Файл: Петров И.К. Технологические измерения и приборы в пищевой промышленности учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 207

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Уравнение (27) может быть выражено в комплексной форме

*вх (0 = *вх0 <?Л и '+ф вх> ,

(28)

где со— круговая частота

колебаний;

 

Фвх — фазовый сдвиг.

,

 

Периодическое воздействие может быть подано на вход так­ же в виде прямоугольной волны. Однако при использовании си­ нусоидального сигнала методика обработки экспериментальных данных проще, чем при использовании входного сигнала типа прямоугольной волны. Существенно и то, что при использовании синусоидального сигнала по виду выходных колебаний можно непосредственно произвести качественную оценку влияния нелинейностей исследуемого измерительного устройства.

Выходные колебания для линейных систем также будут гар­ моническими синусоидальными:

*вых (/) =

х В Ы Х о sin (oaf + ф в ы х ) .

(29)

Следует иметь в виду,

что указанное соотношение зависит

только от частоты колебаний.

 

Различают несколько видов частотных характеристик:

1) амплитудно-частотная (амплитудная),

представляющая

собой отношение амплитуды колебаний на выходе к амплитуде

колебаний на входе

при прохождении

гармонического

сигнала

через

измерительное

устройство

при

разных частотах

(от О

до оо) :

 

 

 

 

 

 

*вых

 

 

 

 

А (со) =

(ш);

(30)

 

 

 

*вх

 

 

2)

фазо-частотная

(фазовая), представляющая собой

зависи­

мость сдвига фаз колебаний между выходной и входной гармо­

никами от круговой частоты

(0<.<о<;оо):

 

 

Ф (ю) =

Фвых («>) — Ф и (ю);

 

(31)

3) амплитудно-фазовая,

объединяющая

обе предыдущие

ха­

рактеристики — амплитудную и фазовую. Аналитически она

оп­

ределяется отношением преобразованной по Фурье выходной ко­

ординаты дгв ы х

(/) к входной

xBX(t):

 

 

 

J

*вых ( O e - ^ ' + W

at

 

 

W (/со) =

—л

 

= /?(©) + / / (ш) = А (<о)вМю >,

(32)

 

 

j

*вх (0 e - ' ^ + ' W dt

 

 

 

0

 

 

 

где

R(<£>)

и /(со) — вещественная

и мнимая части амплитудно-фазовой

ха­

 

 

 

рактеристики;

 

 

 

 

А(к>) — амплитудно-частотная характеристика;

 

 

 

ср(со) — фазо-частотная

характеристика.

 

Частотные характеристики связаны между собой, кроме ука­ занных, следующими соотношениями:

А (со) = VlR (*>)Р + [/ И Р ;

(33)

Ф (со) = arctg і? (и)

(34)

Амплитудно-фазовая характеристика может быть также по­ лучена путем подстановки вместо р переменного /со в выраже­ ние передаточной функции:

U

Р(/со)

а „ ( / с о ) " + . . .

+ a f ( / ( B ) ' + . . .

+ a i / c o + a 0

Так как W(ja>) является дробно-рациональной функцией, ее модуль равен отношению модулей числителя и знаменателя. На основании сказанного

Л(со)

= IQ (/со) |

_ У"(&0—&2to2H-fe4CQ4— • • .)2+(6iCQ-&8to3+&5co5-

• • - ) 2 .(36)

 

1 Р ( / с о )

1

V(ao—а2со2+а4сй*

— . . .)2+(f l l co—as cus +aB co5—.. . ) а

 

 

 

Ф (со) =

arg Q (/со) — arg Р (/со) =

arctg

бхсо — 63 со3

+

• • •

 

 

 

 

V •62co2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• arctg

a

3 coj +

• • •

 

 

 

 

 

(37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 0 — a 2

M 2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой го­

дограф, описываемый концом вектора

W(ja> ) при изменении ча­

стоты от 0 до оо. Он строится на плоскости комплексного

перемен­

ного

(рис. 7). Каждой частоте

соответствует

определенная

точ­

 

 

 

 

 

 

ка

 

на

 

годографе,

 

j |

 

 

 

 

Следовательно,

век­

 

 

 

 

 

 

тор,

проведенный

из

 

 

 

 

 

 

начала

координат

в

 

 

 

 

 

 

какую-либо

точку,

 

 

 

 

 

 

характеризует

соот­

 

 

 

 

 

 

ношение

амплитуд

и.

 

 

 

 

 

 

сдвиг фаз при часто­

 

 

 

 

 

 

те,

соответствующей

 

 

 

 

 

 

этой

точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

 

образом,

 

 

 

 

 

 

динамические харак­

 

 

 

 

 

 

теристики

 

могут

 

 

 

 

 

 

быть

получены

не­

 

 

 

 

 

 

сколькими

способа­

Рис. 7. Амплитудно-фазовая характеристика.

ми и представлены

в

разной

форме.

При­

 

 

 

 

 

 

веденные

соотноше­

ния показывают возможность перехода от одной формы пред­ ставления динамических характеристик к другой и обратно.

Рассмотрим вывод дифференциального уравнения, характе­ ризующего динамические свойства одного из широко распрост­ раненных измерительных устройств, применяемых для измере-

ния температуры — термопары. Дл я упрощения рассмотрим сначала вывод динамической характеристики термопары, заклю­ ченной в защитную однослойную гильзу (рис. 8). Обозначим температуру среды, которая измеряется, через 8^ а температуру рабочего спая термоэлектродов через 02.

