Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

сти (гармоники Флоке). При выборе одного вида функций в каче­ стве базисных, а другого — в качестве весовых элементы матрицы получаются более сложными, чем при использовании только одно­ го вида функций. Однако, если стенки волноводов бесконечно тон­ кие, выбор смешанного базиса может привести к значительному упрощению элементов матрицы, так как апертура волновода теперь занимает почти всю площадь единичной ячейки. Более того, функ­ циональная форма элементов матрицы такова, что можно получить точное аналитическое решение бесконечной системы линейных уравнений.

Для иллюстрации возьмем решетку, возбуждаемую низшим типом волн ТМ (можно также взять волну ТЕМ) и сканирующую в плоскости Е (случай возбуждения волной ТЕ анализируется аналогично). Интегральное уравнение для электрического поля имеет вид

d/2 °о

j{ 2 i # W ) (W ) +

-c l/2 5=0

oo

Неизвестное электрическое поле можно представить в виде следую­ щего разложения:

Подставляя выражение (54) в уравнение (53) и вычисляя моменты с функциями {XF| (у), q = 0, + 1, ± 2, . . .}, после ряда алгебраи­ ческих преобразований получим (см. гл. 4).

00

прост и зависит только от разности (Г^ — уй). Уравнения такого типа решаются с помощью функционально-теоретического метода, известного под названием метод вычетов. В этом методе вводится интеграл от специальной аналитической функции и затем вычеты

уравнения (1) можно записать в виде

Вопрос о существовании обратного оператора выходит за рамки данной книги. Нахождение обратного оператора является трудной задачей и поэтому для ее решения приходится использовать при­ ближенные методы (например, метод моментов). Кроме приближе­ ния, связанного с усечением бесконечной матрицы в методе мо­ ментов, причиной погрешности могут быть ошибки округления при обращении матрицы на ЭВМ. Однако в настоящее время ошиб­ ки округления можно свести к минимальным. Из-за ошибок, свя­ занных с усечением бесконечной матрицы и больших затрат време­ ни на вычисление обратной матрицы, иногда желательно исполь­ зовать итерационные методы решения линейных уравнений. Пере­ пишем уравнение (1) в виде

где I — единичный оператор. Предположим, что мы нашли приб­ лиженное решение х0. Подставив это решение в правую часть урав­ нения (60), получим новое приближенное решение хг. Мы надеемся, что новое решение дает лучшее приближение к точному решению, чем предыдущее, и что, повторяя процесс, в конце концов придем к точному решению. Такой процесс называется итерационным. Сходимость процесса зависит от свойств оператора М. Достаточ­ ные условия сходимости будут рассмотрены ниже. Предположим что Мх в некотором смысле мало. Тогда этим слагаемым можно пренебречь и рассматривать у как приближение нулевого поряд­ ка, т. е.

Заметим, что нижний индекс обозначает число выполненных ите­ раций. Подставляя выражение (61) в урвнение (60), получим

Таким образом, итерационный процесс порождает решение в виде ряда. Если процесс продолжается бесконечно, получаем беско­ нечный ряд, называемый рядом Неймана. Сразу же возникает вопрос, сходится ли ряд, а если сходится, то действительно ли к точ­ ному решению? В работах [1, 2, 4] показано, что если || М || < 1, || М || — норма оператора М, то итерационный процесс сходится абсолютно. Необходимо подчеркнуть, что это условие является достаточным, но не необходимым. При выполнении этого условия ряд не только сходится к точному решению, но его сходимость