Файл: Петров И.К. Технологические измерения и приборы в пищевой промышленности учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Х„ — X

Относительная погрешность используется иногда в качестве одной из характеристик точности средств измерений.

Величина, по абсолютному значению равная абсолютной по­ грешности измерительного прибора и противоположная ей по знаку, называется п о п р а в к о й . Дл я получения действительно­ го значения измеряемой величины поправку следует алгебраиче­

ски прибавить к показанию прибора.

Характеристика

т о ч н о с т и

большинства технических

средств измерений, т. е. качества,

отражающего близость их по­

грешностей к нулю, определяется пределами основной и допол­ нительных погрешностей.

О с н о в н о й п о г р е ш н о с т ь ю

называется погрешность

средства измерений,

используемого

в нормальных

условиях.

Нормальные условия

работы указываются в ГОСТах

или техни-.

ческих условиях на средства измерений.

Д о п о л н и т е л ь н о й п о г р е ш н о с т ь ю называется по­ грешность средства измерений, вызываемая воздействием на него внешних условий при отклонении их от нормативных (нормаль­ ных). К дополнительным относятся погрешности, возникающие в результате изменения температуры, отклонения прибора от его

рабочего положения

(перекоса), вибраций и т. п.

От величины допускаемых основных и дополнительных по­

грешностей зависит

к л а с с т о ч н о с т и средства измерений —

его обобщенная характеристика, определяемая пределами допу­ скаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значение которой устанавливается в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности характеризуют свой­ ства средств измерений в отношении точности, но не являются непосредственным показателем точности измерений, выполнен­

ных с помощью этих средств. Классы точности,

присваиваемые

средствами измерений, выбираются

из ряда

следующих

чисел:

1 • 10"; 1,5- 10я;

2-10"; 2,5-10"; 4-10";

5-Ю";

6-Ю", г д е л = 1 ; 0 ;

— 1 ; —2 и т. д.

 

 

 

 

 

Качество средств измерений, помимо точности, характеризу­

ется их правильностью, а также сходимостью

показаний.

П р а ­

в и л ь н о с т ь

с р е д с т в а и з м е р е н и й — это

качественный

показатель, отражающий близость к нулю его систематических

погрешностей.

С х о д и м о с т ь

п о к а з а н и й

с р е д с т в а

и з ­

м е р е н и й — это качественный

показатель,

отражающий

бли­

зость к нулю его случайных погрешностей.

 

 

Повышение

точности результатов измерений является

одной

из важнейших задач измерительной техники. Однако в ряде слу­ чаев оно становится возможным лишь при использовании мето­ дов математической обработки измерительной информации

и применении средств вычислительной техники или других ки­ бернетических устройств. Использование математических мето­ дов позволяет резко повысить точность результатов измерений даже в тех случаях, когда в качестве источников информации применяются средства измерений, не обеспечивающие необходи­ мой точности в обычных условиях. Максимальная точность результатов измерений на основе информации, полученной в про­ цессе эксперимента, может быть достигнута путем использова­ ния при их обработке методов теории вероятностей и математи­ ческой статистики.

Одним из важнейших вопросов, связанных

с

повышением

точности результатов измерений, является оценка

влияния на

них случайных погрешностей. Большинство

встречающихся

в практике случайных величин, и в частности случайные погреш­

ности, подчиняются

н о р м а л ь н о м у з а к о н у

р а с п р е д е л е ­

н и я

(закону Гаусса),

который

характеризуется плотностью

вероятности вида:

 

 

 

 

 

 

/(*)

=

2 с т * .

(64)

 

 

 

oV2n

 

 

где

tn—математическое

ожидание измеряемой случайной

величины X;

 

о — среднее квадратическое отклонение величины X.

 

 

f(x)

 

 

f(xy

 

О

т

х

-х

О

н

 

a

 

 

f

 

Рис. 11. Кривые нормального закона распределения.

При этом X — некоторая непрерывная

измеряемая случайная

величина, a xt

( / = 1 , 2,

л) — ее частные

реализации.

Графическое изображение

нормального закона

распределе­

ния приведено

на рис. 11, а. Кривая распределения

по этому за­

кону имеет симметричный холмообразный

вид. Точке х = т соот­

ветствует максимальная ордината кривой,

равная

; по

 

• *

о У 2л

мере удаления от точки т плотность распределения падает, а при

х -> +

оо кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

При

т = 0 максимум кривой наступает при л:==0

(рис. 11,6).

Кривая / соответствует самому большому, а кривая

3 — самому

малому значению сг.

 

3 И. К. Петров

33

 

Одна из наиболее распространенных задач обработки резуль­ татов измерений заключается в том, чтобы исходя из выборочной совокупности хи Х2, хп, состоящей из элементов, полученных непосредственно в процессе прямых последовательных повтор­ ных измерений, когда условия каждого повторного измерения остаются неизменными, получить оценку точности данного изме­ рения, точности каждого элемента выборки, полученного пря­ мыми измерениями.

Из теории вероятностей известно, что вместо случайной ве­ личины X вводится система случайных величин Хи Х2, Хп, математическое ожидание и дисперсия каждой из которых сов­ падают с математическим ожиданием и дисперсией исходной случайной величины X. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины

 

D(X) =

M(h).

 

(65)

Если случайная величина распределена по нормальному за­

кону,

 

 

 

 

 

 

£ >(*)

= о-2.

 

(66)

Таким образом,

задача оценки

точности

измерений

сводится

к нахождению параметров т и а 2

случайной величины

X.

