Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

20

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ.

1

2. Случайные элементы и величины.

Пусть (У, ST) и (Е, 38) —

два измеримых пространства.

Функция

g = g(co), определенная

на (У, /Г) со значениями в

Е, называется 9~/^-измеримой,

Говорят,

что

две случайные величины % и ц совпадают

с вероятностью 1,

или почти наверное (п. н.),

если Р (g == rj) == 1.

В этом случае пишут:

£ = гі(Р-п. и.). Аналогично,

запись \ ^ г \

(Р-п. н.) означает,

что

Р ( |^ т і ) = 1 .

Запись

g =

T] (А; Р-п. н.)

применяется

для

обозначения того,

что g =

r| почти наверное

Для краткости слова

«Р-п. н.»

в дальнейшем

часто будут

опускаться.

3. Математическое

ожидание.

Пусть (У, 9~,

Р) — вероят­

ностное пространство

и

g = g(cö)— неотрицательная случайная

интеграл Лебега*)

J |(со)Р(с/со), по определению равный

Q

' п- 2П

lim 2 i - 2 reP { t - 2 - n <

| < ( / + 1)2-"} + п Р { |> п }

,

оо I t=s*о

J

где {г • 2~п < g ^ ( г + 1)2~п}

обозначает множество точек ш е й ,

для которых г-2

" < g(o>) <Дг + 1) • 2~п.

Аналогично

опреде­

ляется

множество

(I > п).

В

силу предположения g(co)lX),

сое У,

интеграл J

g(co)P(c/co)

определен,

хотя, быть

может,

у

22

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. 1

Пусть на измеримом пространстве (Q,

заданы две вероят­

ностные меры Р и Q. Говорят, что

мера

Р

абсолютно непре­

рывна относительно меры Q (Р <С Q),

если

Р(Л) =

0 для вся­

кого ^ e f ,

для которого О(Л) = 0.

Если Р <

Q, тогда

Т е о р е м а

Р а д о н а — Н и к о д и м а .

стохастической

эквивалентности (г. е.

если также Р(Л) —

= I" Г|(cd) Q(öfco),

Л ё ^ , то I — ц (Q-п.

н.)

меры (Р) по другой (Q) или производной

Радона — Никодима.

В связи

с этим определением используют обозначение |(ш) =

dP

= -^ q (co). По теореме Радона — Никодима, при условии P < Q ,

dP

плотность -^q- всегда существует.

Если

g (со) = Ха (®)—характеристическая

функция множества

Л е

(иначе — индикатор множества Л),

то М(%л (со)|3?) обо­

Р ( Л | ^ )

определяется

однозначно с точностью до множеств

P -меры нуль (зависящих, быть может, от Л).

Функция Р(Л, со), Л е ^ ,

w e Q , удовлетворяющая условиям:’

1)

при каждом фиксированном со она является вероятностной

мерой

на

множествах

Л ё

^ ,

2)

для

каждого Л ё

J

она является ^-измеримой,

3)

с вероятностью 1 для каждого Л ё J

Р(Л,

0>) = Р(Л 13),

24

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. I

Будем писать

t

I

или

Іп \ 1 (Р-п.

н.), если

^-н> £ (Р-п. н.)

и Ѣп^іп+і (Р-п. н.)

для всех п — 1,

2, ...

Аналогично

опре­

деляется и сходимость Іп

Говорят также,

что

на мно­

жестве y l s f , если

Р(АП(^п7 4 |)) =

0.

| n, п = 1,

2, . . . ,

Последовательность

случайных величин

чается: £=-l.i.m .L),

если М§2 < оо,

М |2 < оо и МІ£ — S,I2 —>О,

П-*оо

У

'

П - > о о .

величин

п = 1 ,

2, . . . ,

Последовательность случайных

с М 11„ I < оо называется слабо сходящейся к

случайной

вели­

чине £ с М Ш <

если для любой ограниченной случайной

величины г) — г)(©)

lim М£„г|= М£г|.

П->ОС

используемые

в дальнейшем.

сходимости).

Пусть а-алгебра

Т е о р е м а

1.1 (о монотонной

3 £ £Г.

Если %п f £(Р-п. н.) и М|~ <

оо,

то М (ln \3) t

М (£ \3) (Р-п.

н.).

Е сли\п I |(Р-п. н.) и

<

оо,

то

М (I l^) (Р-п.

н.).

Для формулировки других критериев необходимо ввести

понятие равномерной

интегрируемости.

Семейство

случайных

величин {£а, а <= 1} называется равно­

мерно интегрируемым, если

lim

sup

J

Ua|rfP = 0.

(1.1)

Х - > оо

а <=91

( И а | > Д

Условие (1.1) эквивалентно следующим двум условиям:

s u p M | | a ) <oo

и

lim

sup

I la I dP = 0, A ^ S E .

a

Р (Л )-» 0

a

д

М (lim sup ln \3) >l i m sup M ( | \3)

(Р-п. н.),

(1.2)

П

П

ti

n m

__ *)

Для верхнего предела limпsup

используется также

обозначение

Пт 4л-

Соответственно нижний предел

lim inf %п обозначается

lim

«

п

~