Плоские фазированные решетки из круглых волноводов |
321 |
|
где |
2яг |
|
2п1 |
|
|
|
цг = Т. |
vi —Ту |
|
(33) |
|
~Ш ' |
led |
' |
|
|
|
|
|
а индексы г, I принимают значения от ( —о о , |
— о о ) до ( о о , о о ) . |
Мы можем легко получить выражения для электрического и маг нитного полей (см., например, работу [12]) и определить комплекс ную мощность Рс, подводимую по нормали к решетке из единичной ячейки; для нахождения этой мощности надо проинтегрировать вектор Пойнтынга
|
' ы 2 |
|
d/ 2 |
|
|
|
|
|
|
Рс= |
{ |
dx |
j |
|
2 |
| Л ,г |2- ^ |
- 2 0М, |
(34) |
где |
—Ь/2 |
|
—d/ 2 |
|
(r , l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гг; |
|
|
|
|
|
Wr i — |
— |
— |
|
|
(35) |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, мы получили уравнение, правая часть которого |
представляет собой сумму членов вида | / | 2 |
Z. Эту сумму можно |
приравнять |
к |
произведению |
квадрата |
эффективного |
тока |
| J е | 2 на входное |
сопротивление Z |
элемента |
решетки, т. |
е. |
|
|
|
Pc = \JefZbd. |
|
|
(36) |
В зависимости от вида распределения J x (х , у) выбор J е может быть либо произвольным, либо естественным. Так, например, в случае косинусоидального распределения [12] / 0 cos лх/L, где L — длина вибратора, естественным будет выбор / е = 10.
Нормируя токи относительно
(37)
|
|
|
•>е |
|
|
найдем нормированное |
входное |
сопротивление |
|
|
Z_ |
2 |
)• |
(38) |
|
Z0 |
|
|
Сингулярность в выражении (38), обусловленная множителем 1/WT, i, характерна для листка тока в отсутствие отражателя или бесконечного плоского экрана. Эту сингулярность можно исклю чить, если на расстоянии z = — S поместить отражатель, парал лельный листку тока. При наличии отражателя входное сопротив ление описывается выражением
z_ |
= 2 К- |22;/{iS (1 — |
sin kWr< iS \ |
e~*wr, Is (39) |
% |
kWr, iS ) |
|
(Г, О |
|
|
(отражатель расположен в точке z = — S). В обоих случаях (с от ражателем и без него) коэффициент отражения R определяется
выражением
|
D |
Z/Z0--1 |
(40) |
|
л “ |
Z/Z0+ l |
|
|
Интересно отметить, что результат, приведенный в работе [13], относится к случаю, когда только член / 00 отличен от нуля.
Используя для R выражение (40), оценим lim Ср-д-
р', q'~>со
ввыражении (31). Сначала рассмотрим оценку градиента R по нормали к кривым дополнительного главного лепестка. Возьмем подобласть, входящую в полную прямоугольную область инте грирования выражения (31) и ограниченную окружностью (s, £)-го дополнительного главного лепестка с центром в точке (2ns/kb,
2ntlkd), перенесем начало координат в центр этой окружности, а затем перейдем к цилиндрическим координатам (rst, 8st). Тогда выражение для градиента по нормали к окружности примет вид
Tst (rsi • V-й) = - (41)
Оценим dR/drst в предположении, что d | I st \ 2/drst не оказывает влияния на асимптотическое поведение Cp>q>. Такое предположе ние оправдано, в частности, для листка с равномерным распреде лением тока [13], решетки из диполей [14] п большого класса дру гих распределений тока:
=0 (для лнстка с равномерным распределением тока)
~не имеет особенностей (решетка из диполей с отражателем)
1 |
р < |
1 с отражателем |
Не изменяет асимптотического |
~~ W $ t ’ |
р < |
2 без отражателя / |
поведения |
1 |
р = 1 |
с отражателем |
Не изменяет асимптотического |
~ |
р < 2 без отражателя / |
поведения |
При этих условиях градиент R по нормали к окружностям дополнительных главных лепестков в окрестности этих окружно стей (Wst ~ 0) пропорционален i!W st как при наличии отража теля, так и без него. В частности,
|
lim |
д Р |
|
|
(42) |
|
9rst |
, | / St|2sin2 8 s t i |
|
|
при p < 1 без отражателя и |
|
|
|
OR |
r - | / s i |2 2fe252sin2 6st-i |
1 |
(43) |
|
w™ о drst “ L |
l(Z/Z0 + l)2lvKsi=o -1 |
Wtl |
|
|
при p < 1 с отражателем. В отсутствие отражателя коэффициент i/W st имеет особенность в E-плоскости сканирования. При наличии отражателя этот коэффициент в ^-плоскости равен нулю. Следо вательно, проведенный анализ не позволяет исследовать асимптота-
Плоские фазированные решетки из круглых волноводов |
323 |
ческое поведение при сканировании Е-плоскости для плоской решетки (для линейной решетки асимптотическое поведение в Е- плоскости оказалось таким же, как и в //-плоскости).
