Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

554

ПРИМЕНЕНИЯ

К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ.

14

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

(14.74)

М [(m“+])* S (/ +

1) т “+11ЗГ)и) =

=

М {[с (() ut +

а (t) m “+

D ( t ) l { t + 1 )]* X

X S ( t + 1)[c (t) ut + a(t) m“ + D (t)Ë (t +

1)]|#T } =

=

(/n“)‘ а (t) S{t +

1) а (t) m“ +

u]c* (t) S (t +

1) c (t) u( -f

+

2u\c" (t) 5 (t +

1 )a (t) m tu +

+

2M (ë* (t +

1) I r f ) D (t) S (t + 1) (c (t) ut +

a (t) m%) +

+

M[ë*(/ +

l)D*(t)S(t+

\) D ( t) l( t+ 1)|

=

=

{т"У a (i)S(t +

1)a(t) m“+

u"tc* (t) S(t +

1 ) c{t)ut +

+ 2u*c(t) S (t +

1) a(t) mut +

Sp S l/2(t +

1) D (t) D" (t) Sp1/2

+

1),

где мы воспользовались тем, что

М (ё(Н - 1 ) | Г И = 0 и

M [ r ( t + \ ) D ’ (t)S(t+ l)D (t)è(t+

1 )| £гГ] =

= М[ё*(/+ 1)D* ( t) S ( t+ l ) D ( t) z { t+ \) \ =

— Sp S 1*2 (t +

1)0(0 Më(f + 1) ë* (^ +

l)/)‘(/)S,/2 ( l + l ) =

= SpS1/2( /+

l) D {t) D

{t) S lß (t).

(14.76)

Лемма доказана.

6(1), . . . , 6 (Т) — последовательность

З а м е ч а н и е .

Пусть

независимых гауссовских

векторов (6 (0 = (öj (0 ,

•••, 6ДО)) с не'

зависимыми компонентами, имеющими нулевые

средние и еди­

ничные дисперсии. Рассмотрим процесс

гп,

і =

0, . . . , Т,

опре­

деляемый из рекуррентных соотношений

« 1+1 =

с (0 и, + а(0 гп, + D (06 (t +

1),

m0= m, (14.77)

где ut = ut {(.о)

не

зависит

от 6(/ +1) .

Как

и при доказатель­

стве соотношений (14.75), показывается, что

M[mi+iS(^+ l)m <+1| и„ mt\ —

— tnta (0 S {t + \ )a(t)mt +

u"tc* (t)S(t-\- 1) c (t) ut +

+

2u"tc* (t) S (t + l)a(t)m, +

Sp SI/2(/ + 1) D (t) D (t) S m (t +

1).

(14.78)

Свяжем теперь с введенными выше матрицами P(t) и функ­

циями p(i),

t =

0........ Т, скалярные функции

Qt(x) = p(t) + x'P(t)x,

(14.79)

г д е x < ^ R k. П о с к о л ь к у р ( Т ) = 0, а Р ( Т ) = Н ( Т ) , т о

Q T (х) — X*Н ( Т ) х ,

( 1 4 . 8 0 )

556

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ. 14

т. е. систему

[Я (*) +

с*(/)/>(/+ \)c{t)]V = -c*(t)P {t-\- l)a(t)x.

(14.89)

Поэтому

минимум

квадратичной

формы J(V,x) достигается

на векторе V, и для проверки равенства (14.86) осталось лишь

установить, что х*Р (t) х = / (V, х),

т. е. что

x'P{t)x =

x*[H(t) +

a* ( t ) P ( t + \ ) a { t + \ ) —

5.

Возвратимся к доказательству

теоремы 14.2.

Рассмотрим

управление й — (й0,

. . . . йт- х), определенное

в (14.64). Тогда в силу леммы 14.3

— М [Q<+1 (mf+1) — Qt (mt)] =

M [m]H (t) mt + ü]R {t) üt\

(14.91)

Суммируя равенство (14.91) по 1 от

0 до

Т — І и учитывая,

что rriQ— m, находим

г-і

Q0 (m) — МQT(mr) + 2

М [т*Я (t) mt +

utR (t) üt] =

Г

T- 1

=

2 Mm.H (t) mt + 2

MutR (t) üt.

(14.92)

/=о

(=0

С

другой

стороны,

пусть

u = (u0, . . . ,

uT-.i) — любое из

—

м [Qi+i {mt+1) —

Qt {mf)\ <

M

H (0 rnut +u]R {t)

U t],

откуда

вытекает,

что

г

r-i

Qo ( m) <

2

М (m“Y Н (t) m? + 2

M иfR (t) и..

(14.93)

<=о

t=о

Сравнение (14.92) с (14.93) доказывает оптимальность управ­

ления

й = (йо,

•••> «Г-і)- Формула

(14.67)

следует из

(14.71),

(14.79)

и того,

что

У (й) =

Qo (m) + 2

Sp H u\ t ) уtH42 (0.

<=o