Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 186

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 3 8

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е

Р А С Щ Е П Л Е Н И И

[ГЛ. IX

будем

иметь

 

 

 

Q[ok]= M to \

 

так что если удастся из (3.14) определить

то легко по­

строить и искомый вектор

по формуле

 

№ = к< & к1.

При s Ф ст MsKo = 0, а фа (As) в силу условия (3.2а) — невырожденная матрица. Поэтому

 

Qla] = q>7l (As) Msd[ak~l]

(зфо).

При s = а МаКа =

фа(Аа ) =

0. Поэтому из (3.14)

следует,

что

 

 

 

(£0a[k] =

Mad[k- ' \

(3.15)

Так

как Ra ■— циклическое подпространство, то соглас­

но лемме 1 . 2 существует такая столбцовая матрица аа , ко­ торой отвечает линейно независимая система векторов й0,

А0йа • Пусть аа выбрана из этого условия.

Тогда векторы

Л0йа и аа линейно независимы и, значит,

— невырож­

денная матрица. При этом матричное равенство (3.15) раз­ решимо относительно а [а]. Решая его, находим

№ = <£7'мАк- ' ].

Что касается субматриц

то здесь имеется известный

произвол. В качестве Qw может быть взята произвольная квадратная матрица второго порядка, имеющая достаточное

число производных. В частности, можно принять QTO = = 0 .

Зная gia и а\о\ легко определить и $ } по формулам (3.12). Таким образом, изложенный метод позволяет последо­ вательно построить члены формальных рядов (3.5) и (3.6), с помощью которых представляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.3), (3.4). Тем самым теорема до­

казана.

случай.

 

 

3.2. Общий

 

L) а) матри­

Т е о р е м а

 

3.2. Пусть на сегменте [0,

цы Ак (т), Вк (т)

(k = 0, 1, 2 ,...)

имеют производные по т

всех порядков;

б) собственные значения матрицы U (т) =

= А ~1 (т) В0 (т)

разбиты на

р групп

Аф*) .......Х^

§ 3]

П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е

Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С И С Т Е М Ы

239

(а = 1 ,

2

К

=

п)

так, что

 

 

 

I

(т) -

I f (х) I > 0

(3.16)

 

(s ф а;

1 =

1 , . . .

, ko', і — 1 , ■• • , ks),

 

причем соответствующие этим группам инвариантные под­ пространства R2, R P являются циклическими под­ пространствами іі-мерного пространства R.

Тогда формальное решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

 

 

£ю(*, е)

 

 

 

 

 

 

 

+

Ьо (т, е)

+ ■• •

+ |<г0а (т. е) Яо

(3.17)

где

qа (а =

1 ,

2

.......р)

— скалярные

функции,

удовлетво-

ряющие уравнениям

 

 

 

 

1 h

,

~

,

л

л .«-і

 

 

 

 

+

“ '«<"•'»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ akc -іа(х ,е)-5Г +

 

 

 

 

 

 

-f- G0kao(t, б) Ца— 0 (^ — 1> • • • 1

р)>

(3.18)

а ho (т, е), а ja (т, е) — соответственно векторные и ска­ лярные функции, представляемые формальными рядами

1/а (т, е) = 2J е*£/с (т).

а /о (т>е) =

2J е ^ а

(т). (3.19)

й= 0

 

* = 0

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применяя

метод,

использо­

ванный в § 2, подставим

выражения (3.17) и (3.18) в урав­

нение (3 .1 ) и приравняем

коэффициенты при qa,

, . . .

dkn—1Яа

(er= 1, ...,/? ) . Получим

dlk<r~l

 

2 4 0 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [Г Л . IX

Аналогично тому, как были получены формулы (3.8), отсюда находим

fctO]

Ь;+1 о—

til]. '

W + l Ö—

Д 2] _ b/+ I о —

,/£[0],

[OK.

 

 

 

 

 

 

Г'Ь/'о "Г ®/'oblo>

 

 

 

 

 

 

—

/ /ь П ]

,

„ [ 1 Ы 0 ]

, [0]j.[i]

a /a ,

C'b/a

- p

« 7 0 6 1 0

T - 0 t ;cr§io(

—

 

UP[2]

.

„ [ 2 Ы 0 ]

,

[0 M 2 ]

Ml

,

 

 

^ Ь /о

T ^ O '/o sia

 

« /o glo

■aja

 

 

 

 

 

 

 

 

,# -П

,

 

 

 

 

 

 

 

U I <J

 

 

,[0]

(3.20)

(/= 1, ..•, k a , k = 0, 1, ...;

a = 0).

