Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 5 6

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ . X

является симметричная единичная функция

Опри г < О,

1(2) = 1/2

при

z = О,

(1.1)

1

при

г > О.

 

График этой функции изображен на рис. 10.2.

Дельта-функция Дирака, или симметричная единичная импульсная функция б (а) действительной переменной г, определяется условиями

 

 

 

 

при

t £ [a, b\

ь

~rf<t +

0 )

 

при

t = а,

 

- i - n t - O )

 

при t = b,

 

- r l U t - 0 ) +

n t

0)]

при

t £ (a, b),

 

 

 

 

 

( 1.2)

где а <^b, а /(z) —произвольная функция, являющаяся в окрестности точки z = t функцией ограниченной вариации.

Для произвольных функций f (z), непрерывных в точке z — t, в частности, имеем

 

 

0

при

/£

[а, Ь\,

 

J f ß ) ö ( S - O d £ =

-5-/(0

при

/ =

а и t = Ь,

(1.3)

 

при

t £ (а, Ь).

 

 

.

/(0

 

Полагая / (z) == 1, из

условий (1.3)

получаем

следую­

щие свойства дельта-функции:

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&(г) = 0 ( г ф 0 ) ,

J 6 ( £ ) d |= l ,

(1.4)

которые часто принимаются в качестве определения дель­ та-функции.

Среди функций, понимаемых в обычном смысле, нет функций со свойствами (1.4), б (z) является символической (обобщенной) функцией, с помощью которой функциональ­ ное преобразование / (£) / (/) формально можно пред­

5 1.1 Е Д И Н И Ч Н А Я СТУПЕНЧАТАЯ Ф УНКЦИ Я 257

ставить как интегральное преобразование. Формальное применение дельта-функции приводит к удобным построе­ ниям, позволяющим получить обобщения многих матема­ тических соотношений, ко­ торые, однако, вообще го­ воря, нуждаются в стро­ гих обоснованиях. Мы здесь не будем касаться вопросов обоснования при­ меняемых далее операций с использованием дельтафуикции, отсылая читателя к монографиям, в которых более детально рассмотре­

ны применения дельта-функции Дирака в теории линейных

систем (см., например,

[17, 37, 46]).

Производные 6'

(г),

6" (z), ..., б (.о (г),... дельта-функ­

ции определяются

условиями

ь

=

 

J / © 6

 

 

 

 

0

 

 

при

t£[a, b],

 

 

 

( ~

i y - L f {r) (t +

о)

при

t=

а,

 

 

 

 

( - 1

 

 

 

при

t =

b,

(1.5)

 

 

 

 

 

 

 

( - 1

Y-z-lflr)(t-o) + fir)(t+ o)]

при

t£(a,b),

 

где а <; Ь,

а

f (z) — произвольная

функция,

производ­

ная /(г) (z)

которой имеет односторонние пределы fW (t — 0)

и /('1 (t -f- 0). Соотношения

(1.5) могут быть

получены пу­

тем /"-кратного

формального интегрирования

по

частям

с учетом (1.2) и (1.4).

 

 

производные f<r)

 

Для

произвольных

функций / (z),

(z)

которых

в точке z = t

непрерывны, в частности, имеем

 

b

 

 

 

 

0

при

/е

[а,

Ь],

 

\ f { £)бИ

 

=

 

 

при

t =

а

и t =

ь,

а

 

 

 

(— i)7(n (t)

при

і£(а,Ь). (1.6)

 

 

 

 

В К. А. Абгаряк

2 5 8

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ . X

Согласно приведенным соотношениям в случае совпаде­ ния одного пз пределов интегрирования с моментом дейст­ вия дельта-функции t перед функцией /<г) (/) (г = 0, 1,2, ...) в правых частях соотношений появляется коэффициент 1/2. Это является следствием того, что как дельта-функция, так и ее производные обладают симметрией относительно мо­ мента t. Однако в большинстве случаев, связанных с прак­ тическим применением, коэффициент 1/2 опускают, пред­ полагая такое расширение пределов интегрирования, при котором импульс целиком оказывается в интервале интегри­ рования. Следуя этому, мы также будем считать, что

ь

 

о dl =

ь

б('> (g - t ) d l = ( - 1)7И (t)

J / ©

6м (g -

(

/ ©

i

 

 

t-

О

 

и

 

 

(+0

 

I

 

 

б('>(g— t)dl= (- 1)7И (О.

J /©

б(г)(g-

f)dg =

J /©

а

 

 

а

 

 

Связь между дельта-функцией б (z) и единичной функ­ цией 1 (z) представляется символическим соотношением

с / \

d l (z)

б <г) =

Т ^ ’

которое легко устанавливается, например, с помощью пре­ образования Лапласа:

 

© о

 

 

б (t -

g) = Zr'L [б (/ - g)] = L - 1{ б (/ -

g) e~ptdt =

 

=

L-1 [e-5p] = ZT1{pL [1 (/ - g)]} =

L-'L[ 1' (/ -

g)] =

= 1 '( '- £ ) • П р и м е ч а н и е . Все соотношения настоящего пара­ графа сохраняют свой внешний вид и в том случае, когда вместо скалярной функции / (z) стоит прямоугольная мат­ рица, элементами которой служат скалярные функции с

соответствующими свойствами.

§ 2. Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функции. Импульсная переходная функция

Реакцию предварительно невозбужденной системы на входной сигнал в виде дельта-функции принято называть

импульсной переходной функцией (иногда эту реакцию называют весовой функцией). Допустим, что на /-й вход пред­

ä 2] Р Е А К Ц И Я С И С Т Е М Ы НА В Х О Д Н О Й С И Г Н А Л 2 5 9

варительно невозбужденной системы подается сигнал в ви­ де дельта-функции б (t — 0. На і-м выходе появится выход­ ной сигнал— импульсная переходная функция, которую обозначим через gtj (t, g). Сигнал в виде дельта-функции,

поданный

на /-й вход, вызовет

на разных

выходах систе­

мы, вообще говоря, разные сигналы gp

(t, £), g2j {t, £), . . .

gni

 

W- С другой

стороны,

сигналы

в виде дельта­

функции,

поданные на

разные

входы,

вызовут

на одном

и том же

(например, і-м) выходе разные

выходные

сиг­

налы

gn

(t, l),

gi2 (t,

g) , ...,gu (t,

0.

Многомерная

ли­

нейная система с I входами и п выходами

характеризует­

ся пі

импульсными переходными функциями

 

 

 

 

gii(t,l)

(і = 1,2, . . . .

п-

j =

1,2,

 

 

 

Эти функции удобно собрать

в одну

матрицу

G (t,

£)

с

размерами п х

/:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£п(*.Ѳ g ^

l )

 

gu(t, 5)

\

 

 

 

 

 

gl1 (С i)

g22

Ю

'

g2l (С І)

 

 

 

 

 

 

g,a(t,t)

gn2(t,&

 

gm{t,l)J

 

 

Столбцы матрицы G (t,

£)

обозначим

через

gj

(t,

£):

Каждый такой столбец представляет собой набор им­ пульсных переходных функций по всем выходам системы, отвечающий какому-нибудь ее входу.

Выходные сигналы не могут появиться раньше, чем бу­ дет приложен входной сигнал, поэтому в реальных систе­ мах

g u { tl) = 0 при t < t

Это свойство реальных систем принято называть усло­ вием физической осуществимости или физической реализуе­ мости системы.

9*

Смотрите также файлы