Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
§ 4] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О РО Д Н О ГО С И СТ Е М Ы |
2 4 7 |
|
|
Рассмотрим векторно-матричное уравнение |
|
|
|
А (х’ e)“^ = = ß (T' 8)* + fV ’ т’ е) |
(т==е0 > |
(4 -3) |
где X и / — столбцовые матрицы типа п х 1, а Л и 5 — квадратные матрицы порядка /г, допускающие на сегмен те О С т <; L разложения (сходящиеся или по крайней м:- ре асимптотические) по степеням параметра е:
А (х, е) = 2 |
(т)> В (т>е) = 2 |
&kßb(т)- |
Ь= 0 |
А= |
0 |
Те о р е м а 4.1. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы
Аъ (т), Bk (х) (k = 0, 1,2, ...) имеют производные по х всех
порядков, а |
А0 (т), |
кроме |
того, |
является |
невырожденной |
|||||||
матрицей; |
б) собственные |
|
значения |
матрицы |
I) (т) = |
|||||||
= |
A JX(х ) В0 (т) |
разбиты на |
р |
групп Яі0>, |
?40), |
... , Я*®' |
||||||
о*** 1,2.......... p\ |
2 |
ka = |
n I |
так, что |
|
|
||||||
|
|
|
0 “ |
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ l T ]( x ) - l f (т) I > |
0 |
|
|
(4.4) |
|||||
|
(o ^ s; |
i = |
1 , |
... , |
|
ka; |
j = |
1 , |
.. . , |
ks); |
|
|
в) |
соответствующие этим |
|
группам |
подпространства R lt |
||||||||
Ri, •••> R P являются |
инвариантными и |
циклическими под |
||||||||||
пространствами п-мерного пространства R |
относительно |
|||||||||||
линейного оператора |
U, которому в некотором базисе от |
|||||||||||
вечает матрица U. Тогда формальное решение системы |
||||||||||||
(4.3) может быть представлено равенствами |
|
|||||||||||
|
|
|
х = |
У, Ка (г, е) уа, |
|
|
(4.5) |
|||||
|
|
|
|
<7=г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ä<j (т, е) уа + |
Л4С(X, е) R (т, е) f (t, х, е), (4.6) |
|||||||||
где Ко, Л ст, |
Ма, R — матрицы типа соответственно п х |
|||||||||||
X ka, ko X ko, ka X п, |
n X n, |
представленные |
формаль |
|||||||||
ными рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ко(х,г)= |
V е Ч ™ |
(X), |
|
Л 0 (Т, |
В) = |
|
V 8 * Л [а :1 ( т ), |
|||||
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
fc=О |
|
|
|
СО
Мо{Т , е ) = Ѵ е ‘М™(т), |
Я (Т е) = V e 4 fe (т), |
248 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
|
[ГЛ . IX |
|
причем Л™ есть матрица типа (4.1), а |
|
|
|||
|
О |
О |
О |
о |
|
А ^ = |
о |
о |
о |
о |
• (4.8) |
, |
<%ка а |
& !{0 — I о |
—— ryLft]и - 2 о — |
а г/і а [ " 1 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставляя равенства (4.5) и (4.6), определяющие вектор х, в систему (4.3) и отделяя в полученном соотношении коэффициенты при уа (а = = 1 , р) и свободный член, будем иметь
d K „ (т,е) |
~ |
~ |
0 ( т , е ) |
|
|
А (т, е) е - - - - -- - - - - - - -1-- |
|
е ) А |
|
|
|
= 5(т, е)/<0 |
(т, е) |
(а = |
1 , . . . , |
р), |
(4.9) |
Л (т, е) Ѵ Д а (т, е) М0(т, е) Я (т, е) — Еп f(t, Т , |
е) = |
0. (4.10) |
|||
а«і |
|
|
|
|
|
Для того чтобы равенства (4.9), в которых по предполо
жению Ко и Л0 представлены рядами (4.7), выполнялись тождественно относительно е, необходимо и достаточно,
чтобы члены разложений матриц /(а и Л0 были решениями матричных уравнений
|
UK™ = |
K™ A[°\ |
|
|
|
|
(4.11) |
|
|
U K ^ = |
кН' Л[а01 + |
Kla ]A ak]l |
+ |
D ^-11 |
(4.12) |
||
где |
( 0 = 1 ,2 ..........р; k = |
1 , 2 , |
...), |
|
||||
/г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D[ok- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= V K[oknA\i] -ь |
|
|
|
|
|
|
||
|
2* \L |
|
|
|
|
/г— V |
|
|
’» |
dT |
в ѵк |
^ |
+ |
£ |
Лѵ/ ^ г~ѵ- лл ^ |
||
|
V=1 |
|
|
|
|
/ = |
0 |
|
В силу условия б) теоремы могут быть построены квад ратные матрицы
( М г\ К = (К1 .. . Кр), А = diag(Лі, . . . . Ар), М =( :
\М П
§ 4] Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И СТ Е М Ы 249
с субматрицами Ко, Аа, М0 (а = 1 |
.......р) типа соответст |
||
венно |
п |
X ka, k0 X ka, k0 X и, |
дифференцируемые на |
[О, L] |
по |
т столько же раз, сколько раз дифференцируема |
|
матрица U, и удовлетворяющие соотношениям (1 .2 ). |
|||
Далее, |
поскольку £а-мерное подпространство R G, отве |
||
чающее группе а собственных значений матрицы U, цикли |
|||
ческое, то минимальный аннулирующий многочлен этого подпространства ср0 (X) есть многочлен степени k0, коэффи циенты которого (сию, а2а, ..., akgo) определяются форму лами Виета, а матрица Л0 либо совпадает, либо подобна матрице Jа .
