Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

604

Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е

С Л У Ч А Й Н Ы Х

П Р О Ц Е С С О В

[ГЛ . 15

 

Далее,

поскольку

М (Ѳ,— я,)2 = МлД1— я,), то для отыска­

ния б (А,)

надо

уметь

находить lim

МлДІ — я,) для

процесса

nt,

0,

 

 

 

і->оо

 

 

 

 

с дифференциалом (15.102).

 

 

 

 

 

Согласно теореме 4.6 уравнение (15.102) имеет единствен­

ное сильное (^"Г-измеримое при каждом

О) решение. Можно

показать,

что

это решение является

марковским

процессом,

 

 

 

 

 

 

 

 

/, % dР (я/<!х)

одномерная плотность распределения которого q(г, х) =

----"

удовлетворяет

прямому уравнению

Колмогорова

 

 

 

dq {U *)_ = —

(1 — 2x)q {t,

х)] +

j

~

[ х 2 (I — х)2 q (t, x)],

 

 

 

 

 

 

 

 

t >

0.

(15.103)

В

силу того, что процесс nt,

0,

является (в терминологии

теории марковских процессов) возвратным и положительным *),

6 (А,) = lim М я,(1— я,) =

lim

x ( l — x)q(t, x)dx

существует и

t~boo

t—»00

J

 

 

1

 

6(A) = J

x(l — x)q{x)dx,

(15.104)

 

0

 

 

где q (x) есть единственное вероятностное ^q{x)^0, J q(x)dx=

решение уравнения

^ - \ X { \ - 2 x ) q ( x ) ) ~ ^ - ^ [ x 2( \ - x ) 2q(x)].

Нетрудно найти, что это решение задается формулой

q(x)

Поэтому

ехр4

2А,

)

1

х ( І - х )

J

X2 (1 — х)2

 

2А

)

d y

 

1/(1 - у )

J

У2(1 —у)2

 

ехр

'

2А

\

d x

 

 

,

X (1 — х) / X (1 —х)

6 ( к ) = -

1

 

 

 

 

J

ехр

(~

2А \

dx

X (1 — х ) ) X 2 (1 — х)г

(15.105)

(15.106)

) См. леммы 9.3 и 9.4 в гл. 4 [157].

§ 4] СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК 605

или, в силу симметрии подынтегральных функций относительно

точки х — 1/2,

1/2

( _

_ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

Гехр

 

 

 

б(Я) = J

 

I

X (I —х) / X (I —х)

 

1/2

ехр

-------------------------------.

(15.107)

 

 

 

2Я

 

dx

 

о

 

— X(1—х) ) X2(1—х)2

 

Исследуем lim б (Я). Делая в (15.107)

замену

переменных

 

 

У =

,

„S - 8Я.,

 

 

находим, что

 

 

X(1—х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Я I «Г* y r ,J ■ КЛ ^

 

б (Я):

 

 

 

 

У

У + 8Я

(15.108)

 

I е"'/ •

У+ 8Я dy

 

 

 

 

 

У

 

 

Поскольку при 0 < С < ОО

 

у+8с

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy < ОО,

 

 

 

 

 

У

 

 

 

то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 1.4)

 

 

ОО I *-'/

ОО

е~у dy ■ 1.

 

lim

е ~у ' ] /

dy =

J*

 

J

 

 

 

 

Далее,

 

dy

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Я I <?-*-

2Я (*

.. dy =- + d (Я)

 

l 7 У (У + 8Я)

J

К у (у + 8Я)

 

ОО

 

dy

 

lim d (Я) =

 

где nf f t ) = J

е-г/

, rf(0) =

dy < I.

 

 

V У (У + 8Я)

X у о

 

 

Поэтому по теореме о среднем (е_І ^

с (Я) ^

1)

 

2Я J е~У

 

dy

2Я (Я) f

, . - Д

оіч +

d{%)

VУ (у + 8Я)

6

Ц VУ (у + 8Я)

 

606

ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 15

 

Но

dy

ln Я 1

+

In 8

 

 

ln [2 \f\ + 8Я + 2 + 8Я]

Ѵу(у + 8Я)

ln Я

 

 

 

ln Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö (Я) =

— 2Я In Я с (Я) —j—О ^[п

 

Я |0 .

