Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 225
Скачиваний: 0
§ 3] |
ОЦЕНИВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ |
599 |
|
Рассмотрим для определенности лишь задачу оптимальной |
|
(в среднеквадратическом смысле) линейной фильтрации. Чтобы
иметь |
возможность применить теорему 15.3, достаточно пока |
|
зать, |
что процесс ѵ<= (Ѳ/, l (), |
0, может быть представлен |
в виде компоненты процесса, удовлетворяющего системе урав нений типа (15.44).
Используя теорему 15.4, находим, что вектор vt является компонентой вектора (О,, £,), имеющего размерность
(15.83)
где nrq — степень знаменателя дроби Wrq(z), а я, — число не совпадающих элементов Wr„ в столбце с номером а в мат рице W (г).
Ясно, что вектор 0, содержит все компоненты вектора Ѳ,. Поэтому оценивание вектра Ѳ, решает заодно и задачу оцени
вания |
вектора |
О,. В силу теоремы 15.4 (Ѳ,, £,), |
0, удовлет |
|
воряет |
системе |
стохастических уравнений |
|
|
|
|
db, = [fljè, + a2l t\ dt + b dWt, |
(15.84) |
|
|
|
= |
+ A £ t]dt + B d W , |
|
|
|
|
||
с матричными коэффициентами соответствующих размерно
стей и векторным винеровским |
процессом в широком смысле |
|
W, = {WX(/), . . . , Wn(t)). |
положительно |
определенной, |
Если матрица ВВ* является |
||
то тогда возможно применение |
теоремы 15.3. |
В самом деле, |
для этого достаточно установить, что найдутся некоррелиро ванные между собой винеровские процессы в широком смысле
такие, что
bWl = blWl {t) + b2W2(t), BWt = BlWl(t) + B2W2(t). (15.85)
Возможность такого представления доказывается так же,
как и в лемме 10.4. При этом |
матрицы Ьи Ь2, ß, и В2 опреде |
|||
ляются из равенств |
|
|
|
|
Ьф* -f b2b2 = bb\ |
ЬХВ * + |
Ь2В2 = |
Ь В \ |
B iB i + B 2B 2 = B B \ (15.86) |
З а м е ч а н и е . |
Если |
матрица ВВ* вырождена, то, в соот |
||
ветствии с результатом |
§ 4 гл. 10, |
имеется возможность по |
||
лучать линейные (неоптимальные) оценки для Ѳ„ близкие в сред неквадратичном смысле к линейным оптимальным оценкам.
600 ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 15
4. Приведем один пример, иллюстрирующий технику нахо
ждения оптимальных |
линейных оценок. |
Пусть |
|
|
|||
|
z + а |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
, а > 0, ß > 0, et > 0, |
г — 1,2. |
|||
W (z) = |
Ѵс |
||||||
|
Ѵсх |
|
|
|
|
||
Тогда |
z + а оо |
г + ß |
|
|
|
|
|
|
ѳ, = Г Д |
- iJ |
Ф, (dk), |
|
|
|
|
|
|
|
+ а |
|
|
|
|
|
ь = ѵ ^ |
|
j |
+ |
J |
- е т р - Ф п л ) |
|
Если |
обозначить |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
ЛЫ |
|
|
|
|
|
Ѣ |
іХ/-j- ß ф2i.dk), |
|
|
||
то |
-f- г|^ и |
задача |
оценивания |
по Іо = |
(^> |
5 ^=0 есть |
|
обычная задача выделения «сигнала» Ѳ<из смеси с «шумом» r\t. Согласно 15.4 найдутся некоррелированные между собой винеровские процессы в широком смысле Wx(t) и W2(t) такие,
что |
dQt — — aQtdt + V c\ dWx(t), |
dr\t = — $r\tdt + Y c 2 |
dW2 (t). |
|
Следовательно, для частично наблюдаемого процесса |
(Ѳ*, %(), |
|||
t ^ |
0, справедлива |
система уравнений |
|
|
|
dQt = —aQt dt + |
Y сх dWj (t), |
|
|
|
dlt = [ - (« - ß) Ѳ, - ß y dt + |
/ С dWx(t) + V ~ 2 d W 2 (t). |
||
Применяя к этой системе теорему 15.3, находим, что оптималь ная линейная оценка kt и ее ошибка Уг = М(Ѳ/ — к )2 находятся из системы уравнений
dkt = |
(хк{dt -|- с1+ |
Y< (ß — a) |
[dlt- ((ß — a) к, — ß|<) dt], |
(15.87) |
Y t= ' |
2ayt + с{ |
Гі + с2 |
- a )]2 |
|
|
|
[Cj + У/ (ß |
|
|
Ci + c2
Найдем начальные условия k0 и уо— М (Ѳ0 — к0)2. По теореме 15.3
