Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
§ 4] |
РАСЩ ЕПЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ |
251 |
|
Формула (4.17) определяет все субматрицы блочной мат |
|||
рицы Q |
o кроме одной — |
Из вышеизложенного ясно, |
|
что в качестве QÜfa может быть принята произвольная мат рица типа ka X 1 , имеющая производные по т всех по
рядков. В частности, можно принять |
= 0. |
Таким образом, матрица Q[CTfc] определяется полностью.
Через эту матрицу последний столбец матрицы |
выра |
|||||||
жается так: |
Е& = KQlk]. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Остальные столбцы матрицы |
|
(|j£Li „, ..., |
опре |
|||||
деляются соотношениями |
(4.13). |
|
|
|
|
|
||
Остается указать |
способ построения |
членов разложений |
||||||
матриц Ма (т, е) и R (т, |
е), |
обращающих |
равенство (4.9) |
|||||
в тождество. |
|
|
|
|
|
|
(4.10) выполня |
|
Как показано в гл. VIII, § 2, равенство |
||||||||
ется тождественно относительно |
е, |
если квадратную мат |
||||||
рицу |
Г- |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
(т) |
|
|
|
|||
|
М = |
V |
|
|
|
|
||
|
|
*=о |
|
|
|
|
|
|
и члены разложения |
матрицы |
R (т, е) |
определить |
форму |
||||
лами |
|
|
k |
|
Лк-Ч |
|
|
|
уи[0] = м, |
M W = |
г" |
|
|
||||
2 |
кіп м1 |
|
|
|||||
|
|
|
і= |
1 |
|
|
|
(4.18) |
|
|
|
|
—1 |
|
|
|
|
Ra = |
|
|
|
|
Ai Rfc- |
|
||
Rk = — АГ 2 |
|
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
і=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КѴ] = |
(К\п . . . Kf), |
|
|
|
||||
|
|
(іw{4N |
|
|
|
|
|
|
M W =
\м ™
Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены разложения (4.7), посредством которых представляется формальное решение системы (4.3) в форме (4.5) — (4.6). Тем самым теорема доказана.
2 5 2 |
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЕ |
ГГЛ IX |
Аналогичным путем доказывается
Те о р е м а 4.2. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы
А£ (т), Вк (г) (k = О, 1,2, ...) имеют производные по т всех порядков, а А0 (т), кроме того, является невырожденной
матрицей; |
б) |
собственные значения |
матрицы |
U (т) |
= |
|||||
= |
А ^ 1(г) В0 (т) |
разбиты |
на р групп |
А,(а), ..., |
(а |
= |
||||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1, |
р\ |
^ k a = |
ft) при |
условии (4.4); |
в) соответствую- |
||||
«<«<? |
з/?шлг |
О — 1 |
|
подпространства |
R lt |
R 2.......R p явля |
||||
группам |
||||||||||
ются инвариантными и циклическими подпространствами r.-мерного пространства R относительно линейного опе ратора U,которому в некотором базисе отвечает матрица U. Тогда формальное решение системы (4.3) может быть представлено равенствами
|
р |
~ |
|
-г = |
Уі |
Ко (т, е) уа, |
(4.19) |
diJtr |
а=1 |
|
|
~ |
~ |
(4.20) |
|
- f t - = Аа ( Г , е) у0 + м„ (т, е) R (т, е) / (t, т, е), |
|||
где До, Ла, Ма, R — матрицы тшіа соответственно n x k a,
ka X k-a, ka X |
ft, n X ft, представленные формальными ря |
||||
дами |
|
|
|
|
|
Ka (т, 8 )=, |
2 |
е*Д^] (т), |
Л.а (т, в) = |
2 |
(т), |
|
*=о |
|
fc= |
0 |
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
Л4а (т, е) = |
2 |
е*/И™ (г), |
Я (т, е) = |
£ |
е*Я* (т), |
|
*=о |
|
|
* = |
0 |
причем
Л ^ =
есть матрица типа (4.2), а
„ W |
—' |
|
„ т |
|
|
Ö |
■ |
— a ko—Ier |
— “Ааа |
|
1 |
ЧІС |
|||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
•О |
|
0 |
•О |
|
|
|
Члены рядов (4.21) в данном случае определяются сле дующими рекуррентными соотношениями:
а$]==а/0 |
( / = 1 .......... |
ka), |
4 'г] = £ 7 'м А к~ '\
§ Б] П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И СТ Е М Ы 2 5 3
где
d |
r i] |
u k° - xd\’r |
' ] |
+ |
|
|
|
|
i |
/ыО'-і] |
L / - |
' ] |
|||
|
cP |
/д*0 |
“' |
|
л ka-2 |
QO |
|
|
|
|
|
|
|||
причем |
**--о — (A<j |
|
CIQA(j |
|
■ ■ |
ß a ) , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Сб2и • • |
• — |
aha~la |
|
0;CTcC |
||||||
|
|
/ — Сію |
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
а *о |
|
|
||
Arr = |
Ag4 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V |
|
|
0 |
0 |
|
|
... , |
|
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
(СТ= |
1,2, |
|
р), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
1 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
аа |
|
|
|
|
,I ■ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V |
о |
|
|
|
|||||
(Заметим |
попутно, |
что здесь |
|
det èßa = |
