Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 21

а с и м п т о т и ч е с к и е с в о й с т в а ф и л ь т р а

617

Ь =

[(ЬоЬ) — (Ь° В) (В о ß)“1(b о ß)*]1/2,

(16.43)

ß =

[ßoß]1/2,

Л = Л„

уравнение (16.42)

можно переписать в несколько более удобном

виде:

аУі + Y<о* +

(16.44)

Уі =

ЬЬ* — y tA*{BB*)~l A y t.

Т е о р е м а

16.2.

Пусть

рассматривается

система (16.45),

для которой выполнены следующие условия:

(I) ранг блочной матрицы

/ А

\

G\ —

Аа

(16.46)

Aak~l

размерности

{kl X k)

равен k\

(II) ранг блочной

матрицы

G2 = (b

ab . ,.

ak~lb)

(16.47)

размерности {k X Ik) равен k\

(III) матрица B B *

не вырождена.

Тогда для

у. =

М (Ѳ, — m t) ф, — m tY существует lim у ( = у.

у

<-»оо

Этот предел

не

зависит от начального значения у0 и является

618

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

единственным (в классе положительно определенных матриц)

решением

уравнения

ау + Уа*+

bb* — у А* (В 'В )~ 1Ау =

0.

(16.48)

Доказательству этой теоремы предпошлем ряд вспомога­

тельных утверждений.

А — матрицы

3.

(k

Л е м м а

16.2.

Пусть

D

и

размерностей

(I X k),

X k).

Образуем

блочную

матрицу

(порядка (nl X k))

( D

VDA'1"'

т

Тогда

матрицы

D*nDn

и

[ e~AHD*De~At dt,

0 < Г < о о ,

одно-

о

временно либо вырождены, либо невырождены.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

лемме 14.4 матрицы

D*nD n

и D \D k ,

n ^ k ,

одновременно

или

вырождены

или невыро­

ждены.

Если матрица D \D k

вырождена, то по этой же лемме

найдется ненулевой вектор x =

( x t ,

. . . ,

х п) такой,

что D A ’ x

— Q,

} — 0, 1, .. .,

k,

k

+

1, .. .

Но тогда

D e - ^ x = \ ( . f (Е>АД) = 0,

и,

следовательно,

т

X

J e - ^ D ' D e - v

d t x = 0,

(16.49)

0

г

что и

доказывает вырожденность

матрицы

|

e~A*tD’,De~At dt.

Наоборот,

пусть

выполнено

(16.49).

0

очевидно,

Тогда,

x ' e - ^ D ' D e - M х =

0,

0 < / < 7 \

Поэтому

De~Atx = 0

(16.50)

и (после дифференцирования по t)

D Ае~АІ X =

0,

(16.51)

DAk~^e~st =

0.

Из

(16.50)

и

(16.51)

при

f = 0

вытекает,

что

DAjx = 0,

/ =

0, ... ,

k — l,

что эквивалентно

равенству

x'DIDkX — 0.

Лемма доказана.

§2J

Ас и м п т о т и ч е с к и е с в о й с т в а ф и л ь т р а

619

Сле д с т в и е .

Пусть

D k =

(D

/S.D ...

Аk~ l D ) — блочная

ма­

трица

порядка (k X kl),

где

D

и

А — матрицы размерностей

т

(k X I)

и

( k y , k ) .

Тогда

матрицы

ЪкЪ\

и

\ e~htDDte - h'’t dt

ö

одновременно либо вырождены, либо не вырождены.

Л е м м а

16.3.

Если матрица

G2

имеет ранг k, то при t > О

матрицы

y t,

определяемые

из

уравнения

(16.44), являются

положительно определенными.

y t является матрицей

ко­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Матрица

вариаций

условно-гауссовского

распределения

трица G2G2

(rang G2 = k).

Лемма доказана.

Л е м м а

16.4. Если

ранг матрицы G{ равен k, то элементы

всех матриц у ( равномерно ограничены.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим вспомогательную задачу

dx

A*ut, х0 = х,

(16.53)

— a*xt +

с функционалом

т

V (и;

Т) — х"Гу0хт+

С[x]bb*xt + и)ВВ*и^ dt.

о

Управления ut,

выбираются из класса допустимых

(см предыдущий параграф).

ü t = — (ВВ*)~' Аут-tXf,

(16.54)

где

xt— решение уравнения (16.53) с ut = ü t , 0

Г. При

этом

V (Гг, Т) = х*утх. Поскольку элементы матриц y t

являются

точно показать, что равномерно ограничены все

элементы

матриц ут при Т >

1.

ß,

матрица

GJGi не вырождена, и по

Поскольку rangG1=

лемме 16.2

не вырождена матрица

1

0

e - aHA*Ae-atdt.

Возьмем теперь

специальное управление

J

— Ае~аЧ f е - ^ Л ’А е - 03 | х,

0 < Н < 1 ,

üt — '

\о

0,

/

t >

1,

и пусть £( — решение уравнения

(16.53) с

ut =

üt. Решая это

уравнение,

находим,

что

£t = 0,

Ѵ ^ \ .

Но тогда

в

силу

опти­

мальности управления üt,

O ^ t ^ T ,

Т >

1,

1

х*утх ^ . I \%tbb*%t +

utBB*üt]dt

< оо,

о

что и доказывает лемму.

с у°==

Л е м м а

16.5. Пусть

y°t — решение уравнений (16.44)

= у0 = 0 и

rangG, =

/j.

Тогда существует

lim y°t

и

у0 —

limy?

/- » о о

/- » о о

ауо + у0а*+

ьь* _ ѵоЛ* (ßß*)'1Луо =

0.

(16.55)

Если к тому же rang G2 — k,

то у0 является

положительно

определенной матрицей.

В силу

предположения

rang G{ — k

Д о к а з а т е л ь с т в о .

из предыдущей леммы следует, что элементы всех

матриц у\,

t ^ O , равномерно ограничены.