Файл: Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток.pdf

параллельных пластин, полагая а — Ъ = оо. При этом волновые проводимости для внутренней области имеют вид

При квазпстатпнеской аппроксимации в выражении (30) полагаем

Термин «квазпстатическпй» обусловлен предположением, что

которое справедливо, в частности, при больших значениях длины

функций, таких, как Ф,'г (у)], то можно ожидать, кто совпадение результатов решений, соответствующих этим базисам, свидетель­ ствует о высокой точности обоих решений. Результаты сопостав­ ления решений, соответствующих различным базисам, приведены в гл. 8.

При решении уравнения (17) [пли уравнения (19)] методом моментов было рассмотрено преобразование этих уравнений к матричному уравнению конечного порядка впда

где / п Е — матрицы-столбцы, а К — квадратная матрица. Матри­ ца-столбец Е находится обращением матрицы К.

Возможность точного обращения матрицы К, пли ее обуслов­ ленность 1), в значительной мере определяется диагональной сингулярностью м н и м о й части ядра уравнений (17) и (19). Матри­ ца с сильно выраженной дпагональностыо является хорошо обус­ ловленной. Особенности ядер интегральных уравнений (17) и (19) приводят во многих базисах к сильно выраженной диагоиальности только для мнимой части матрицы К. Это, в частности, справедли­ во, когда в качестве базиса используются кусочно-гладкие функ­ ции (интегрирование уравнений (17) и (19) по Риману, Симпсону плп по формуле трапеций). Поэтому при вычислении обратной матрицы необходимо использовать специальные приемы.

При решении уравнения (37) матрицу К преобразуют часто с помощью операций над действительными числами вместо дейст­ вий над комплексными величинами. Преимущества операций над действительными числами очевидны в тех случаях, когда требуется производить операции над числами с большим числом значащих цифр, т. е. при работе па электронной вычислительной машине в режиме удвоенной точности [15]. Вычисления с повышенной точностью невозможны плп затруднены при операциях над комп­ лексными числами. Положим

Е — Er-{- jE[,

Разлагая левую п правую части уравненпя (37) на действитель­ ные п мнпмые части, получаем

K r E r - I U E i ^ f r ,

(38а)

K t E r + Kr Ei = fi.

х) Квадратная матрица К является хорошо обусловленной, еслп ее

обращение, осуществляемое с учетом заданного количества значащих цифр в элементе матрицы, приводит к точному вычислению обратной матрицы К ~ \ Определитель плохо обусловленной матрицы является малой величиной с малым числом значащих цифр. Поэтому такая матрица не может быть обра­ щена с большей точностью, чем точность нахождения от определителя.

196 Глава 5

заданном числе интервалов, тем точнее результат решения. Одна­ ко это еще не означает, что такие же или лучшие результаты не могут быть получены за счет увеличения числа интервалов N.

Способ представления искомой функции в кусочно-постоянном базисе на основе метода моментов по существу эквивалентен мето­ ду согласования по точкам (методу коллокацпй), часто рассматри­ ваемому в литературе.

Степень сходимости кусочно-гладкого базиса при больших N является важным фактором. Хорошо известно, что процесс интег­ рирования по Риману (или по Симпсону и т. д.) не сходится при больших N, если подынтегральная функция [такая, как F (у) на рис. 5.4 пли Н х и Еу в уравиеипях (17) и (19)] имеет особенность в интервале интегрирования (включая границы интервала). Это не исключает, однако, возможности использования базиса кусоч­ но-гладких функций, так как для дапного значения N должен существовать расширенный, полный и сходящийся базис. Иными словами, если имеется кусочно-гладкий базис, образованный конечным числом функций {рп (у), п — 1, . . ., N }, то можно

гладкому базису. Следовательно, в этом смысле результаты преды­ дущего обсуждения проблемы сходимости остаются справедливы­ ми и в том случае, если искомая функция имеет особенности. Тем не менее при использовании базиса кусочно-гладких функций можно говорить о сходимости решения при возрастании N (и это является общепринятым) по аналогии со случаями использования большинства других базисных функций, таких, как (у) и xFm(r/).

Можно предположить, что при использовании базиса кусочногладких функций желательно уменьшать подынтервалы в тех областях, где аппроксимируемая функция F (у) сильно изменяет­ ся (рис. 5.4). Такое предположение верпо, в частности, при рас­ смотрении окрестностей особых точек, которые для компонент поля Еу и Н х расположены на ребрах волноводов. Скругляя углы, можно устранить сингулярность поля в раскрыве.

В работе [16] дано решение задачи дифракции плоской волны на прямоугольном клине со скругленным ребром. Результаты для случая нормального падения волны иа одну из граней клина показаны на рис. 5.5. Распределения токов (рис. 5.5, б я в) рас­ считаны методом согласования по точкам. Видно, что более частое расположение точек в области ребра (случаи IV—VI) позволяет более точно выявить всплеск поля па ребре. Одпако очень суще­ ственно, что отраженное вперед поле, рассчитанное по этим точ­ кам, мало зависит от расположения точек и от радиуса скругления ребра. Для фазированных решеток это эквивалентно утверждению, что особенности полей на ребрах мало влияют на коэффициент отражения и другие параметры рассеяния. Такой вывод не являет-