Итак, в общем случае мы предполагаем, что градиент в точках, близких к кривым дополнительных главных лепестков, представ ляет собой гладкую функцию / (б), умноженную на HW, т. е.
|
lira |
OR |
ist (&st) |
1 |
при |
p < |
1. |
(44) |
|
9rst |
wtt |
|
w.St ' |
|
|
|
С физической точки зрения разумно предположить, что функция V/? непрерывна во всех точках плоскости ТХТУ.
Используя выражение (44) для нормальной компоненты гра диента R, проинтегрируем уравнение (31) по частям. Тогда, учи тывая периодичность,
|
|
|
л / k b |
я /hd |
|
|
|
' Р ' Т |
№d |
1 |
—лI}hb ^ |
—ni/hd |
АТ |
p-Мр'ьт +я' dT у)’. |
(45) |
|
4я2 |
jkq'd |
а1и~дТ^е |
|
Для каждой дуги окружности дополнительного главного лепе стка в зоне интегрирования мы определяем область A si, содержа щую эту дугу. Сумма всех областей A st составляет полную область интегрирования. Для каждой области A st осуществляется пере нос начала координат в центр соответствующей окружности и пере ход к цилиндрическим координатам (Тх, Ту) ->• (rst, 6S/), так что выражение (44) принимает вид
р f |
г с |
гsi dr$t dost |
i |
dR |
p ,q ' — 4Я2 |
Z j J J |
j k p , , sin 0 |
\ |
drst |
|
(s, t) Att |
v q |
|
|
X exp [ — jkpp'g’cos (0— 8st) rsi], (46)
где квантованные расстояния определяются выражениям
р'Ъ = pP'q>cos 0, q'd= pp-g- sin 0. |
(47) |
Отметим, что интегрирование по частям до сих пор давало зависи мость вида l/pjj'g'.
Так как VE -8st = (l/rsi) (dR/d8st) — непрерывная и несингу лярная функция, мы находим (как й в случае линейных решеток), что
,. |
п |
,. |
k2bd |
v |
J |
(* |
sin 8st d8st |
w |
lira |
Cp‘g>— lim |
4 2 |
zj |
|
jkp |
sin 0 |
x |
|
|
|
m |
Zj |
J |
|
о |
Pp'q"+°° |
|
Pp'q'~*°° |
|
(*•^ 0' |
O6Sts |
^ P p 'g 's i n 0 |
|
|
|
1+8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
I rst OR |
exp [ — jkpp'g’cos (0 — 8st) rst] drst + |
+ ° ( - J p r ) ' <48>
где в качестве области интегрирования A st берется окрестность кривой дополнительного главного лепестка (см. рис. 7.32). Эта окрестность представляет собой круговое кольцо, определяемое соотношениями
|
|
S5t^ S s(< 6s'( и |
1 — e < r s;^ l - f е. |
(49) |
Используя выражения (44) и (48), получаем |
|
lim Ср-д>= |
Пш |
т а |
2 |
j |
|
|
4л2 |
|
|
Р р '9 ' |
|
|
|
|
Р р ' д ’ |
|
|
ов; |
|
|
w |
Г / . / (64() Sin 6,t |
1+8 |
ехр[-/Лрр,в,соз(0-бв<)г,4] |
, |
Г |
х t |
;ipp.,.sine |
|
УТ=Щ |
Л“1 + |
|
|
|
_____ |
+0(тш-). (50) |
|
|
|
Vp'q' |
где Wst заменено на ]/~1 — r|t. Используя соотношение |
|
|
|
1+е |
|
|
|
|
|
|
lim |
j п |
j |
du ~ ]/"я/2 е’л/4 e ~ V J |
|
получаем |
Бч-O |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иlim CV'q'— |
lim (] / xt/2 ■' -ч- е~^/4) x |
,y -» |
|
Pp',*-*» V |
4л |
' |
Рр'д |
|
|
|
|
6s* |
/si (6si) &sin1Ц 6Usfsi exp [—[ |
Jjkpb y p ',n ', cosbUb (0Vu —6u si)]s t ) \ |
X 2 ) |
|
(,pp V )3/2sin 0 cos(9 -M ------- ^ |
<*• *>Oil |
|
|
|
|
Отметим, что до интегрирования по б в выражении (51) получена зависимость 1 /рр-д'.
Для каждого значения 0 (0 = 0 или я в ^-плоскости сканиро вания) существует по меньшей мере одна кривая дополнительного
главного лепестка (s, |
t) = |
(s', V) такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
б;г< 0 < б ;'4. |
|
|
(52) |
Следовательно, |
оценка |
выражения (51) |
по методу перевала |
дает |
lim СР'Г = |
( ^ |
) [ |
2 |
U-v (S.'.' = 0)1 X |
|
|
Pp'g'"*00 |
|
|
(s',i') |
|
i \ v |
|
|
|
|
|
e~ihpP'g' |
|
|
|
|
|
х (fcp^T2 + 0 |
("pI^T ) ' |
(53) |
Уравнение (53) описывает асимптотическое поведение коэффи циентов связи для этого класса решеток. Хотя это поведение не распространяется на ^-плоскость сканирования, его можно объя снить тем, что поле отдельного вибратора в дальней зоне затухает быстрее чем 1 /р в направлении, параллельном вибратору.