Математическим

ожиданием

случайной

величины X является

сумма всех возможных случайных значений случайной величины, умноженных на вероятности этих значений. Математическое ожидание дискретных и непрерывных величин вычисляется со­ ответственно по формулам:

 

 

 

 

п

 

 

 

 

т =

М(Х) =

£ xi рг,

 

 

(67)

 

 

 

- | -

i=i

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

т = М(Х)=

J

xf{x)dx,

 

 

(68)

 

 

 

— оо

 

 

 

где Pi — вероятность события і

(p —

f(x)dx);

 

 

 

f (х)— плотность

распределения вероятности величины

X,

определяемой из

формулы

(64).

 

 

 

 

 

 

Дисперсия дискретных и непрерывных величин

определяется

соответственно по формулам:

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o2 = D ( X ) =

£ {Xi — mxY pi;

 

 

(69)

 

o 2 = D ( X ) =

j

(x — mx)2f(x)dx.

 

 

(70)

 

 

CO

 

 

 

 

 

Корень квадратный из дисперсии является

средним

квадра-

тическим или стандартным

отклонением (стандартом) а

случай­

ной величины X.

 

 

 

 

 

 

При оценке

точности прямых

равноточных1

измерений наи-

1 Измерения называются равноточными, если условия проведения каждого по­ вторного эксперимента сохраняются неизменными, и неравноточными, если эти условия изменяются.

более распространенной является постановка трех основных за­ дач. Решение их определяется вероятностью р попадания сред­ него значения п повторных измерений в є окрестности истинного значения т , т. е. в интервал от (т—є ) до ( m + є ) , где е— по­ ложительное число, определяющее заданный необходимый интер­ вал точности, называемый доверительным интервалом.

Постановка задач при подстановке t вместо переменной

0V2

может быть записана в следующем виде:

Yn

р = = Р { \ Х — т\ < е) = —г-Г

е 2 Л = Ф(г), где г = Y-H±.

( 7 1 )

о

Считая, что о — величина заданная, с помощью указанного соотношения можно установить связь между величинами я, е и р.

Задача 1. При известном объеме выборки п и заданном необходимом ин­ тервале точности, выражаемом числом е > 0 , определить доверительную веро­ ятность р попадания среднего значения X данной выборки в указанный дове­ рительный интервал. По заданным значениям элементов выборки находится значение дисперсии а2 . Затем по известным значениям и, в и а определяется значение г, а по нему с помощью таблиц функции р — Ф(г) —искомое значе­ ние доверительной вероятности р.

Задача

2. При известном объеме выборки п

и заданной необходимой

до­

верительной

вероятности р определить границы

доверительного интервала

е,

т. е. интервала, в который среднее выборочное значение X попадает с заданной

вероятностью р. По таблицам функции р = Ф ( г )

определяется значение г,

со­

ответствующее заданной доверительной вероятности р, а затем необходимый доверительный интервал точности є по формуле

га

 

е = — .

(72)

Vn

Задача 3. При заданных доверительном интервале е и доверительной ве­ роятности р определить значение п, т. е. установить, сколько раз необходимо повторить эксперимент, чтобы обеспечить попадание полученного среднего значения в заданный доверительный интервал с выбранной вероятностью. Оп­ ределяется величина г, соответствующая заданной доверительной вероятности р, а затем искомый объем выборки по формуле

22

о 2

 

« - - =

5 -

< 7 3

С помощью методов теории вероятностей и математической статистики производится обработка результатов прямых равно­ точных и неравноточных, а также косвенных измерений, измере­ ний нестационарных параметров и других видов получения изме­ рительной информации. Кроме того, может решаться задача по оценке погрешностей выходных сигналов измерительных систем в зависимости от погрешностей измерения отдельных измеряе­ мых величин и собственных свойств самой измерительной систе­ мы, а также ряд других важных задач, связанных с техноло-

3*

35

гическими измерениями. В настоящее время статистические ме­ тоды анализа и обработки результатов измерений приобретают все большее значение и выделяются в самостоятельные разделы измерительной техники и метрологии.

§ 6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

Рассмотренных в предыдущих параграфах способов количе­ ственной оценки степени достоверности измерений в ряде слу­ чаев оказывается недостаточно, особенно в связи с громадным увеличением потока измерительной информации и возрастанием ее роли во всех аспектах научной и производственной деятельно­ сти человека. Для описания и оценки контролируемых объектов требуются обобщенные информационные характеристики, позво­ ляющие распространить общие теоретические выводы и оценки на все области измерительной техники независимо от их специ­ фики. Разработка и применение единых критериев и методов для расчетов и оценки качества измерительных устройств и кана­ лов связи, сложных информационных и автоматизированных си­ стем управления стали возможными в результате использования идей теории информации.

Информационная теория измерений и измерительных уст­ ройств как новый раздел современной метрологии полностью со­ гласуется с ее прежними представлениями и является их логиче­ ским продолжением и развитием. В свете этой теории результаты измерений в процессе измерения и контроля рассматриваются как случайные события, а проводимые эксперименты по измере­ нию и контролю — как ситуации, в которых эти события могут проявляться.

Исходным понятием в теории информации является понятие энтропии, которая в применении к измерениям характеризует меру неопределенности исследуемой ситуации, т. е. процесса из­ мерения и контроля соответствующих параметров. Энтропия определяется числом возможных событий в заданной ситуации и вероятностями их появления.

Э н т р о п и е й с и с т е м ы называется сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком. При этом рассматри­ вается некоторая физическая система X, которая может прини­

мать конечное множество состояний Х\, х2,

х„ с вероятностями

Ри Рг, - , Рп - Энтропия

 

 

Н(Х) =

- І Pi\ogp{,

(74)

где Pi = Р(Х ~ Х() — вероятность

того, что система

X примет состояние х<.

Здесь через

Р обозначается статистическая вероятность.

Энтропия Н(Х) обращается в нуль, если одно из состояний системы достоверно, а остальные невозможны. Другими слова-

Смотрите также файлы