МѲо|0 j. |
Ѵо = Щ |
(МѲ0|о)2 |
|
|
|
m l |
ёо’ |
,ѵ,ъо |
|
|
|
|
|
|
М-2 |
|
|
Обозначим d\\ = МѲо, |
dX2 = МѲ0| 0, ^22 = |
М£о> D = |
du |
d X2*\ |
|
|
|
|
|
d12 |
d2%I |
3] О Ц Е Н И В А Н И Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В 60 і
В силу (15.78)
AD + DA" + ВВ" — О
|
А = |
— а |
|
0 |
|
В- |
|
V cj _ |
о |
J |
|
|
||||
|
ß — а |
—( |
|
|
V С\ |
V с2 , |
|
|
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
— 2аdu |
с, = |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(ß — а)d„ — (ß + а) dl2+ И = |
0, |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 (ß |
а) d12— 2ßd22-j- |
-)- с2= |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
С1 |
|
d\2 |
— |
с1 |
|
|
ас2+ ßci |
|
|
||||
|
|
|
2а ’ |
2а ’ |
|
d22 ■ |
2aß |
|
|
|||||||
Итак, оптимальная линейная оценка |
по ^ = |
|
|
|||||||||||||
находится |
из уравнений (15.87), решаемых при условиях |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Ciß |
|
' £о> |
Yo: |
|
сіс2а |
|
|
|
(15.88) |
|||
|
|
|
ас2+ |
ßC[ |
2а(асг + |
р<ц) |
|
|||||||||
|
|
|
bü’ |
rü |
|
|
||||||||||
Если оценивать |
Ѳ, |
по £Эг_Г — {§s, |
— T < 5 < |
t), где |
T > 0, TO |
|||||||||||
kt, yt также |
определяются из системы (15.87) |
с |
|
|
||||||||||||
|
Л |
_ |
^lß |
ß<4 S-r> |
У—т1 |
с\с2а |
|
|
(15.89) |
|||||||
|
|
|
ас2 + |
2а (ас2 + |
ßC] |
|
||||||||||
Полагая |
|
Т -> оо, |
из |
(15.87) |
и |
(15.89) |
нетрудно |
найти, |
||||||||
что оптимальная линейная |
оценка |
%t и ошибка оценивания |
||||||||||||||
у==М[Я,/ — Ѳ,]2 |
величины Ѳ/ |
по |
|
= |
— o o < s ^ t } |
опреде |
||||||||||
ляются из |
равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
К = бііt + |
J e -e* ('“ s) [Ö0 - |
6,62] £s ds, |
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y(ß —«) + Ci |
|
|
|
|
|
|
|||||||
60 = 6jß, |
б |
b2 = b{(ß — a) + |
a, |
|||||||||||||
|
C\ *f c2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V(a2c2+ ß2ci)(ci + c2) — ac2 — ßc s |
|
а |
ß, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ß — а |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C\C2 |
|
|
|
|
а = |
ß. |
|
||
|
|
|
|
|
2a (Ci + c2) ’ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В частности, при a = ß, т. e. когда «спектральные составы» сигнала и шума совпадают,
Сі
*/ = сI + са !/•
602 |
|
Л Й Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В |
[ГЛ . 15 |
||||||
§ 4. |
Сравнение оптимальных линейных и нелинейных оценок |
||||||||
1. |
Пусть |
Ѳ(, |
0 ,— марковский процесс |
с двумя состояни |
|||||
ями |
0 и |
1, |
Р(Ѳ0= 1 ) = |
я0, |
переходная вероятность которого |
||||
Pla{t, |
s) = |
P(Qt = |
1| Ѳ5==а), |
а = 0,1, удовлетворяет уравнению |
|||||
Колмогорова |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
— |
|
= |
~ 2 P la(t, s)), |
Л > 0 , |
t > s . |
(15.90) |
|
Будем |
предполагать, |
что процесс |
Ѳ/; называемый |
«телег |
|||||
рафным сигналом», ненаблюдаем, а наблюдению доступен процесс
|
^ = j 4 d s + |
ir„ |
(15.91) |
|
о |
|
|
где Wt, |
0, — винеровский процесс, |
не зависящий от Ѳ*, t ^ O . |
|
На примере задачи фильтрации значений |
по §* = {gs, |
||
сравним качество оптимальных линейных и нелинейных оценок. Оптимальная (в среднеквадратическом смысле) нелинейная
оценка щ величины |
Ѳ, по l s, |
s < 4 , есть условное |
математи |
||||||||||
ческое ожидание щ = |
М (Ѳ< | &~)) = Р (Ѳ# = |
1 | |
|
Согласно (9.86) |
|||||||||
я„ |
0, |
является решением |
стохастического уравнения |