Для доказательства теоремы достаточно показать, что при соответствующем выборе членов рядов (3.19) матрич­ ные соотношения (3.20) выполняются тождественно.

Первое соотношение (3.20) в развернутом виде представ­ ляется так:

Д °] _ т/pW , „ [о м о ]

5 2 0 — с Д ю + а , о ,

 

 

tl°]_/

l^S2o

_J_ „[0 ]fc[0 ]

 

 

 

S3a —

I 0-20

bio ,

(3.21)

 

 

ДО]

_/■/tl°:

i „ [ 0 ]

 

 

t[0 ]

 

 

Cft0o —

и Ыа-1 оП" a fca-l 0

bio >

 

 

П _

//ДО]

. „roitlO]

 

 

 

u—

u ^kao “Гa/;aaSia•

 

Равенства

(3.21)

умножим

слева

соответственно на

и ка~\

Uko~2,

 

U,

Еп

и сложим. Получим

(£/*« +

а ^ а - Ц

-

■•

• + 0Cfc“ L io

U + а Щ , Еп) ^ = 0. (3 .2 2 )

Заменив последнее равенство системы (3.21) равенством (3.22), далее вместо системы (3.21) будем рассматривать эквивалентную ей систему

ср о(Д )£І°о] = 0 ,

О = и ф + « Е Ж ( / = 1, k a - 1) ,

где

фо (А.)= A ft°-f ajoA°cf 1+

•■• + o40— ioA + сфа-

§3]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫ Й СИСТЕМЫ

241

Тем же путем преобразуем (й + 1)-е соотношение (3.20), которое в развернутом виде выглядит так:

І.Ш _ IIІ.Ш

ъ20 -- и Ъ\а

tW _ IJtW

СЗСГ — Ut,2о

,

„ШЛО]

[OWft]

--

,[ft-l]

>

+

а ІСГЪІСГ+

a ia£l0

« 1 CT

I

«[А]е[0] , „[0ЫА]

—

j[ft—I] ■

~r a 2ö èla “T a 2aSlcT

 

>

[ft] _

///eLE[ft]"J

j

 

 

 

6t LUJ[0]

 

rvLUJ

swtW

j [ f t - l1]j

 

} (3.24)

 

a ka- l o

 

 

 

 

 

 

 

^b fta -'o

"г

 

Slcr

-j- «*„-10 t]o — a ka- l а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0]

 

 

 

 

 

 

 

о

Iіі.Ш ,

„C*l ECOJ

,

 

£0 ] -[ft]

Ak[ f t-— 1]

 

 

 

 

 

u — и Ък„о -Г °4га05Ю

 

CtACT(jSlcr

— ak&

 

 

 

 

 

 

Умножим эти равенства слева соответственно на

ftfr—i

Ик°'

 

Uk°~2,

.... U, Еп и сложим. Получим

 

 

 

 

 

 

(£/*»+ сД О іЛ -Ч o$U ll° -2+

• • • +

с 4 %

и + а $1,Е „)№ =

= — (а[$ика~1+ с $ и ка~2+

' '

+

аЛ0-1а U -f-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

„[ft] р \ Е[0 ]

I

j[ft—I]

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

а кав£-л) Siff

+

“а

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вместо системы (3.24)

можем

рассмат­

ривать эквивалентную ей систему

 

 

 

 

 

 

 

фд(П ) ^ ] =

- ( а ^ ]Ч 0

-

+1

а [2 а]Ч а- 2+

+

 

I

 

 

 

 

 

 

+ « v - 1

оѴ +

аікаІЕп) |іа] + Ч “ 1] ,

I ^

25^

6/4E[ft]-1 а _— ^S/crГ/ttft] “ГI „[*]fc[a ja Sid0 ]

TI

[

е[* ]

^ft-!]

 

 

 

 

а/о„[»]' 0 £ 0а

П-/СГ

 

 

 

 

 

 

 

 

( / = 1 , 2 ,

 

 

51

1).

 

 

 

 

 

 

Теперь покажем, как,

 

используя

полученные соотноше­

ния, построить члены рядов (3.19).

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

№ = Ксаа<

 

 

 

 

(3.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а0 — некоторый ka-мерный вектор (матрица-столбец). Тогда первое равенство (3.23) (используя (1.2) при со­ ответствующем разбиении собственных значений матрицы U

на группы) можно преобразовать к виду /Сафа(Ла)аа=0. (3.27)

Так как инвариантное подпространство Ra, соответ­ ствующее группе а собственных значений матрицы С

Смотрите также файлы