Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 198

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

672

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

[ГЛ. 17

§ 6. Последовательное различение двух

простых

гипотез

 

 

для процессов

Ито

 

 

 

1. Пусть на вероятностном пространстве (П,

,

Р) заданы

неубывающее семейство сг-алгебр $Ft,

О, $F

, винеровский

процесс W = (W(,

t) и (ненаблюдаемый)

независящий от W

процесс Ѳ=

(Qt, 3Tt),

0. Относительно наблюдаемого процесса

| = (^,£Г,),

0, имеются гипотезы

 

 

 

 

 

Я 0:

d\t—dWt,

 

 

io ==

0 ,

 

 

Я ,:

d i , =

0 t A

+

dH7/f go =

0 .

 

Иначе говоря, если

процесс Ѳ трактуется

как «сигнал», а ви­

неровский

процесс как «шум»,

то

рассматриваемая

задача со­

стоит в различении двух гипотез относительно присутствия (ги­ потеза Н х) или отсутствия (гипотеза Н 0) сигнала Ѳ по резуль­

татам наблюдений за процессом Будем рассматривать последовательные планы А — Д(т, б)

различения гипотез, характеризуемые моментом прекращения наблюдений т и функцией заключительного решения б. Пред­

полагается,

что т — %(х)

является марковским моментом (от­

носительно системы <%і =

о {х:

xs,

s ^ t ) , где x —

(xt),

0 ,—

непрерывные

функции с

х0 =

0),

а функция б =

б(х)

^ -и з­

мерима и принимает два значения: 0 и 1. Решение б(х) = 0 будет отождествляться с решением о принятии (справедли­ вости) гипотезы Н 0. Если же ö(х) = 1, то будет приниматься

гипотеза Н\.

б) свяжем величины*)

С каждым планом А = А(т,

а (Д) - Р, (б (I) = 0),

ß (А) = Р0 {6 (£) = 1},

называемые вероятностями ошибок первого и второго рода.

Хорошо известно **), что для

случая

Ѳг =

с=^0

в классе

Да, ß

последовательных планов Д = Д(т,

6)

с а (Д) <1 а,

ß (Д)

ß

(а и

ß — заданные константы,

a +

ß <

1)

и М0т ( £ ) <° о ,

МjT(£) <

оо существует план Д =

Д(т,'б),

оптимальный в

том

смысле,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

М0т < М 0т,

М, т<М, т

 

(17.111)

для любого другого плана А = А (т,б) <= Да, р.

Оказывается, что в определенном смысле этот результат может быть распространен и на более общий класс случайных процессов Ѳ= (Ѳ„ STt), t ^ 0.

*) Pj обозначает распределение вероятностей для случая, когда рас­ сматриваемый процесс £ удовлетворяет гипотезе і = 0, 1. Через Mj бу­ дет обозначаться соответствующее усреднение.

**) См., например, § 2- гл. 4 в [169J.

§ 6]

 

 

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

 

 

673

=

Будем

предполагать,

что

рассматриваемый

процесс

Ѳ

(0,, SFt), t~^ 0, удовлетворяет условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М |Ѳ<I <

оо, / <

оо,

 

 

 

(17.112)

 

P i I J m 2t ( l ) d t =

 

оо j = Р0 I J m 2t { l ) d t =

о о j =

1,

( 1 7 . 1 1 3 )

где функционал m t ( x ) ,

 

0 ,

таков, что

 

при почти всех t ^ О

 

 

 

 

т Ш = М,(Ѳ, |^ f)

Р-п.н.

 

 

 

=

Через Да, р обозначим

класс

последовательных

планов

Д =

А (т, б)

с а (А) ^

а,

ß (А) ^ ß,

где а -f ß < 1, и

 

 

 

 

 

 

 

Т (?)

 

 

 

 

 

 

т (?)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М 0

1

 

 

 

 

 

 

М ! J

m ) ( \ ) d t < o o .

(17.114)

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

17.8. Пусть выполнены условия (17.112), (17.113).

Тогда

в

классе Да, р

 

существует план А = А (т,

б),

оптималь­

ный в том смысле,

что для любого другого плана А =

А (т, б) е

е

ß

 

 

 

 

г (?)

 

 

 

т (?)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М0 I

 

пг\

(£) dt <

М0 [

т ]

 

(£) dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

(17.115)

 

 

 

 

 

 

Т<?)

 

 

 

Т(?)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М , J

 

 

 

 

m \ { l ) d t .

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

План

А =

А (т, 6)

определяется соотношениями

 

 

 

 

 

 

 

 

т (І) = inf{t:

 

 

 

В ) } ,

 

(17.116)

 

 

 

 

 

ö

(I)

 

,1 ,

 

 

 

 

 

 

(17.117)

 

 

 

 

 

 

0,

 

^t(l) ^

A,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I) =

 

 

 

у

m*(|) rfs,

ЛIn=

 

 

 

 

h

Jm g (I) d l8-

J

1 - ß

ß =

ln-

§

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

этом

 

 

 

t

( ? )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 j

m) (g) dt = 2cü (ß,

а),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

(17.118)^

 

 

 

 

 

 

 

t(?t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М, J

(I) Л — 2ю (а,

ß),;

 

 

 

674 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

где

ю ( * .

«/)

=

( !

— х)\п - 5 - ^

+ х\п j é

~

y -

( 1 7 . 1 1 9 )

Доказательству теоремы предпошлем ряд вспомогательных

утверждений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Л е м м а 17.7.

Для

плана Д =

Д(т, б)

 

 

 

 

Ро(т (І) <

°о) =

 

Рі (т (I) <

оо) =

1.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

 

случае

гипотезы

Н 0

l t — Wt и

Ро (т (I) < оо) = Р (т (W) <

оо).

