Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
242 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
циклическое, минимальный многочлен этого подпространства является многочленом степени /га, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:
Фо(k) — |
+ |
a\a\ |
k<J 1 |
-f- • ■• |
-)- afcJ—iA -j~ ceil, |
|
а Г = |
- ( С |
+ |
••• |
+ Ц " ’>. |
||
„ ( О ) ____о (с О о (e r) . |
• • • |
. Л (О ) |
л (О ) |
|||
а 2 |
— |
А,1 Аг |
+ |
+ |
|А/га , |
|
Примем |
|
|
|
|
tfc’. |
|
|
|
„[0 ] _ |
„[о) |
|
||
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
Ctja |
ОС] |
|
|
|
|
фо ß ) == Фо (Л) |
|
|||
|
|
|
|
|||
и, значит, |
согласно лемме 1 |
. 1 |
|
|||
фо (Л0) — фо (Ла) — 0.
В этих условиях равенство (3.27) выполняется тождест
венно. Допустим, что уже найдены £$, о^У |
(j — |
1, |
2, ... |
|||||
...,k a ',i |
= 0, |
1 ,..., k |
— 1). |
Определим |
£$J, |
o $ ] |
(/ |
= |
= 1 , 2 , |
. . . , |
ko). |
|
|
|
|
|
|
Пользуясь равенствами (1.2) и (3.26), первое равенство |
||||||||
(3.25) представим так: |
|
|
|
|
|
|
||
/Сфо (Л) Л4|У = |
— Ко (cxfa^A*0 |
-j- alo^Akaa |
+ ••• + |
|
|
|||
Отсюда |
|
+ aÄCT—1аЛа + 0£.ftaoffta) aa + cfo |
^ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
фо (Л) Qik] = - |
MKo (a\ko]Ako° ~ l + 4 k]A kf - 2 + |
■ •• + |
|
|
||||
|
|
+ |
оЛ0 ф- a*aa£*a) йо ф- Md\j |
■*. (3.28) |
||||
Здесь
г
\ f f l j
а QSC] = Ms|i 'a — субматрица типа ks х kq.
§3] |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ |
НЕСТАЦИ ОНАРНОЙ СИСТЕМЫ |
243 |
|||||||||
Равенство (3.28) распадается на р независимых матрич |
||||||||||||
ных соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
фа (Л5) Qsa] = - |
М,Ка (сДОЛ* |
" |
- +1 а ^ Л * |
" |
" +2 |
■■■ |
+ |
|||||
“Р а А0 — |
1аЛа -)- C^k^oEka) da -р Msda |
^ |
|
(S = |
1, |
. . . , р). |
||||||
При |
s Ф а |
М5Ка = |
О, |
а |
фа(Л8) |
в |
силу |
условия |
||||
(3.16) — невырожденная |
матрица. Поэтому |
|
|
|||||||||
|
|
Qsa] = V ^ (As) Msdlak~U |
(s Ф a). |
|
|
|||||||
При s = |
a |
Ma Ka = Eka, а фа (Ла) = |
0. |
Поэтому |
|
|||||||
(аіа]Л* 0 |
_ 1+ |
о4а]Л * а ~ +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• • • |
+ |
°4д— |
1а^ а ~"Р akJaEka) da = Macfa ^ , |
||||||
ИЛИ |
|
|
|
(£aCCM = Modi*-", |
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iac = |
(K a~XaaK a~2a0 ••• |
da), |
|
|
|||||
|
|
|
|
а aft] |
|
afa |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
“ W |
|
|
|
|
|
Так как подпространство /?ст циклическое, то по лемме 1.2 при соответствующем выборе столбцовой матрицы аа столб цы матрицы {£а будут линейно независимы. Пусть а0 вы брана из этого условия и столбцы матрицы линейно не зависимы. Тогда &а , как квадратная матрица с линейно независимыми столбцами,— невырожденная матрица. Учи тывая это, из (3.29) находим
a |
= £ 7 1ЛЫ *-1] |
(£ = |
1 , 2 , |
...). |
Неопределенной осталась лишь субматрица Ql0kJ матри |
||||
цы Qa4 - Из |
вышеизложенного ясно, |
что |
в качестве Qacr |
|
может быть взята произвольная, нужное число раз диффе
ренцируемая матрица типа |
х |
1. В частности, можно |
принять Qoa = 0 . |
|
|
Зная Qa'1, легко получить |іа |
по формуле |
|
№ = |
Ю Р - |
|
2 4 4 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
|
Остальные |
векторы |
(/ = |
2....... ka) определяются |
|
соответствующими равенствами (3.25). |
|
|||
Итак, указанным путем можно последовательно опре делить члены рядов (3.19), с помощью которых представ ляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.17), (3.18). Теорема доказана.
