),

(14.7) следует, что

 

 

 

 

 

 

Wjiz):

,- 1 [ f l ^ z j + ß , ]

 

(14.9)

 

 

 

Wn(Z):

п — 1

 

 

 

 

 

 

-1 akWk+i (z) + ß„

(14.10)

 

 

 

 

fc= 0

 

 

 

Отсюда уже нетрудно вывести, что

 

 

Wn(z) =

z-'

2

 

(z) +

2

ßy2 -W -«)+ ß„

(14.11)

 

 

k=0

 

 

j=k+i

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wn(z) =

P[nnl i(*)

 

(14.12)

 

 

 

 

 

Q n ( z )

 

 

где / ^ ( z )

— полином степени

не выше п — 1,

 

Далее,

в силу (14.9) — (14.12)

 

 

 

 

 

 

 

IV ■(г) =

Р"~‘(г)

•

(14.13)

 

 

 

 

, ( Z )

Q n ( z )

 

где полиномы Pn-i(z) имеют степень

также не выше

п — 1,

причем

в силу (14.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р " и (г )* вРа- Х{г).

(14.14)

Таким образом, т)і(0 — ті(0-

 

 

 

процесс

Т е о р е м а

14.1.

Стационарный (s широком смысле)

т)(^), t =

0 , ±

1, . . . ,

допускающий

спектральное представление

(14.1), является компонентой п-мерного стационарного (в широ­

ком смысле) процесса (rh (і), . . . ,

трД/)), т)і (0 =

Л (0,

подчиня­

ющегося системе рекуррентных уравнений

 

 

 

Л/(* +

1) == Л/+і (0 +

ß/e (t +

1),

І =

1,

- •

ti— 1,

(14.15)

 

п -

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'п«.(t +

О — — 2

 

а/п/+і (0 +

ß«e (t +

1)-

 

 

 

 

/=0

 

 

 

 

 

 

 

 

Процесс

z(t), t — 0, ±

1, . .

допускает представление (14.3),

 

Мтр (s) è (t) =

0, s < t ,

/ =

1,

. . . ,

n,

(14.16)

акоэффициенты ßI( . . . , ß„ задаются формулами (14.8).

До к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что из пред­

ставлений (14.12), (14.13) следует,

что все полюсы у функций

W j ( z ) лежат внутри единичного круга.

Используя представления (14.6), (14.7) и (14.5), легко нахо­

дим, что процесс (тр (і), . . . , трД/))

удовлетворяет системе ре­

куррентных уравнений (14.15).

 

538

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

(ГЛ. 14

Установим теперь справедливость формулы (14.16). Пусть *)

0

1

(МО, • , М О ) ,

 

 

0 ...

0

ß.

 

0

0

1 ...

0

 

А —

0

0 ...

в =

р2

(14.17)

0

1

ß«

 

—а 0

— а ,

— а 2 .. .

СІц—

 

 

 

Тогда в матричной записи система уравнений (14.15) допускает

представление

 

 

 

(14.18)

 

Yt = AYt^ + BBt.

 

Пусть t >

s. Тогда в силу (14.18) и (14.4)

 

MYsè (t) =

ЛМУ,_,ё it) =

ЛW

s_2ë (0 =

• .. = Л ^ М Г ^ ё (*),

причем для

каждого / = 1 ,

. . . ,

/г

 

 

Мті/ is - N ) l i t ) К (МI % (s—N) I2) '

p!/li (*'*■)

2 dX \'h

Qn(ea )

< oo.

 

 

 

\ — Л

2я

Значит, для доказательства равенств (14.16) достаточно пока­ зать, что

lim Л* = О

(14.19)

М->оо

 

(О — нулевая матрица).

Собственные числа матрицы Л совпадают с корнями урав­ нения Qn(z) = 0 и поэтому лежат внутри единичного круга. Приведем матрицу Л к жордановой форме:

A = CJC~\

где на главной диагонали матрицы / стоят собственные числа матрицы Л. Пусть Я— максимальное собственное число мат­ рицы Л. Тогда, поскольку 1Я |< 1, любой элемент матрицы JN не превосходит по модулю величины N\ Я |w-1- Но ЛІѴ= С /ІѴС_1

и N I Я |w_1-> О, N —> оо, что и доказывает (14.19).

З а м е ч а н и е

1. Если

т](/),

^ = 0, ±

1, . . .

, — действитель­

ный процесс, то

каждый

из

процессов

е(^),

ц2(7)> . . . , r\nit)

также является действительным. При этом ковариационная матрица Г = МТ^П удовлетворяет уравнению

Г = ЛГЛ* + ЯД\

(14.20)

) При алгебраических операциях F* рассматривается как вектор-столбец.

§ 1]

ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

 

539

Если t > s,

то

соѵ(У„Гв) =

М т е = Л '- « Г ,

 

 

(14.21)

 

 

 

 

 

что следует

из равенств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yt =

AYt- {+

Be(t) =

A2Yt. 2 +

ABe(t — 1) + Be(t) = ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . = A*-sYs +

2 A*-14Be(j + 1).

 

(14.22)

Аналогично,

при

t <

s

 

 

 

j=s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соѵ(У„ Ув) =

Г (Л *Г '.

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

2.

Если

rj(^),

/ = 0, ± 1 ,

. . . , — гауссовский

процесс, то

e(i),

t =

0,

± 1,

. . . , является гауссовской последо­

вательностью независимых случайных величин.

для

вывода

урав­

2.

Используем

представления

(14.15)

нений фильтрации компонент стационарных последовательнос­

тей с дробно-рациональным спектром.

 

 

 

 

 

t =

 

Пусть vt = [Ѳ„ У =

[(Ѳ, (/), . •.,

Ѳ* (0),

(Ei (0. .. •, & (*))],

0,

± 1........ — действительный

стационарный (в широком

смысле)

k + /-мерный процесс,

допускающий представление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ<= J eiMW(ea )0(dX),

 

 

 

(14.23)

где

W (z) — II Wf' q (z) II — матрица

порядка

N X m ,

N =

k +

l,

с дробно-рациональными элементами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(r, q)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wr,q{z).

 

nr,q-

 

 

 

 

(14.24)

 

 

 

 

 

(r,q)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q[n q

 

 

 

 

 

 

 

а Ф (dX) = [Ф[ (dX), . . . ,

Фт (dX)\ — случайная векторная мера с не­

коррелированными компонентами,

МФ,- (dX)—0, М | Ф;- (dX) j2 = ^ .

Будем предполагать

также,

что корни уравнений Q ^^(z) — 0

лежат внутри единичного круга.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя теорему

14.1 к каждому из процессов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵр,г,«?(*)= \ eiMWr,q{e^)Op{dX),

 

 

(14.25)

после простых преобразований для вектора

|< =

(іі(/),

• ••,

!;(/))

и вектора Ѳ/ (составленного

из вектора Ѳ<= (Ѳ,(/),

. . . ,

ѲА(/))

и всех тех дополнительных компонент типа %(/),

 

 

лДО-

которые возникают по теореме 14.1 в системе (14.15)) получаем

систему рекуррентных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ/-И =

afit +

Ö2\t +

be(t + 1),

 

 

(14.26)

 

 

 

E/+i =

Afit +

A2\ t +

Be(t -j- 1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы