Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
§ з] П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы 2 3 3
групп, по два собственных значения в каждой группе, так, что
I Х<а> (т) - Ъ{? (т) I > О |
(і, / = |
1,2; s ф о; т £ [О, L]). |
(3.2а) |
Тогда имеет место следующая |
сегменте [О, L] а) матрицы |
||
Т е о р е м а 3.1. Если на |
|||
Ак (т), Вк (т) (Іг = 0, |
1, 2, ...) |
имеют производные по х всех |
|
порядков, б) инвариантные подпространства Rlt /?2, |
..., Rp |
||
п-мерного пространства R, соответствующие указанным выше р группам собственных значений матрицы U, явля ются циклическими, то формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
р |
dQ<j |
~Ь ?2 сг (т, б) qa , |
|
|
£іа (*, е) |
(3.3) |
|||
dt |
0 = 1
где скалярные функции qa являются решениями уравнений
|
- ^ - + |
а 1ст(т, е ) - ^ - |
+ а 2 а (т, 8 ) ^ = 0 |
(3.4) |
|||||
|
|
( а |
= |
1 |
- 2.......... р)\ |
|
|
|
|
tja (т , б ) |
(/ — 1 , 2 |
) —векторные функции, представляемые |
|||||||
формальными рядами |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ію (т, е) = |
5 |
в*$] (т) |
(/ = 1,2); |
(3.5) |
||||
|
|
*=о |
|
|
|
|
|
||
а /а (т, е) |
(j = 1 , 2 |
) — скалярные функции, |
представляемые |
||||||
рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â /а (т, |
в) = |
2 |
е Ч [а] (t) |
( 7 = 1 , 2 ) . |
(3.6) |
|||
|
|
6 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставим выражение |
(3.3) в |
|||||||
|
|
|
|
d2ga |
помощью |
(3.4) и в |
полу |
||
(3.1), исключая при этом — |
с |
||||||||
ченном таким образом тождестве |
приравняем коэффициенты |
||||||||
при qa и |
(а |
= 1, ..., р). Будем |
иметь |
|
|
||||
А [ е |
---- £іа“ іа + |
Ъ о}~ B hа |
( а = |
1 , ... ,/? ) , |
|||||
А [г |
---- |іст«2 а ) = ßë?o |
(0 F= 1 .......... |
р), |
234 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
|
[ГЛ IX |
||
или, |
компактнее, |
|
|
|
|
|
|
А ( |
-------- £ іо а /а |
+ £ / + l o ) |
— |
;/о |
(3.7) |
|
(/=1,2; |
а= 1,2, |
... , р\ |
£зо = |
0). |
|
Подставим ряды (3.2), (3,5) и (3.6) в (3.7) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим
|
|
|
ДО». |
|
|
+ |
Ä |
1 + « № |
- |
Й |
|
||||
|
|
|
й * |
|
|
|
+ |
д |
а |
+ д |
а |
- |
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$?.« = |
® |
+ д |
а |
+ « |
|
- $ " 4. |
||||||
где |
|
|
|
( / |
— |
|
1 . 2 ; e r |
= D |
1 |
, 2 ........................................p- |
f o ^ |
a i |
O ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
V |
[ßi^0a] + |
Ax( |
a ^ |
- 5 l+ ],a)l + |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
- |
AV' |
|
ßl£/ö] + |
|
|
+ |
А.г(C$ £ V |
- |
Й о ) + |
||||
|
|
иЖ |
|
|
|
|
|
|
;[0 ] |
|
|
|
|||
+ Л , |
+ а И У - і і й . |
|
40 |
|
- д а + dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d i |
|
|||||||||
и, вообще, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|||
а іа |
— |
— |
л— I |
В&;/Ö |
|
+ |
|
+ Bkl?J + |
|
||||||
+ Л ( а » - Й„)+ |
|
|
|
+ « |
|
- і!йа-*4r1+ |
|||||||||
5 3] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И СТ Е М Ы |
2 3 5 |
Первое из соотношений (3.8) в развернутом виде запи шется так:
|
|
№ = |
|
|
+ |
аГаеіа |
|
|
|
(3.9) |
|||
|
|
|
= |
f / $ ] + |
a£ ] |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Умножим первое равенство (3.9) слева на U и сложим |
|||||||||||||
со вторым. |
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
+ |
а\°М\Ѵ + |
|
4 Ѵ ІѴ = |
о, |
|
|
|||||
|
(и* + а\Уи + а[УЕп) |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому система (3.9) эквивалентна системе |
|
|
|||||||||||
|
|
(U2+ |
a\°aU + |
а,2аЕп) £і°] = |
О, |
|
|
||||||
|
|
|
= U№ + « Ж |
|
|
|
|
||||||
Тем же путем преобразуем (k |
+ |
1)-е соотношение (3.8). |
|||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
«SSiSS1 — dfé-11. |
I |
(3.10) |
|||
|
0 = |
Ul\]ТС2-f |
a [2 a]^ia |
+ < ^ 2 0 ^ |
~ |
4 o _ ‘]. J |
|||||||
|
|
||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tn të ] + а[5 ВД> + ö S ® |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
+ 4 |
^ |
$ |
+ |
ag\\°a]- |
Ud\ka- l] - |
4 a“ 1] = o, |
|||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{U* + a\°JU + 4°a]En) gf« = |
_ |
(a\$U + |
a $ E n) Й“] + |
4*_1], |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 M |
: |
£ /4 M |
|
+ |
4 M . |
|
|
|
|||
Таким |
образом, система |
|
(3.10) |
эквивалентна |
системе |
||||||||
ОУ2 + o$U + |
4 Ю |
ifa] - |
- |
(a\kj u |
+ |
a[k0]En) £[°] + |
d M ] |
||||||
|
= |
£/tf? + a [ ® |
+ |
® |
|
] - |
4 M - |
|
|
||||
2 3 6 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
Вместо уравнений (3.8) далее будем рассматривать эк вивалентные им соотношения
фа (U) |
: :0 . |
|
|
|
|
|
||
fctO] _ г/tLO] |
, |
|
[0 U[0 ] |
|
||||
Ь2а |
— |
и $іа |
— |
Ctjа S1 CT> |
(3.11) |
|||
ф а (У) £[а |
= |
— ( « іа U |
+ с 4 а £ „ ) £ іа + |
|||||
d lak~ n , |
||||||||
|
|
|
+ |
а |
» |
+ « |
- d i r 11 |
|
где |
|
(*==1 , 2 |
, ...), |
|
||||
фа (Я.) = |
Я,2 + |
аіа]А, -j- ага. |
|
|||||
|
|
|||||||
Используя (1.2) (при соответствующем разбиении соб ственных значений матрицы U на непересекающиеся груп пы), равенства (3.11) приводим к виду
і /<5фо(Л5)уИ^°а] = 0, s=1
Ю]£ [ 0 ]
оsia >
2 |
KsФа (AJ МЛ\о] = |
- |
(а.\к]и + |
а\к]Е„) |
rffe-П |
\ (3.12) |
||
+ d\а |
, |
|||||||
S=1 |
_ /jtW |
I |
„ШЛО] |
, |
1 0]Л*] |
Ak-i] |
|
|
= 2 0 |
|
|
||||||
— и ъіо |
т |
а іа 5 1 0 |
\ |
&\о5і0 — |
0 |
|
|
|
|
|
|
(* = |
1 , 2 , ...). |
|
|
|
|
По условию теоремы инвариантное подпространство Ra , соответствующее группе а собственных значений матрицы U, циклическое. Поэтому минимальный многочлен этого подпространства есть многочлен второй степени с коэффи циентами, определенными по формулам Виета:
фа (Я.) = |
Я2 + |
а!а)Я + |
ага>, |
|
а{0) = |
- ( М |
0, + ^ |
в)), |
|
„(а) |
гСст)г(а) |
• |
|
|
(Х>2 -- Л,] |
|
|
||
Примем |
аto> |
|
|
|
а/о[0] |
|
( / = |
1 , 2 ). |
|
Тогда |
|
|
|
|
фа (Я) = |
фа (Я), |
|
||
т. е. фа (Я) — минимальный многочлен подпространства Ra, следовательно,
фа (А0) — 0.
S 3] |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й |
С И СТ Е М Ы |
237 |
|||||||||||
|
Положим |
|
|
^ |
] = |
/сао0і |
|
|
|
(3.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где й0 |
— некоторый двумерный вектор-столбец. |
|
|
||||||||||||
|
Легко видеть, |
что при |
таким |
образом |
определенных |
||||||||||
Фа (Я) и |
первое равенство первой |
группы соотношений |
|||||||||||||
(3.12) выполняется тождественно. Действительно, |
|
|
|||||||||||||
р |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/С5фо (As) |
|
= 2 |
Д/Ро (As) УИ5/<0йо= |
/Сафа (Аа) аа= 0. |
||||||||||
S=1 |
|
|
|
|
S—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе же равенство определяет ^о- |
|
|
|
|
||||||||||
= |
Допустим, |
что |
уже построены ^ а, |
«/а |
0 = 1. |
2; |
t = |
||||||||
0, |
1, ...,k |
— 1 ). Покажем, |
что |
k + |
|
1 группа |
равенств |
||||||||
(3.12) вполне определяет |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/<іфа(А,) |
- |
- |
(a\k0]U + |
« $ £ „ )£ $ + |
|
|
|||||||
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь da*- ’l |
|
является известной величиной. |
|
|
|
||||||||||
|
Принимая |
во |
внимание |
равенство |
(3.13), получим |
|
|||||||||
|
2 |
A/Pa (As) |
= - |
(сі\к]КаА0 + а |
£1 к„ ) йо + dik~ '\ |
|
|||||||||
|
S=s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, |
обозначив |
|
|
|
|
|
|
/ |
[*]\ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
(Аайа йа), |
|
а »1 = |
|
J , |
|
|
||||
|
|
2 |
К,фа {К) |
|
= |
- |
^a^aoJa1 |
+ |
4*“ 1]. |
|
|
||||
|
|
Sr=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При умножении обеих частей последнего равенства сле ва на М это равенство распадается на р независимых матричных соотношений
фа (AJ Q[/a] = - |
Ms/<a^aa[ 1 + М/ J ^ |
(3.14) |
|
( S = |
1, |
, p), |
|
где |
|
M $ a\ |
|
Qsa'1 - |
|
||
Обозначив |
|
|
|
Via