3.3. |
Случай простых собственных значений матрицы. Ес |
|
ли на сегменте [О, L] все собственные значения матрицы U |
||
остаются |
простыми, то, оставляя в каждой группе по од |
|
ному собственному значению, будем иметь |
||
| М |
Т) — М Т) І > ° |
(s=£o; s ,с т = 1 , . . . , п). |
В соответствии с теоремой 3.2 решение системы (3.1) может быть представлено равенствами
П~
*= 2 2 £іо(т>е) <?о, о= 1
dq„
|
—ÖT + “ Щ |
(т- е) ЯО= о |
(CF= |
1........../г). |
|||
В формуле (3.26) в данном случае и0 |
— скалярная ве |
||||||
личина. Положим |
аа = |
1 (ст = |
1, ..., /г), |
будем иметь |
|||
|
!іа = К о |
|
(СГ== 1 , . . . , |
П). |
|||
Далее, так как теперь сра (X) — к — Яа, то |
|||||||
|
Qso] = ■xs — ха |
|
[ * — |
11 |
( s i - а] |
k = 1 , 2 , . .. ), |
|
|
МД* |
|
|||||
|
tW _ |
|
K s M s |
|
[k—\ ■ |
KoQ[*] |
|
|
Xs — Xa |
|
|||||
|
|
s+a |
s |
0 |
|
|
|
Наконец, a $ = |
—Аст и, |
поскольку |
t£a = «а = 1 (а = |
||||
= 1 , |
n), |
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что последние соотношения в точности сов падают с соответствующими соотношениями, приведенными в § 6 гл. VIII, и лишь отличаются некоторыми обозначения ми, а именно:
іѴ0 — |
ОЦ0 |
, |
Д0 |
— tlo • |
A |
„ І А ] |
|
/ |
А ] е [ А ] |
Таким образом, в рассматриваемом случае применение обоих методов расщепления, как и следовало ожидать, при водит к одинаковым результатам.
$ -л |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И С Т Е М Ы |
2 4 5 |
3.4 Приближенное решение системы. Приближенным решением системы (3.1) будем называть вектор xnl (t, е), определенный равенствами
|
Р |
( |
о—* (т) |
I |
|
|
|
.. _ |
V |
( r(m> |
d |
q° |
)■ |
(3.30) |
|
Х т — 2J l<=1<J |
..*0-1 |
+ |
|
||||
|
сг=І \ |
ш |
|
|
|
|
|
dk°o^m) |
+ |
“ іа |
dk° ~ lo[m) |
• |
= 0 (3.31) |
||
кп |
ft |
. + |
|||||
Гd t °
|
|
(cr= 1..... |
р ), |
|
^ ( Т , |
е) = |
*=о |
( / = 1 .......... k a ) , |
|
|
|
т |
|
|
a f f i x , |
е)== |
2 е*а|а] (т) |
( / = 1 , . . . . |
k o ) - |
|
|
k=Q |
|
|
Как увидим далее (§ 5), таким образом определенное ре шение системы (3.1) имеет асимптотический характер.
§ 4. Расщепление неоднородной системы
Если п-мерное векторное пространство R расщепляет ся на подпространства /?х, /?2, R P, инвариантные и цик лические относительно линейного оператора А в /?, то в R имеется базис, в котором этому линейному оператору отве чает квазидиагональная матрица J = diag (Ух, ..., / р) с диагональными блоками, имеющими естественную нормаль ную форму:
0 |
1 |
. 0 |
0 “ |
0 |
0 |
. 0 |
1 |
—akaa |
aka—\ о |
■ * — ССоо |
otic |
|
|
(ff — 1 > . .. |
, р) |
2 4 6 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
— С С [ а |
(Х2а |
. . — а к а — 1 а |
|
1 |
о |
0 |
[ГЛ . I X
1
1 £ Q а
0
Ja = |
(4.2) |
О |
0 |
1 |
0 |
|
(er = 1 , 2.......... |
|
р). |
Матрица А, отвечающая оператору А в произвольном базисе, связана с матрицей J соотношением подобия:
А= КЛ<~\
Всоответствии с этим линейная стационарная система
= Ах |
(А = const) |
при замене переменных
X = Ку
распадается на р независимых подсистем
= |
J<s"a |
(er = |
1 , . . . , р) |
|
(y1.......ур — субматрицы |
столбцовой матрицы у с размера |
|||
ми соответственно |
х |
1 , |
kp х |
1 ). |
Теоремы предыдущего |
параграфа показывают, что, по |
|||
добно стационарной системе, и однородная дифференциаль ная система при известных условиях может быть расщепле на на подсистемы, матрицы коэффициентов которых имеют структуру матриц / ст. Действительно, если, например, ка кое-нибудь уравнение расщепленной системы (3.18) пред ставить в виде системы уравнений первого порядка, то по лучим систему с матрицей типа Ja. Оказывается, что и неоднородная дифференциальная система при довольно об щих предположениях может быть расщеплена на подсистемы с матрицами типа J а■