Положим

 

 

 

 

 

 

x(W)Ainf 1

J

т \

{W) d s

x (W) A an (W)

 

а п (W)

=

1:

 

 

> n

j .

 

 

Tогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an (W)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx(w)A<Jn (w) (W) =

 

J*

m t { W ) d W t — Y

 

J

m 2t (W) dt

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

и A ^ ^ u w )a anm

(И7) ^ В. Следовательно,

 

 

 

 

x(W)Ao„m

 

 

 

 

 

 

f (W) A о

(W)

 

 

 

 

A <

mt (W )dW t -

 

j

M

 

m l {W) ds ^ B.

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? m

a an m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

Jß <

m s2 (W )d s ^ 2 ( B —

A)

<

oo,

(17.120)

поскольку 0 < a +

1,

и, значит, В — Л=1п

 

•а

1-Рß J< оо.

Из (17.120) и (17.113) получаем, что

 

 

 

 

 

 

t(W)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М |

 

m2s ( W ) d s ^ 2 ( B

— А) <

оо.

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М J

m2s (W) ds >

MX{fW=TO} f

m l ( Г )

ds,

 

то в силу предположения (17.113) Р (т {W) < оо) = 1.

§ 6]

 

п о с л е д о в а т е л ь н о е р а з л и ч е н и е г и п о т е з

675

Аналогично доказывается и равенство Рі(т(|) < оо) = 1. Для

этого

полезно заметить, что согласно теореме 7.12

процесс

t > 0 ,

с дифференциалом (17.110) допускает также дифференциал

 

 

d l t = m , ( l ) d t +

d W t

(17.121)

с некоторым винеровским процессом

W = {Wt, Т \),

Сле­

довательно,

в случае гипотезы Я,

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

MÉ) = J ms{i)d W s + ^

\

t r ia d s .

(17.122)

 

 

о

 

о

 

С л е д с т в и е . Случайная величина

Äf(g)(£) принимает (Р0-

и Р,-п. н.) лишь два значения: А или В.

 

 

Л е мм а

17.8. Для плана А = А (т, б), определенного в (17.116),

(17.117), а (А) = а, ß(Â) = ß.

До к а з а т е л ь с т в о . Поскольку

а(А) = Р, {6 (I) = 0} = Р, {Я* (6) Ц) = А}

и

ß (А) =

Ро {б (I) == 1} = Ро {Ят (Б) (І) =

В},

то для доказательства леммы надо установить, что

Рі {Я%(|> (£) —

А} = а,

Ро =

(Ят(I, (I) =

В} = ß, (17.123)

где

 

 

In- 1 — а

(17.124)

А =

In­

fi =

 

 

 

ß

 

Для этого рассмотрим решения а(х), Ь(х),

А ^ . х ^ . В , диф­

ференциальных уравнений

 

 

 

Ясно, что

 

а (х)

— еА (ев ~х

 

 

 

ев — еА

и в силу (17.124)

и (0) =

а,

 

 

Покажем,

что

Рі {Ящу (£) —

т„(|) = inf 11:

J m2s{ l ) d s ^ n

j.

а (В) — 0,

(17.125)

Ь ( В )= 1.

(17.126)

лх

„А

 

е

— е

(17.127)

Ь(х)

 

ев - е А

 

b (0) = ß.

 

(17.128)

А} = а. Для этого обозначим

Тогда, учитывая (17.122) и

б76 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

(17.125),

по

формуле

Ито,

примененной к

 

а(Я,(|)),

находим

 

 

 

 

 

И1)Л0п (Ъ)

 

 

 

 

а (Яг(5) Д оп (I)) — а (0) +

 

J

а' (Я* (£)) m t (ЮdW , ~f-

 

 

 

 

t (DAап (1)

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Y }

 

[«' (h

(S)) +

(І))1 т 1 (l) dt —

 

 

 

 

о

 

 

 

 

? (D A on (D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=--«+

оJ

a'(X t m m

t {l)d W t.

Hot(DAo„(D

 

 

 

 

 

T (D A an (D

 

M,

f

[ а ' ( Я ( ( | ) )

М Ю Р ^ < sup

[а'(х)]2М,

 

f

 

 

J

 

 

 

 

 

A<x<B

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup [a ' (x)]2 < oo.

Поэтому

 

 

 

 

 

 

A<x<ß

 

 

« (D A on (D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M,

/

 

а Д Я Д ^тД Ю а 'І^ О ,

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

и,

следовательно,

беря

в

(17.129)

математическое ожидание

МД-), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M iß

(Яг <|)Ла„ (?) (Ю) = а.

 

 

 

 

Функция

а(х)

при

H ^ x s ^ ß ограничена

и lim сг„(£) = оа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П~>оо

 

(Р-п. н.). Поэтому по теореме о мажорируемой сходимости (те­

орема

1.4)

Ма (Лг(і) (I)) =

а.

Используя

лемму

17.7

и ее след­

ствие, находим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а ^ М ^ Я г Ц ) ® ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 • Р>

(D (S) = А} +

0 • Р (Я, (|) (£) = ß} =

Р х{Яг,1) (I) =

A I

Аналогично

доказывается

и формула

Р0{Яг<£) (g) = ß} =

ß.

Л е мм а

17.9.

Для

плана

Л = Д(т,

б)

справедливы

фор­

мулы (17.118).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим gQ(х), g t (х),

А < х <

В,

решения дифференциальных уравнений

 

 

 

 

 

 

§■ (X) + ( -

1)1+і • £

(х) =

-

2,

g t (Л) -

g t (В)

= 0,

/ =

0,

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.130)

Смотрите также файлы