Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

622

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

 

Значит, по лемме 16.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

О^ хту°хт = х*у°х — I [xtbb'xt + mBB*üt] dt ^

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<1 ху°х — I [xtbb*xt +

ü\BB*üt] dt =

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= лг’ [ѵ0 — у Ц х - > 0 ,

Г-> оо,

(16.58)

где üt — оптимальное управление,

определенное

в (16.54).

Из (16.58) вытекает также, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.59)

Далее,

пусть у0 — произвольная

неотрицательно

определенная

матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хтУоХт +

J {xtbb*xt +

ÜtBB*üt] dt >

 

 

 

 

 

 

о

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х*утх = х*ту 0хт+

J* [xtbb*xt + ü*tBB*üt\ dt Дз

 

 

т

 

 

о

т

 

 

 

 

>

J [xtbb'xt + utBB'üt] dt >

J[x*tbb*xt + йІВВ'йі] dt =

х*у°гх,

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

(16.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где üt =

— (ВВ*)~] Ayf)T_ tx v

а x t — решение

уравнения

(16.53)

с щ = й(. Из этих неравенств и

(16.59) следует,

что

 

Но согласно (16.57) lim x' упхг= 0 ,

а lim x*y%x=x*yQ (лемма 16.5).

 

 

Т

оо

 

 

Т

ОО

 

 

 

Поэтому существует lim х*утх (=

х*ух),

 

 

 

 

 

 

Г -> оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim **Yr* =

х*у°х,.

 

 

 

 

 

 

Т -> OQ

 

 

 

 

 

 

 

и у = lim Yr =

Y°-

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предельная

матрица y =

Hm Yr не зависит от значения Yo

Г-> ОО

иудовлетворяет в силу (16.55) уравнению (16.48).

\

§ 3]

ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ

623

Единственность решения этого уравнения (в классе поло­

жительно определенных

матриц) доказывается, как и в тео­

реме 14.3.

 

 

З а ме ч а н и е . Если

собственные числа матрицы а лежат

в левой полуплоскости,

то можно отказаться от предположе­

ния (I) теоремы 16.2, поскольку тогда Sp y t < Sp М Ѳ*Ѳ< < оо,

0.

§ 3. Вычисление взаимной информации и пропускной

 

способности гауссовского канала с обратной связью

 

1. Пусть (Q, ОТ, Р) — некоторое вероятностное пространство,

0

— система неубывающих о-подалгебр £Г. Пусть

Ѳ= (Ѳ,,

@~f), 0 ^ - t ^ T , — некоторое «посылаемое сообщение»,

которое

надо передать по каналу с гауссовским «белым»

шу­

мом. Чтобы это описание сделать точным, предположим, что

задан

винеровский

процесс W = (Wt,

&~t),

не

зависящий от

процесса Ѳ= (Ѳ„ @~t),

 

Если

«принятое сообщение»

! =

 

&~t)

имеет вид

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

‘d l t =

at (Q)dt + dW t,

|о =

0.

(16.61)

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l , =

/ as ( Q ) d s + W t,

 

 

(16.62)

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

то говорят,

что «сообщение» Ѳ послано по

каналу без обрат­

ной

связи

с гауссовским

«белым»

шумом *).

Функционалы

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

as (6),

0 < , s < 7 \ с p j j

I as (Ѳ) \ds <

oo^ — 1

задают кодирова­

ние и предполагаются неупреждающими.

 

 

0

В том же случае, когда «принимаемое сообщение» £=(£„

^

Г, допускает

представление

 

 

 

 

 

 

 

d l t =

at (Q,

l )dt + d W (,

go == 0,

(16.63)

с неупреждающим функционалом а,(Ѳ,

g),

 

 

то говорят, что передача осуществляется по гауссовскому кана­ лу с «белым» шумом при наличии (бесшумной) обратной связи.

Таким образом, в случае бесшумной обратной связи «при­ нятое сообщение» g отсылается обратно и может быть учтено в дальнейшем при передаче «сообщения» Ѳ.

*) В технической литературе вместо записи (16.62) используют ее фор­ мальный аналог | (/) = at (Ѳ) + Wt, называя Wt «белым» гауссовским шумом.

624

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

Пусть (Ѳ, <$ѳ) — измеримое

пространство, которому принад­

лежат

значения сигнала Ѳ=

(Ѳ(), О

^ Г. Через

(Сг, 9èT)

будем обозначать измеримое пространство непрерывных на [О, Т]

функций x — (xt), O ^ t ^ T ,

с х0 =

0. Пусть y w , щ и цѳ,? — меры,

отвечающие процессам W, £ и (Ѳ, £).

 

 

 

 

выбрано,

то

Если некоторое кодирование аДѲ, |),

какая

 

естественно

поставить

вопрос о том,

информация

Іг (Ѳ, £) содержится в «принятом сообщении»

E =

{L.

s

относительно «переданного сообщения» Ѳ=

{Ѳ5,

s ^ ^}.