|
|||||||||
|
|
dnt — X(1 — 2я,) dt + |
я, (1 — nt) (d%t — nt dt). |
(15.92) |
|||||||||
(Из этого уравнения, |
в |
частности, |
видно, |
что |
оптимальная |
||||||||
оценка п( действительно является нелинейной.) |
|
Xt, доста |
|||||||||||
Чтобы |
построить оптимальную линейную |
оценку |
|||||||||||
точно |
рассмотреть задачу оптимальной |
фильтрации |
для про- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
цесса |
Ѳ, по значениям |
fs, |
s < 4 , |
где |
\t — ^ %s ds -\-Wt, Wt — не- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
который винеровский |
процесс, |
а |
Ѳ5 — гауссовский процесс, |
не |
|||||||||
зависящий |
от Wt, t ^ |
0, |
и имеющий те |
же |
первые два |
мо |
|||||||
мента, что и процесс |
Ѳ„ t~^ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя |
уравнение |
(15.90), стандартным путем находим, |
|||||||||||
что nt = МѲ* удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 ^ = = Л ( 1 ~ 2 п р , |
« о -я о , |
|
|
(15.93) |
||||||
а корреляционная функция К (t, |
s) |
определяется |
из |
равенства |
|||||||||
K(t, s) = K(s, |
s)c -2A4 -si, |
где |
K(s, |
s) = |
M [0S |
nsf |
= ns — n2. |
||||||
Решая |
уравнение (15.93), |
находим |
«, = |
—-[ 1— (1— 2n0)e~2U). |
|||||||||
§ 4] |
С Р А В Н Е Н И Е О Ц Е Н О К |
603 |
Следовательно, |
М (О, — nt)2 К (t, t) = j |
[1 — (1 — 2л0)2 е~ш ] |
и lim М (Ѳ, — nt)2— 1/4. |
|
|
ОО |
|
|
Нетрудно теперь заметить, что требуемый гауссовский про |
||
цесс ,Ѳ„ |
0, имеющий М О ^ п , и М (Ѳ, — nt) (0S — ns) = |
s), |
можно построить как решение стохастического дифференциаль
ного |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*ѳ, = а (і — 20 , ) ^ + |
|
V x d w x{t), |
|
(1 5 .94) |
||||||
где |
Wi(t) — некоторый винеровский |
процесс, не |
зависящий |
от |
||||||||
Wt, |
0 (см. также теорему 15.2). Тогда, обозначая W2{t) = |
Wt, |
||||||||||
получаем, что |
|
d i = |
Qt dt + dW2(t). |
|
|
|
(15.95) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применяя |
к системе (15.94), (15.95) |
теорему |
15.3, |
находим, |
||||||||
что It — М (Ѳ(,-| дг\) и yt = |
М (Ѳ*— kt)2 |
удовлетворяют системе |
||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dkt = |
k(l |
~ 2 k t) d t + \ t (dlt — ktdt), |
кд = По, |
(15.96) |
|||||||
|
Y< = |
- ^ Y t + |
к — у?’ |
|
Yo = « o ~ ло- |
|
(15.97) |
|||||
Можно показать (см. также далее теорему 16.2), что суще |
||||||||||||
ствует limy/ — y W> причем y(t) |
является |
единственным |
по- |
|||||||||
|
t~>OQ |
решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ложительным |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому |
|
V2 (к) + |
4Ау (к) — к — 0. |
|
|
(15.98) |
||||||
|
у(А) = |
j/A+HA2 — 2к, |
|
|
|
(15.99) |
||||||
и, значит, |
|
|
|
|
||||||||
|
Ѵ ^ + О [к), |
|
A4 о, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
у{к) = |
|
|
|
А I |
сю. |
|
|
(15.100) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найдем |
теперь величину 6(A)— lim |
М (Ѳ, — л,)2 для опти- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
/->со |
|
|
|
|
|
|
мальных нелинейных оценок nt, t^_0. |
_ |
|
|
|
|
|
||||||
Согласно теореме 7.12 процесс |
W = {Wt, |
|
|
0, с |
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt = l t — ^ n s ds |
|
|
|
(15.101) |
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
является винеровским. Поэтому уравнение (15.92) может быть
переписано в |
виде |
п'лі = |
А(1— 2я,) <# + я, (1 — nt)dWt, л0 = п0. (15.102) |
