Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

229

Легко видеть,

что при таким образом определенных

фо (А.) и £іо первое

равенство (2 .6 ) выполняется

тождест­

венно:

р

 

р

 

У K stya (-^s) М &о — 2 K stya (Л5) MiKaQо — Katya (-Ко) О-а—0.

Из второго же равенства находим

^2 а == UKaOa 4" ЩаКа&о ==

— Ка^-айо ~Е 0 - 1аКаО-а — Ка {-^-о “Е Ctl0 ^ 2 )

Остается выбрать а0. Положим

Тогда преобразование (2.2) можно представить в виде

л: = Кг.

(2.7)

Если в качестве аа взять порождающий вектор подпро­ странства Ra (для которого ф0 (X) является минимальным многочленом), то матрица К будет невырожденной и, сле­ довательно, невырожденным будет и преобразование (2.7).

Из вышеизложенного следует, что путем замены пере­ менных (2.2) система (2.1) приводится к виду (2.3). Теоре­ ма доказана.

2 .2 . Общий случай Т е о р е м а 2.2. Пусть собственные значения матрицы

U =

А

1В разбиты

на

р групп

А.'0’, АІа) , ...,

' (ст =

= 1 , 2

,

..., р\ 2ka =

п)

так, что

 

 

причем соответствующие этим группам инвариантные под­ пространства /?j, / ? ......2 R p являются циклическими под­ пространствами п-мерного векторного пространства R. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представлено в виде

230 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ IX

где <7 о (от =

1 ,

2

,

р) являются

решениями независимых

скалярных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<?°Яа

/а->

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

---- h

Д

a ft0 —lo-^

 

Ь акааУа— 0(2.9)

--- ----- f- Ctla

dt a

 

df°

 

 

 

 

 

p).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(CT=1 ,

,

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим

(2.8)

в

(2.1)

и

 

d^ao

 

с помощью равенства

(2.9):

 

 

 

исключим —

 

 

 

 

 

dtka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

(

 

 

 

lq°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

d*°

 

а*ст-іа -

dt

■CCfcao<7o I Д

 

а£—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

* „ -

1

, j.

dQa

 

 

 

 

+

£

2 0

 

 

I

 

 

 

 

df°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.fc(T—

1

0 -

2

 

 

 

tk0oq<j I

■

 

2

( ha

^ k—° ■Д ho

kfr—2

+

■ ■ ■

+

 

a=1

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

Приравняем здесь

коэффициенты

 

 

dk°~'Qo

 

при — ъ— j—, . ..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt°~

 

 

. ,

,

<7 o

(er =

1,2, . . . ,

p).

Получим

 

 

 

 

 

 

ha =

Uh а Д «icgio,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ha =

U h а Д a2o£lo,

 

 

 

 

( 2. 10)

 

 

 

h aa=

U ha—Io Д &ka-loha,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 =

Uhaa Д

®ftaoSl0 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'‘0 U I

"'‘O'J

 

 

 

 

 

 

Равенства (2.10) умножим слева соответственно на Uk°~x,

Uka~2

U,

Еп и сложим. Получим

 

(Uk° Д <Х\QU

Д ••■

Д a k0—\aU Д aka<jEn)

= 0.

Далее вместо системы (2.10) будем рассматривать экви­

валентную

ей

систему

 

 

 

фо {U) £і0

 

0,

 

 

I (2 11)

Е/+І0 == Uha Д ®/0?Іо

(/

11 ■ ■ •I К

1),

5 2] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е О Д Н О РО Д Н О Й С И СТ Е М Ы 23]

где

 

 

 

 

 

фа (Я.) =

Я, 0 ф*

°

1+

••• +

аА—\<?^ Ф" a kao-

Положим

 

^lo =

Кайо-

 

Здесь а0 —

 

 

некоторый

&а-мерный

вектор (столбцовая

матрица типа k0 х

1 ).

 

 

 

Тогда первое равенство (2.11) можно преобразовать к

виду

 

/Софа (Ла) аа= 0 .

(2.12)

 

 

Так как инвариантное подпространство /?<,, соответствую­ щее группе о собственных значений матрицы U, цикличе­ ское, минимальный многочлен этого подпространства яв­ ляется многочленом степени ka, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

фа (Я) = + ct[a)hk(J 1 ф- • ■• ф- аід-іЯ ф- ai°J,

аі“>- * ] " ' +

+ M S ,

Р ’= > Р> Р + ...

 

< - ( - ! ) * <

> • . . .

- tig .

Примем

 

а )(а)

Тогда

а / а =

Фа (Я,) =

фа (%),

 

и, значит, согласно лемме 1 . 1

фа (Ла) = фа (Аа) = 0.

В этих условиях равенство (2.12) выполняется. Из осталь­ ных же равенств (2 .1 1), зная £1(Т, последовательно можно

определить

£2 а, ....

Ь аа-

^2а =

U K o & o

Ф~ 0\ oK oQ <j = = /Са (А а ф- ОС;a ^ k a )

ІЗа =

UКо (А0 ф~ ССіaEka) ао Ф~ a2aKoaa =

= = К о (А а ф - (ХіаАсг ф- 0.9a E k a ) ^ а ,

Е*0а — Ко (Ааа ф- а1оЛаа ф- •••ф- ccka—io Eka) аа•

2 3 2

 

 

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е

 

[ГЛ .

ГХ

 

Если в качестве а0 взять вектор, для которого

q>0

(Ä.)

является

минимальным многочленом, то

векторы

 

...

• ••,

 

о

будут линейно независимы. Тогда преобразование

(2 .8

)

, приводящее систему (2 .1 )

к

расщепленной

системе

(2.9)

, будет невырожденным. Теорема доказана.

U име­

 

2.3. Случай матрицы простой

структуры.

Если

ет простую структуру, то равенства

(1 .2 ) остаются

в силе

и в том случае, когда р = п. При

этом

/\

есть матрица,

составленная из п линейно независимых собственных век­ торов, а А — диагональная матрица, диагональными эле­ ментами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы U. Имеет место сл ;дующая

Т е о р е м а 2.3. Если U — матрица простой структу­ ры, то решение уравнения (2 .1 ) может быть представлено в виде

 

Х =

п ЪоЯо,

dQa |_ а 1о(7 а =

0

,

 

 

 

а=1

 

 

 

 

где £іст =

К в,

а-іа = —К

(К — собственное

значение,

а

Кв — ему

отвечающий собственный вектор

матрицы

U).

Эта теорема следует из теоремы 2.2, если (при условии, что U — матрица простой структуры) принять р — п.

§ 3. Преобразование однородной нестационарной системы дифференциальных уравнений к расщепленной системе

Рассмотрим однородную нестационарную систему вида

А { к ,е ) ~ = в {х,г)х

(г = е/),

(3.1)

где А (т, в), В (т, е) — квадратные матрицы порядка п, допускающие разложение по степеням параметра е (сходя­ щееся или по крайней мере асимптотическое):

А (т, е) = У) e,kAk (т), В (т, е) = У] ekBk(т) (т £ [О, Ц),

(3.2)

причем det А0 (т) Ф 0.

3.1.Преобразование к расщепленной системе уравнен

второго порядка. Предположим, что матрицы А (т, е), В (т, е) четного порядка п и собственные значения матри­ цы U (т) = А~К1 (т) В0 (т) могут быть разбиты на р = п/2

Смотрите также файлы