 

(15.109)

Подобно тому,

как показывалось существование

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

lim Мя* (1 — л,) =

х (\

— x)q(x) dx,

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

можно показать, что существуют

 

 

 

 

 

 

lim М (1— 2я,)2,

 

lim Мл?(1— я,)2,

 

 

< - > оо

4

'

t - ю о

 

 

 

 

 

 

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim М(1 — 2я,)2 =

у lim

 

Мл2 (1 — я,)2.

 

(15.110)

 

 

 

 

t -> СО

 

 

 

 

(Заметим, что к (15.110) можно

было бы прийти

следующим

путем. Из (15.102) по формуле Ито получаем

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

n t 0 — n t) = по(1 — «о) + ^ j

(1 — Zn-sf ds ~

J It2 (1 — Я5)2 ds +

 

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

+ Jt (1-2я,)я5(1 -я ,)^ .

Отсюда следует

 

 

 

 

2

я 5) 2

 

t

 

 

МяДІ — я,) = я0(1 — п0) + Я J М(1 —

 

 

 

ds —J Мя2(1 — nsf d s ,

или

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d[Mnt ( \ - n t)}

 

 

 

 

 

 

 

 

(15.111)

dt

=ЯМ(1 — 2я,)2 — Мя2(1 — я()2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т I

ожидать,

что

 

 

d ГМя, (1 —яЛ]

0.

Вместе

Но естественно

lim —1— -гг----— =

 

 

 

 

/-*оо

 

 

dt

 

 

с (15.111) это приводит к соотношению (15.110).) Замечая

теперь, что (1 — 2л:)2 = 1 — 4х (1— х),

из (15.110) получаем

lim МяДІ — n t) =

-—

lim

Мя,(1 — ntf

1

+ О т

(15-112)

t ->°о

4

/-*00

ня

= T

 

 

§ 4]

 

СРАВНЕНИЕ о ц е н о к

 

607

Итак, объединяя

оценки (15.109)

и (15.112), получаем

 

I

2 Ш Цс(А) + О ( J j - ) ) , А, I

0 ,

 

 

 

 

(15.113)

 

6 ( А ) = ■{

 

 

 

II +4 + ° Ш ’

А I

о о

Y (А)

 

Вместе с (15.100)

для величины

эффективности е(А)

 

 

 

 

 

6( A )

оптимальной нелинейной оценки по отношению к оптимальной линейной оценке находим следующее выражение:

б(А) =

2 } f % ln А [1+0(1)],

А

I

О,

1+ 0(1),

 

 

(15.114)

 

А

I

о о .

Отсюда видно, что при малых А (т. е. когда среднее время

пребывания «телеграфного сигнала» в нулевом и единичном состояниях велико) линейный фильтр значительно «проигры­ вает» в среднеквадратической точности нелинейному. В слу­ чае же А \ о о оба фильтра эквивалентны и работают одинаково

«плохо»:

6 ( A ) lim М (Ѳ, —

= \

Y (А) ~ lim М (Ѳ* — nt)2 =

-j-, А—>оо,

оо

^

t - > o o

4

т. е. дают при больших А ту же самую ошибку, что и «апри­ орный» фильтр, для которого в качестве оценки величины Ѳ, берется среднее значение п (.

Поскольку 1ітМ(Ѳ, — n tf

— ~ при всех А > 0, то из (15.100)

t ->оо

4

также видно, что при малом А оптимальный линейный фильтр работает «хорошо» (с точки зрения асимптотического «отсле­ живания» процесса О, по сравнению с «априорным» фильтром)

l i m

М ( Ѳ

- А Л 2

 

t ~ > оо

Ѵ

 

Ѵ

4l/A + 0(A), АІ0.

c lim

M (Ѳ, -

ntf

 

 

 

 

 

oo

Однако в этих условиях (т. е. при малом А) нелинейный фильтр дает еще большую точность «отслеживания»:

lim

М (Ѳ

+)2

:8Л1пХ с (А) + О In А

А I 0.

<-»оО 4 1

п

)2

lim

М (Ѳ —

 

 

 

Это замечание отражает тот наблюдаемый в задачах филь­ трации факт, что выигрыш, дистигаемый с помощью нелиней­ ного фильтра, тем значительнее, чем выше точность «отсле­ живания», получаемая при применении оптимального линейного фильтра.

Смотрите также файлы