Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

596

Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е

С Л У Ч А Й Н Ы Х

П Р О Ц Е С С О В

[ГЛ . 15

в силу

(15.5) и теоремы

Фубини

t

оо

оо

М

J

eiXsW (іХ) Ф (dX) ds

J cp (X) Ф (dX) =

0

—oo

oo

1

oo /

t

t

J eiKsW(iX)q>(X) dX ds ■

eas ds \W (iX)y{X)dX =

2л 0 — oo

OO

/

t

2л

—OO '0

— M J

IJeiKsds

W{iX)®{dX)-

J

q>(X)<lHdX),

— oo

'0

что в силу произвольности ф(Л) и доказывает (15.70).

Для

завершения доказательства осталось

лишь заметить,

t

р ш

— I

Г

что —

— = ] elXs ds-

о

т е о р е м ы

15.4. Ясно,

что

2. Д о к а з а т е л ь с т в о

Л/ (0 -

Л/ (0) =

j [в'» -

1 \W, (X) Ф (dX),

j =

1, . . . ,

n - 1,

и согласно

(15.60)

л1 (0 — л/ (°) =

еш -

1

W,+l(ik)0(dk) + h

AXt

•Я—

ф (л >-

а

По лемме

15.3

(15.71)

оо

І

еш — 1

W i + l (iX)(b(dX) =

J

[ e ilsW l + l ( i X ) 0 ( d X ) d s =

Ік

0 — со

t

=

J

Л/-м («)**,

(15.72)

а по лемме 15.1

процесс

Wt =

ем

-

1 Ф (dX)

(15.73)

Ік

(15.73)

для t >

s получаем

t

Л/ (0 -

Л/ («) =

J Л/+1 (“) du + ßy [Wt — Ws],

І =

я — 1»

§ S]

ОЦЕНИВАНИЕ с т а ц и о н а р н ы х

п р о ц е с с о в

597

что

символически

было условлено

записывать в таком виде-

d^(t) =

ni+id t i - ^ d W t.

Аналогичным

образом

устанавливается и последнее уравне­

ние в системе (15.64).

некоррелированность величин ц, (0) и Wt

Проверим

теперь

для

0 и

/ = 1 ,

. . . , я.

Для

этого

запишем систему

(15.64)

в матричной

форме

с матрицами

dr\t — Arp dt -j- В dWt

(15.74)

0

1

0 ...

°

\

0

0

1

. . .

\

А =

В =

1

«о — а,

(\

а ßn

J

— ап- і /

Заметим, что система уравнений

(15.74) остается справедли­

вой

и для t ^ T

(Т <

0),

если вместо Wt рассматривать вине-

ровский

процесс в широком

смысле

W t {T) =

е ш __е іКТ

Ф (dX),

(15.75)

а

т. е.

Ло= Лг+ J

оA4

adu + BWÜ(T).

т

Но

М^Ц70(7) =

0

(с м . в

лемме

15.1

равенство

Парсеваля).

Значит,

M fjo^ =

Mr\TWt +

JоAMf\uWtdu. Решая это уравнение

т

(относительно Mfjr lF„

Т ^ 0 ),

находим что

Mr\0Wt = e - ATU^TWt.

(15.76)

Собственные числа матрицы А лежат в левой полупло­

скости, а элементы вектора

Mr\TWt ограничены

величинами,

не зависящими от Т.

Поэтому

lim

М'й01і7/ =

0.

Для

завершения

г->-°о

осталось

лишь показать,

доказательства

моментов

0).

что

Мгр = 0. Далее,

в соответствии

Из (15.56) вытекает,

с теоремой

15.1 матрица

=

Mrjff)^ является

решением диф­

ференциального уравнения

Г, = АГ, +

іуі* + БД*.

(15.77)

598

ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ.

IS

Опять

же

из представления (15.56) видно, что матрицы

Г,

не

зависят

от t.

Обозначим Г =

Г,. Тогда

матрица

Г удовлетво­

ряет системе

алгебраических уравнений

АГ + ГЛ* 4" ВВ* =

0.

(15.78)

Используя

уравнение (15.77)

и тот факт, что

собственные

казать, что решение системы (15.78) единственно

и задается

формулой

о

Г =

-_оо

e - AuBB*e~A,udu.

(15.79)

Наконец, из (15.74)

следует,

что

матрица Г (t,

s) = Мргг|’

задается

формулой

J

I q A { t —

s) р

j

£

Г(' . s)= \ Гел*

а »

і.

(15-80)

Этим

показано, что

процесс

тр, f^ O ,

является

стационар­

ным в широком смысле.

роком смысле процесс ѵ<=

(Ѳ/, £<) = [(Ѳ,(0, •••,

Ѳ* (/)), (!,(/), •••

. . . , і/ (/))],

— oo <

t < °o,

допускающий

спектральное предста­

вление

yt = \

eiUW{iX)A>(dX),

(15.81)

—oo

где W (z)— матрица размерности (k + /) X п с элементами

Wrq(z) =

P{n*-i(z)/Q™(z),

(15.82)

где

(z) и Qnfq(z) — многочлены степени

nrq — 1 и nrq со­

ответственно, причем коэффициент при гПгя

у

Qnfq (z)

равен

единице, а корни

уравнения Q(nr^(z) =

0 лежат в левой

полу­

плоскости.

Мера

Ф (dh) — (Ф! (dk), . . . ,

Фn(dX))

является

век­