Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

при достаточно большом Р, считая, что при этом получается приблшкенное решение с необходимой точностью. Следуя описанной выше процедуре, выразим хР через x N:

9 = О

где L pn = Kj} (К Р — KjY). Таким образом, используя выражение (68), можно уточнить первоначальное приближенное решение.

Заметим, что при получении выражений (67) и (68) необходимо увеличить размерность (т. е. следует расширить ранг K N), так как приближенное ядро K N обычно имеет меньшую размерность, чем ядра К и К Р. Это можно сделать разными способами. Удобно, например, левую верхнюю подматрицу N X N расширенной мат­ рицы приравнять первоначальной матрице K jY, а затем дополнить ее так, чтобы диагональные элементы были равны диагональным элементам К или К Р, а недиагопальные элементы были равны нулю, т. е.

В результате обращение расширенной матрицы будет не сложнее, чем обращение первоначальной матрицы.

(я)8 = 2 ( - 1 rb%xN. 5=0

Каждый вектор можно представить в форме

(a;)r = {(a:)i, (xf2, (х)\, . . .}.

Интересно отметить, что первая коррекция равна нулю для первых N компонент (а;)1 — (а;)0:

где Aa:jY+1 = (а?)дг+1—(х)%+1 и т. д. Поэтому необходимо суммиро­ вать ряд Неймана, начиная со второго члена, чтобы получить уточнение для первых N компонент приближенного решения.

туре:

СО

решетки типом волны Ф,- (г).

Для перехода от уравнения (22) к системе лииейиьтх алгебраи­ ческих уравнений применим метод моментов с системой базисных

и аг — неизвестные коэффициенты разложения. Заметим, что при получении системы (П.1) введено приближенное выражение для ядра путем обрыва двух рядов прп значениях N и М. Это экви­ валентно использованию N типов волн в волноводе и М гармоник Флоке в свободном пространстве при применении метода сшивания гармоник. Таким образом, электрическое поле в апертуре пред­ ставляется в виде

Индексы g жа соответственно обозначают поле в волноводе и в сво­ бодном пространстве. Магнитные поля Hg и На определяются выражениями

Из выражений (И.За) и (П.Зб) можно найти неизвестные модаль­ ные функции с помощью коэффициентов аь:

I

Мощность, переносимую в прямом и обратном направлении к апер­ туре, можно оценить с помощью г-й составляющей вектора Пойнтннга. Из условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей в апертуре имеем

к сохранению энергии. Соотношение взаимности при таком выборе не удовлетворяется при комплексных значениях {тр}. Однако в ряде задач используются действительные значения {тр} и тогда приближенное решение по методу Ритца — Галеркина удовлетво­ ряет как принципу взаимности, так и закону сохранения энергии.

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В МЕТОДЕ ВЫЧЕТОВ

Функция g (и?) выбирается в следующей форме:

{^ + Уо)(ч’ — У'о) П (Tn — w) W nn) ewd/nx

п—1

где р (w) — целая функция, определяемая ниже. При выборе g (w) распределение нулей и полюсов принимается в соответствии с усло­ виями 1 и 2, указанными в разд. 6. Экспоненциальные множители в бесконечных произведениях введены для обеспечения сходимо­ сти. Присутствие р (w) необходимо для выполнения условия 3, т. е. | g (if) | ->- 0 при | if | — оо. Для определения функциональ­ ного вида р (if) полезно заметить, что для больших т

Следовательно, g (w) в окрестности бесконечно удаленной точки отличается на ограниченную функцию от функции

<»+«<”-»» п ( т - “) Ш

7 1 = 1

М » ) ( » - Г 1 ) Г ( ^ ) Г ( ^ ) , | Д ( ^ * ) , , „ ( ^ )

я (“' + ?£) (u> —Yo) г ( ^ - ) sinwd

(П.10)

где Г (if) — гамма-функция. Итак, для определения поведения функции g (if) при больших if необходимо только исследовать изменение функции gx (w) при w -> оо. Если w стремится к беско­ нечности, первый член формулы Стирлинга для гамма-функции имеет вид

Г (z) ~ У 2п/z е2 |п2-2.

Подстановка асимптотического выражения для гамма-функции в выражение (П.10) приводит к следующей асимптотической фор­ муле:

gi М ~ !п 2.