Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 351

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3] ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ 627

Будем предполагать, что сообщение

£ = (£,),

0 <

^ 7 \

на вы­

ходе канала задается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlt = Ѳ“ dt +

d W t,

 

£o == 0,

 

 

где W =

(Wt),

0, — виперовский

процесс,

не зависящий от

процесса

Ѳа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно теореме 15.2 процесс Ѳ? имеет дифференциал

 

 

dOf = -

аѲ? dt +

]/2ÖP~ dzt,

 

 

где z = (Zf), t ^ s 0, — винеровский

процесс,

не зависящий от W.

Положим /п ?= М(Ѳ" |# І),

y“ = М (Ѳ? — niff .

По

теореме 10.1

dm* =

— am“ dt + y“ (d£,t — in* dt),

 

m* = 0,

(16.78)

 

Y“ == — 2ау” + 2aP — (y“)2>

 

 

Yo =

p-

 

 

 

 

Из (16.78) и

гауссовости

процесса Ѳа

следует

выполнимость

предположений теоремы 16.3,

и, значит,

 

 

 

 

1т(Ѳа, і) = у

- г

т

 

 

 

 

 

 

 

 

См (ѳ?)2d t -

\

м Ы ) 2 dt

 

 

 

 

 

1 о

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р7

—

-

M ( tn ff dt.

(16.79)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Покажем, что

а^оо

 

 

4 =

0.J

 

 

 

(16.80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t, Г ] )

c

W t = l t -

[ mas ds

является

винеровским. Следовательно,

 

 

 

 

 

откуда

 

dm*t = — am*t dt +

y“ dW t,

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m f = e~a< J easy“

о

и по свойствам стохастических интегралов получаем

t

t

 

М (rnf)2= I е ~2а(/_^^y“)2 ds ^

I e~2a{t s)P2ds =

 

 

= P2

-2a«

 

(16.81)

2 a

628 ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 16

поскольку ѵ“ =

М(Ѳ“ — m?)2< М(Ѳ?)2 =

Р. Из (16.81) вытекает

требуемое соотношение (16.80).

 

Итак, доказана

условия теоремы 16.3.

Т е о р е м а

16.4. Пусть выполнены

Тогда пропускная способность С канала с обратной связью совпадает с пропускной способностью С0 канала без обратной связи и

с= с„=4-

§4. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссовского сигнала

по каналу с бесшумной обратной связью

1. Развитая в предшествующих главах теория оптимальной нелинейной фильтрации условно-гауссовских процессов дает возможность найти оптимальный метод передачи гауссовских

процессов по

каналам с

аддитивным

«белым»

шумом

при

использовании

мгновенной

бесшумной

обратной

связи.

 

Предположим сначала, что сообщение, которое требуется пе­

редать, есть

гауссовская

случайная

величина

Ѳ с МѲ = m,

D0 = y >O, причем параметры пг и у известны

как на

пере­

дающем, так и на приемном

концах.

 

выходе

«пе­

Сигналы I — (gf), 0

^

Г, принимаемые на

редающего устройства», предполагаются удовлетворяющими

стохастическому дифференциальному уравнению

 

d l t =

A(t, B, l) dt + dWt,

£о = 0,

(16.82)

где W = (Wt), 0 ^ t ^

Т, — винеровский

процесс, не

зависящий

от Ѳ. Неупреждающий функционал A = (A(t, Ѳ, £)),

 

задает кодирование и предполагается таким, что уравнение

(16.82)

имеет, и притом единственное, сильное решение с

 

Р J Л2(5, Ѳ, l ) d s < оо

1.

 

Будем

считать также, что на функционалы А — (А (t , Ѳ, £)),

 

ограничение:

 

 

 

7\ наложеноj~ jоt МЛ2 (s, Ѳ, £ ) d s <JP,—

(16-83)

где Р — заданная константа. (Кодирования, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, будем называть допустимыми.)

В каждый момент времени t по принятому сигналу £* —

= {is» можно построить «сообщение на выходе» ѳД§).