 

 

По определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІГ<Ѳ-

|) = М1п7 Т ^ х Т Ы (в' 1К

 

 

 

(16-М)

причем полагается

Іт(Ѳ, |) =

оо,

если мера цѲі % не является-

абсолютно непрерывной относительно

меры цѳ X Щ.

 

 

 

Т е о р е м а 16.3.

Пусть

выполнены

следующие

условия-.

 

(I) уравнение

(16.63)

имеет

единственное

сильное

(г. е.

&~t’ w-измеримое

при

каждом

t, О

<1 Г)

решение;

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П)

 

 

 

j

МаДѲ,

l ) d t < оо.

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Іг (Ѳ,

£) =

уМ

 

[аДѲ, l ) - ä ] ( l ) \ d t ,

 

 

(16.65)

где

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аДѲ,

l ) W \ \ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.66)

 

 

аД£) = М[J

 

 

 

 

 

 

 

и

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно сделанным предположениям

леммам 7.6

и

7.7

 

 

7.23

и цѳ, I ‘С Еѳ X Енг-

Поэтому

в

силу замечания

к теореме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ѳ, І)

 

d\Iѳ.і

 

dH

 

 

(16.67)

 

 

 

 

 

[йѳХ [ѵ (Ѳ,

I) / d\i w

il)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но в силу лемм 7.6

и 7.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ѳ, і) =

exp

|М 0 .

Q d l,

 

а?(Ѳ,

І)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.68)

 

dac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.69)

 

i é

®

=

“

P

 

 

 

 

 

 

 

 

\V

о

 

§ 3]

 

ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

И ПРОПУСКНАЯ

СПОСОБНОСТЬ

625

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом

« ,(*)= М к(Ѳ , l ) \ T lt\l = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

Т

 

 

 

т

 

 

 

j Мä ] { l ) d t = \ М [М [at (Ѳ,

 

 

о

Ма*(Ѳ, l) dt < оо.

О

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Из (16.67) — (16.69)

следует,

что

 

 

 

 

' "

Ä

r

(e' 51=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

г

 

ät (g)] d\t

 

 

т

 

 

 

 

J [а/ (Ѳ, £) —

—

~

\а] (Ѳ, g) — ä] (g)] dt =

 

=

Jт о([М б, S) —

Ö, (g)] a t (Ѳ,

g) —оJ1[а«(ѳ,

—

)})dt +

 

 

 

 

+

\ \ a t { S , l ) ~ ä t { l) } d W t.

(16.70)

Отсюда

по свойствам стохастических интегралов

 

 

 

^ѳ, s

 

 

 

 

 

 

 

 

М In d [иѳ X

(Ѳ, !) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

J М И(Ѳ. Ю-2аДѲ,

l ) ä t (l) +

ä ) { l) ] d t -

 

 

 

 

 

М [я,(ѳ» l ) ~

dt--

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I М{М[а,(Ѳ, l ) - ä t { i ) U $ ~ \ } dt -■

 

 

 

 

 

 

- И М \а]{Ъ, l ) - a \ ( l ) ] d t ,

 

(16.71)

что и доказывает теорему.

 

для доказательства

того, что

2.

Используем эту теорему

(при определенных «энергетических» ограничениях) обратная связь не увеличивает пропускной способности,

626 ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 16

По определению для канала с обратной связью пропускная

способность

 

С = sup у - Іг (0, I),

(16.72)

где sup берется по всем сообщениям Ѳ и неупреждающим функционалам {аДѲ, |), О ^ Г}, для которых уравнение (16.63) имеет единственное сильное решение и

г

у - \ МаЦѲ, g ) d / < P

(16.73)

о

 

с константой Р, характеризующей энергетические возможности передающего устройства.

В силу (16.71)

г

 

 

 

 

 

 

М О

 

 

0 < І г (Ѳ, t) = ~ M

J

\а](Ѳ,

 

 

 

i ) - ä ] ( l ) ] d t ^

 

 

О

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ja*(0,

| ) d f < - ^ - .

(16.74)

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

С < ~ .

 

(16.75)

Покажем теперь,

что для канала без обратной связи

 

С0 = sup-Т 1^(0, 1) =

4 -

(16.76)

где sup берется

по

всем

сообщениям

Ѳ и неупреждающим

функционалам аДѲ),

0 < / < 7 ,

для которых

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Т [ Ма*(Ѳ)Л< Р.

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку С > С 0,

то

из

(16.75) и (16.76) будет

следовать,

что обратная

связь

не

увеличивает

пропускнойспособности:

 

 

 

С = С0 = Т-.

 

 

 

 

(16.77)

С этой целью рассмотрим следующий

 

 

 

 

Пр и м е р

1. Пусть а, {х) =

т, иѲа =

(Ѳ?), О<

t <

Т,

является

гауссовским

стационарным

процессом

с

МѲ“ =

0

и

корреля­

ционной функцией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К (t,

s) —

Р exp { — a \t — t\).

 

 

 

Смотрите также файлы