Файл: Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд..pdf

_д_

д2

<

дг

дг2

д2ср

дг2

дг

г

дг

(II.5)

д2

irz — ~дг ( i

- n , )

W

ф

дг2

и = 1 + И<

д2Ц .

дг дг

'

Ei

V 2 V 2 ф г (гг) = 0

(II.6)

и граничным условиям.

В

равенствах (II.4) — (П.6): <з1г, о/, ое — нормальные

напря­

жения

в точках /-го слоя (i — 1;2); %lrz —касательные напряжения;

Wlt иг

— вертикальные и горизонтальные перемещения; у 2 — символ,

ф2

J {Л2 + В2

[а (г]— 1) + 2jx2]} е - ч « / 0 (pa)da;

Фх =

$ {A1e-w

+ B1[a(i\

— \) + 2V.i\ е - к » +

(II.7)

о

+

[(1—2pii) s/za(l — т|) + а ( 1 — T])cha(l — т))] +

+

D1 [2p,1 c/ia(l — т ] ) — а ( 1 — T])sha(l — г])]} JQ([ja)da.

)

. После подстановки значений

ф х и ср2 из системы (II.7) в

равенства

коэффициентов At, Bit

Съ

Dlt

определяемых следующими граничными

условиями:

а) на поверхности

двухслойной

системы (л =

= 0 )

о,

=

—р

при

r<R;

(II.8)

0

при

r>R;

xrz

=

0

---Xrl* = 0

при отсутствии

трения

(гладкий

контакт),

или

(II.9)

т ^ ' — т ^ ' ;

U1

= U2 при спаянных

слоях,

или

т ^ ^ т Я ' ;

тЯ'=Л1 с ^/1

при

сцеплен­

ных

слоях.

Составляющие

напряжения и перемещения:

0 0

— т)а

Ог21 =

-рР

J

{*г

+ ^ [ 1 + а (л -

1)]} i

—

- Л (ра) / 0 (Р«) <*а;

о

г

=

pp J

U 11 - «(Ч - 1)1}

А (Р«) Л (Р«)

о

г

т<2>

2ri2 РР J ~ — Ji (Ра )Jo (ра) <Ьс +

+ р Р $ { * 1

- М 1 - 2 ц 2 - а ( 1 1 - 1 ) ] } e - l "

^ ( Р а ) / х (ра) da;

p a

(11.10)

r<2)

e - n a

- PP ^ Vi + ^ a (TI — 1)] —— /1 (P«) J г (pa) da;

_

1+^2 рЯ 2 $ U i — ^ t l — 2 ц 2 - а ( л — 1 ) 1 }

X

X / t (Pa) / t

(pa)

^ 2 =

P# J {*i + h [2 (1 -

h,) + «(Л - 1)1}

x

Qt

X y t ( P a ) J 0 ( p a )

б) первый

слой

( 0 < i i < l , 0 ) .

Составляющие

напряжения и перемещения:

т<1) .

{^1

+

/ Л 1 - а ( 1 - л ) ] - С 1 е -а

(1—п) а(1 —т])х

X sha (l — T]) + D1e" -а (1-т)) [sha(l—т])—а(1—г)) cha(l—r|)]} х

X

Л (Ра ) Jo (pa) da;

о^1

> = РР J

-

к

[ 1 + а (1 - т])] -

С, е~а ( 1 ~ Т 1

> [2 ch а (1 -

т)) +

о

+

а(1 —г])sh«(1 — 11)1 — 5!e~ a ( I - T 1 )

[sha(l—т]) + а(1 — T I ) X

+

а (1 — т))] — С1 е ~ а (

[

2

(1 — |х3) ch а(1 — л) +

а (1 — TJ) Х

X s h a ( l - T i ) ] — D 1 e - a (

I

- 1 1

, [ ( l

— 2^)sha(l —т!) +

а ( 1 — - П ) Х

X ch а (1 -

г])]} * —

. J l ( P

a ) / l ( p

K )

da;

Qt

pa

a(e1)

= - г ц х р р ^ [^2 + C l e - a ( l - 1 l ) c h a ( l - 1 l ) + D l e - a ( I - T ' ) x

о

X sh a (1 -

T))] 5—- Л (pa)

J0 (pa) d a +

pP $

ft—fa

[1—2^

+

^'

о

+ а ( 1 - т 1 ) ] - С 1 е - а ( 1 - Т 1 )

[ 2 ( l - [ x 1 ) c h a ( l - T ] ) +

+

a ( l —

TI) sha(l — г ] ) ] — D 1 e - a ( I - , , ) [ ( l ~ 2 f x 1 )

sha(l — i j ) - f

+ a ( l - r 1 ) c h a ( l - r 1 ) ] } x

—

•h ( M

h (

P ^

da;

Qt

pa

00

t<|' = - p p $ { ^ - ^ a ( l - r ] ) - C 1 e - a (

I - T , ) [ s h a ( l - - T 1 )

+

( П . И )

- a ( l —r))cha(l — r))]—Dx e - o ( l - r i )

a(l—TJ)

s h a ( l — г | ) } х

X ——

/1 (Pa)/1 (pa)tfa;

Qt

X

e - ^ l « / i ( p a ) / x ( p a ) d a .

Qt

1 _ь

°°

_

W ^ ^ p

R l {t1 + tt[2(l-VL1)-a(l-rl)}

+

C1e-a"-")X

1

о

X [(l-- 2 [x1 ) sha(l — TI) — a ( l

— r|)cha (l

— r\)] +

+ A

[ 2 ( l - [ i 1 ) c h a ( l - T i ) — a ( l - r i )

sha(l — TJ )]}X

y ^

~

m

J i ( P « ) h

(Pa) d

a

Qt

'

a

В формулах

(11.10) и (11.11) обозначено:

Qt

™ ^\

?3 ~Ь ^2 ^4>

^ = а — e - a

[ n c ( s h a - | - a c h

a)—mash a];

tz='l

— e _ a

[тй

(sh a - f a ch a) + na sha];

/ 3

=

1—e~a [mc asha—n(sha — acha)];

tt

=

1 — a + e _ a

[яс a sh a + m (sh a—a ch a)];

2 ( l - | i ! ) M c f t

2(1—Hi) '

£ 2

' ( 1 - й * ) '

2(1-11!)

U a O + H i )

1—(Ха

1— JJ.1 /

C1 = mct1—ис

^2; D±=-- nt1Ji-mt2.

Зависимости (11.10) и (11.11) представляют общее решение. При

подстановке

в них Мс

-> 0 получают формулы для слоистой системы

с гладким контактом,

а при Мс-+0

и £ 2 - > со — формулы для упругого

слоя конечной толщины на несжимаемом

основании с гладким кон­

тактом. При

Мс-*-оо

utE$-*-oo

они превращаются в закономерности

ся

равенства

WT = W2vlU1

= U2.

ЭТО выполняется при подстанов­

ке

в формулы

(11.10) и (11.11):

тс = п и пс

= 0,5 (

1 - 2Ц»

т 2

— 1 — (Xl

1 — М-2

получаемые формулы даже при п = 3 несоизмеримо более

громоздки

и сложны [34], чем соответствующие зависимости (11.10)

и (11.11).