Используя произвол, имеющийся в выборе матриц Ко и М 0, всегда можно сделать так, чтобы Л0 совпадала с Ja в форме (4.1). Учитывая это, далее будем считать, что в раз ложении (1 .2 )
Aa = J0 (<J=1.......... р).
С помощью соотношений (1.2) легко проверить, что при
подстановке вместо /(а0 -1 и Л[ст0] соответственно Ко и Л0 ра венство (4.11) обращается в тождество. Учитывая это, поло жим
К ^ (Т) = Ко (т), Л^ 1(т) = Ла (т) = Jo (т).
Остальные члены разложений матриц Ко (т, е) и Л0 (т, е) последовательно могут быть определены следующим путем.
Допустим, что |
/Со4, Л™, ..., K[ok- '\ Ао^ |
' 1уже |
найде |
|||
ны и, следовательно, в k-м равенстве (4.12) |
D1 * “ |
1-1— из |
||||
вестная |
матрица. |
|
|
|
матрицы K[G\ |
|
Через |іа], .... |
обозначим |
столбцы |
||||
а через с$Гх^, . |
— столбцы матрицы Од-11, |
так что |
||||
|
= ß 1СТ |
А*] \ |
пік—Jj_/jt«- |
|
|
|
|
kao)’ |
и ° |
— (“la |
|
|
|
В том |
случае, когда Л^ |
1(k = 1, |
2, ...) имеют структуру |
|||
(4.8), k-e равенство (4.12) эквивалентно системе уравнений
U—_ |
O'Slaт/fctfe] |
+, |
„[0]a *aaДЮfcaa , |
°^стаё*ааpW] |
“а |
> |
|
|||
П |
|
|
T"I |
„[0] I |
tlfc] |
„ W |
ДО] |
|
|
|
t l4 |
— r / t W |
, |
„С*] |
A k - Ц |
(4.13) |
|||||
|
|
5 |
aE*aa + |
a £a—I °S*aa |
|
|||||
Ela — о'ёга |
|
a ka— |
-O |
|
||||||
CA0 — 1a — Ubkao -f «la ë*öo |
ДЧДО] |
[*—1] |
|
|||||||
ala ё/гса— dkaa |
■ |
|
||||||||
250 |
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЕ |
|
|
(ГЛ. IX |
||||||
Умножим |
равенства |
(4.13) слева соответственно на Еп, |
||||||||
U, ..., Uk°~2, |
Uk < r ~ |
1и |
|
сложим. |
Получим, |
учитывая еще, |
||||
что а™ е= а ja (/ = |
1 |
, |
2.......ka)\ |
|
|
|
|
|
|
|
фа (U) ^ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
а£]_ Іаи |
+ |
где |
|
|
|
+ |
4 kolE n) i 0a]a + |
d[k~ '\ |
(4.14) |
|||
|
|
|
|
+ U d^ |
+ d\ka-'\ |
|
||||
= |
|
|
. . . |
|
||||||
Пользуясь соотношениями (1.2), равенство (4.14) можно |
||||||||||
преобразовать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фа (А) QCT*]= |
- |
М К с£ о С Х ,[ак] + |
M |
d ^ ; |
(4.15) |
|||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QLak]= |
Ml[kol, |
|
&а = ( А ^ ' й а А |
^ й |
а |
. . . ав), |
|
|||
Равенство (4.15) распадается на р независимых матрич ных соотношений
|
фа (As) |
= |
- |
М , К Л о ^ + м |
/ к~'] |
(4.16) |
|
|
|
(s = |
1 |
, 2.......... р), |
|
|
|
где QJC = M6l\kJQ— субматрица |
матрицы |
Q[k] с |
размера |
||||
ми ks X 1 . |
|
|
|
МаКа = Eka• Поэтому из |
|||
При |
s = а фа (Ас) = |
0, a |
|||||
(4.16) |
получаем |
é£aaik^ = |
Madlak~^. |
|
|
||
Как |
нетрудно |
проверить, 9ta — невырожденная матри |
|||||
ца (det |
= 1 ), так что последнее равенство разрешимо от |
||||||
носительно ОСа4 :
При s Ф er MsKc = 0, а ера (As) в силу условия б) тео ремы— невырожденная матрица. Учитывая это, из (4.16) находим
Qso^ = фа 1(A,) M sla 1]. |
(4.17) |