§ 4]

 

 

ОПТИМАЛЬНОЕ

КОДИРОВАНИЕ И

ДЕКОДИРОВАНИЕ

 

629

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задающий декодирование

неупреждающий

функционал

§ =

— (Ѳ*(£))>

0 < / < 7 \

должен

выбираться,

 

естественно,

так,

чтобы оптимальным в некотором смысле

образом

«воспроизво­

дить» сообщение Ѳ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А(0 =

inf М[Ѳ — ѳПІ)]2,

0 < / < 7 \

 

 

 

где

inf

 

берется

по

всем

 

допустимым

кодированиям

А =

= (A (s,

Ѳ, ^)), s^> 0, и

декодированиям

§, (|).

Задача

состоит

в том,

чтобы найти оптимальные кодирование,

декодирование

(конечно, если таковые существуют) и минимальную ошибку

воспроизведения

А (t)

сообщения

Ѳ за

передачу в

течение

времени t.

 

заданном

кодировании)

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку (при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [Ѳ -Ш )]2>М [Ѳ -тН Ю 12,

 

 

 

 

где

m t =

М (Ѳ | £Г|),

то ясно,

что А (t) =

inf М [Ѳ — m tf

и

опти­

мальное декодирование (по

сигналам

 

 

есть

 

апостериорное

среднее

 

m t = М (Ѳ |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, исходная задача сводится к задаче отыскания

лишь

оптимального кодирования.

 

подкласс

допустимых

кодирующих

 

2.

 

Рассмотрим сначала

функций А (t, Ѳ, £),

линейно

зависящих от Ѳ:

 

 

 

 

 

 

 

 

Л М ,|) =

Л0(М) + Л,(М)Ѳ,

 

 

(16.84)

где

Л0 =

(Л0 (*,£)),

Л, = (Л, (t,

I)),

 

 

Т,

— неупреждающие

функционалы. Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А* ( 9 =

inf М [Ѳ — mt\2

 

 

 

(16.85)

 

 

 

 

 

 

Mo. j4i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и найдем величину А* (9 и оптимальные кодирующие функции

(Ло, А*),

на которых достигается inf в (16.85).

 

 

£ = (£*)>

 

Пусть некоторое

кодирование

(Л0,

Л])

выбрано и

 

 

 

— процесс, удовлетворяющий

уравнению

 

 

 

 

 

d\t =

[Ао (t, I) + Ay (t, I) m

+

d W t, h

=

0.

(16.86)

 

Тогда

согласно

теореме

12.1

яг, =

М (Ѳ |^|)

и yt — M [(Ѳ —

— m ty \@~}\ удовлетворяют уравнениям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dm, = у. Ay (t, £) [dt, -

(Л0 (t, £) +

Л, {t, l) mt) d t ],

(16.87)

(16.88)

630

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

 

 

с щ — т, Yo = У-

Уравнение (16.88) имеет решение (теорема 12.2)

 

Y/ =

 

 

V________

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

У

Л 2 (s. I )

ds

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

причем видно, что Р (

inf

Ys>0)J=

1-Поэтому из (16.88) получаем

 

 

^ = - Y ^ ( M ) ,

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln yt

-

ln Y =

о

 

ysA 2

(s, l) ds,

 

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yf =

Y exp

—

ys А 2(s, |) ds

 

 

(16.89)

 

—J

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М[Л0(£,£)+Л1(^,|)Ѳ]2=Мj{[ЛJ0(/,!)+/п <Ai(t,j|)]+[.

Ѳ—tnt] Л( (f,£)}2=

= M {Л0 (i, l)

+

Л1(t, l) m tf + MYt л 2 (t, |),

(16.90)

то в силу ограничения (16.83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

My^

i (s, |)r fs<

Pt.

 

 

(16.91)

Поэтому в силу

неравенства

йенсена

(Ме_11^ е

_Мг>),

(16.89)

и (16.91)

Муjt > y e ~ pt,

 

0 < / < 7 \

 

 

(16.92)

Итак, для заданного

кодирования (Л0, А {)

 

 

 

 

U { Q - m tY = M y t > 4 e - pt,

 

 

(16.93)

и, следовательно (см.

(16.85)),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A * ( t ) ^ y e ~ pt.

 

 

 

(16.94)

Для оптимального кодирования (Ло, Л*) неравенства в (16.91)

и (16.92) должны превратиться в

 

равенства.

Это

произойдет,

если взять

 

лт (0 = 1/ ^

 

 

 

 

 

 

 

 

е р</2>

 

 

(16.95)

поскольку тогда соответствующее уt (см. (16.88)) будет в точ­ ности равно ye~pt.

Смотрите также файлы