(—l ) 2*°(*a ! .) |
||||||||||
Столбцы матрицы / < |
( [ , * |
1определяются так. |
|
|
|||||||||||
Первый |
столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Йа] = |
KQla ] = |
|
|
A . Ä |
|
|
|
||||||
где |
|
Qsa] = |
Фа' (As) MsІ=Дl |
* " 1] |
|
(S * <T), |
|
||||||||
а Qoa — произвольная матрица типа ka x 1 , имеющая про изводные по т всех порядков. Остальные столбцы матрицы
К™ определяются формулами
|
S/a |
— 0'S/— la I, a,ДЧ/— laëia |
-к r/[0],—loSla?[fe]— “ /—laт1] |
||
|
t W |
- п ъ |
Ш |
~T a i |
н 1к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ — 2,3, |
. . . , &a)- |
|
Что касается |
членов разложений |
матриц М а и R, то |
|||
для |
них остаются в силе соотношения |
(4.18), имея в виду, |
|||
что |
/<1 ‘ 1 построены по соответствующим формулам. |
||||
§ 5. |
Приближенное решение системы |
|
|||
Вектор (столбцовую матрицу) хт (/, е), определенный равенствами (4.5) и (4.6) (или (4.19)и (4.20)) в предположении, что в разложениях (4.7) (соответственно (4.21)) оставлены лишь члены порядка не выше т относительно е, назовем приближенным решением системы (4.3). Итак, приближен-
2 5 4 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕП Л ЕН И Е [ГЛ. IX
ное решение представляется равенствами
|
|
|
(t, е) - |
У, |
/(Г 1 (т, г)уіт\ |
|
|
|
|
|
|
( 7 = 1 |
|
|
|
di |
Ааш) (т, |
е) (/а" |
1-f Маш) (т, |
е) /?(п,) (т, е) / (/, т, е), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
т |
|
|
|
|
|
№ (т, е) = |
|
|
Лат) (т, е) = |
*=о e"Aafc] (г), |
|||
S |
е* /^'] (т), |
||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
М'Г» (т, в) = |
S |
е‘л4 ч (т), |
Я1" |
1(*, е) = |
S е*/?* (т). |
||
|
|
k—0 |
|
|
|
ft=0 |
|
З а м е ч а н и е . Для |
построения приближенного реше |
||||||
ния условия дифференцируемости матриц Аѵ, Вѵ, сформули рованные в теоремах 4.1 и 4.2, могут быть ослаблены: для
формального |
построения |
приближенного решения хт до |
|||
статочно существования лишь первых т — ѵ |
производных |
||||
матриц Аѵ и ß v (ѵ < m). |
|
|
т) имеют на |
||
При условии, что матрицы Ач и Вѵ (ѵ С |
|||||
[О, L] производные по т до (т — ѵ + |
1)-го порядка вклю |
||||
чительно, |
а f |
(/, т, е) — непрерывная |
вектор-функция, ре |
||
гулярная |
относительно е |
в окрестности точки е = 0 , име |
|||
ют место следующие оценки для приближенного решения
хт (см. Приложение). |
то существуют |
такие Ej > |
0 и по |
|||||
Если X (0) = |
хт (0), |
|||||||
стоянные |
ст |
> |
0 еа > |
0 (е2 £ |
(0 , ej), |
что |
для |
всех t £ |
e U i . |
с : [ 0 , |
L/ea] ||x — xm|| < |
cmem+' |
( e |
< e a ) . |
|
||
Если, |
помимо сделанных выше предположений, все соб |
|||||||
ственные значения эрмитовой матрицы 1/2 (A -f А*) не положительны, то
\Х— *m||< c meт— 1 |
е б (0 , еО, t € 0 , — |
|||
|
|
|
|
’ 8 |
В случае однородной системы (/1== 0) имеет место оценка |
||||
и - |
т |
|
|
гг), t e |
Х ~ xm||< c m |
6 |
|
|
|
Последняя оценка остается в силе и для приближенного |
||||
решения однородной |
системы, |
представленного в форме |
||
(3.30), (3.31). |
|
е |
(о, |
|
Приведенные оценки свидетельствуют об асимптотиче |
||||
ском характере построенных |
приближенных решений. |
|||
Г л а в а X
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В теории линейных систем автоматического управления широко используются некоторые характеристики систем, которые, являясь носителями довольно полной информации о свойствах системы, оказываются очень удобными при ана лизе процессов в систе ме и, в частности, при определении реакций си стемы на те или иные входные воздействия.
Настоящая глава посвя щается такого рода характеристикам многомерной линей
ной системы (рис.- 1 |
0.1 ), процессы в которой описываются |
||||
уравнением |
|
|
|
|
|
А (t) |
= |
В (t) X + |
Н (I) и, |
det А ФО, |
(0.1) |
где X — матрица |
выходных |
сигналов |
хг, х2.......хп |
(столб |
|
цовая матрица с размерами п х 1 ); и — матрица входных
сигналов иъ |
иг, ..., ut |
(столбцовая матрица с размерами |
|
/ X 1); А, В, |
Н — матрицы динамических |
коэффициентов |
|
системы с размерами п |
х /г, п х п и п х / |
соответственно. |
|
§ 1. Единичная ступенчатая функция и дельта-функция
Ступенчатой функцией действительной переменной на зывается функция, значение которой изменяется только в дискретной последовательности точек разрыва первого рода. Часто используемой в приложениях ступенчатой функцией