Теплоотдача от среды к гильзе выражается уравнением

 

(01 — 92 ) a

Fdt =

cmdQ2,

(38)

где «—коэффициент теплопередачи

от среды к гильзе, Вт/(м2 -К);

F — площадь поверхности гильзы, м2 ;

 

 

с—удельная

теплоемкость материала

гильзы,

Дж/(кг - К);

т — масса гильзы, кг.

 

 

 

Из уравнения (38) следует, что

 

 

 

 

с/л

d9,

(39)

 

« і — "2

= ' aF

dt

 

 

Приняв за начальные условия

 

Защитная

 

 

 

 

9V

е 2 п = о,

 

 

гильза

получаем

( 0 i - O i o ) - ( 0 2 - 02 „)

~aF Ш

Примем

ЛЄі: :Bl— 9; А9» = 9 , - 9 ,

и разделим все члены полученного уравнения на значение

0 i o = \ -

 

 

Рис. 8. Схема термопары в од­

В результате получим

 

 

нослойной защитной гильзе.

 

 

 

 

 

 

 

 

А9 а

 

А 9 ^ 6 Г

А9 2

cm

S

(42)

9

9,,

aF

dt

 

J4

~*о

 

Введем следующие обозначения:

A9j.

Хвх = "7;— —входная величина;

К

Ав,2

*вых= а— — выходная величина;

К

cm

Г = ^ 7 — коэффициент, называемый постоянной времени, с.

При подстановке этих значений уравнение

(42) записывается

в виде

 

 

1 В Х — '

j a Т Л В Ы Х -

(43)

 

dt

 

25

kn Защитные
гильзы

Или, принимая

p — d/dt,

получаем динамическую характери­

стику термопары, приведенную к операторной форме:

 

 

*вх =

( 7 > +

1)*вых-

(44)

Динамическая

характеристика

может быть выражена

также

в виде передаточной функции:

 

 

Тр + 1

Анализ полученных характеристик показывает, что рассмот­ ренный датчик представляет собой простое апериодическое зве­ но, описываемое дифференциаль­ ным уравнением первого порядка.

К такому заключению, однако, можно прийти лишь потому, что И- датчик рассматривался как объ­ ект с сосредоточенными парамет­ рами. Но если учесть влияние ре­ ально существующих факторов, которые сопровождаются значи­ тельной тепловой инерцион­ ностью, динамические свойства датчика не смогут быть описаны таким простым уравнением. По­ рядок дифференциальных урав­ нений, описывающих поведение измерительных устройств, может

быть вторым, третьим и т. д.

 

 

 

 

Перейдем

к рассмотрению

ди­

Рис. 9. Схема термопары в двух­

намической

характеристики

тер­

мопары, заключенной

в двухслой­

слойном чехле.

 

 

 

 

 

 

 

ный

чехол (рис. 9). Запишем

 

 

 

 

dt

вых^.

 

 

(46)

 

 

 

 

 

 

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ ^*вых .

 

 

(47)

 

 

 

• П —

+ * в

 

 

Поскольку показания термопары в этом случае определяются

значением хв

,

необходимо

установить

зависимость между

этим значением и значением хвх,

характеризующим

температуру

среды. Путем несложных преобразований получаем

выражение

для динамической характеристики

термопары в

двухслойном

чехле:

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛВХ

—

' 1 * 2

dt2

( Г 1 +

Г 2 ) % 1 .

 

(48)

 

 

 

 

at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•"•вых^;

 

(49)

В действительности на динамическую характеристику оказы­ вает влияние наличие воздушных прослоек, утечек тепла через стенки, а также ряда других факторов и уравнение имеет более сложный вид.

Аналитическое определение динамических характеристик не всегда удается осуществить из-за сложности учета всех факто­ ров, определяющих поведение узлов и деталей измерительных устройств. В подобных случаях динамические свойства доста­ точно полно описываются упоминавшимися выше переходными функциями (кривыми разгона), которые представляют собой графические зависимости между входными и выходными величи­ нами измерительного устройства при нанесении на его входе скачкообразного ступенчатого возмущения — мгновенного од­ нократного изменения контролируемого параметра. Такие пере­ ходные функции (см. рис. 6\ являются полным графическим ре­ шением дифференциальных уравнений, характеризующих иссле­ дуемый измерительный прибор или устройство при нулевых на­ чальных условиях и возмущающем воздействии типа ступенча­ той функции.

В зависимости от вида и порядка дифференциального урав­ нения, характеризующего динамические характеристики измери­

тельного устройства, переходные

функции

их имеют различ­

ный вид.

 

 

Для обработки переходных функций с целью получения соот­

ветствующих дифференциальных

уравнений

применяется ряд

аналитических и графических методов. Появление большого чи­ сла различных способов определения коэффициентов дифферен­ циальных уравнений по переходным функциям объясняется тем, что приближенная аппроксимация хъых (t) базируется на различ­ ных допущениях о структуре уравнений и что при этом исполь­ зуется разнообразный математический аппарат.

Большинство измерительных устройств описывается диффе­ ренциальными уравнениями и передаточными функциями, отли­ чающимися от рассмотренных в первую очередь тем, что в них должен быть введен член, характеризующий влияние чистого за­ паздывания. Введение его обусловлено тем, что промышленные приборы являются системами с распределенными параметрами, а следовательно, переходные функции являются решениями диф­ ференциальных уравнений в частных производных. В этом слу­ чае начальный участок переходной функции можно аппроксими­ ровать звеном чистого запаздывания, передаточная функция ко­ торого имеет вид:

W (р) = е~Рх.

(51)

где т — время чистого запаздывания, с.

Смотрите также файлы