Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
2 6 2 Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М [ГЛ . X
Отсюда
|
о с |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
J G(t,®u(t)dZ = B(t) |
J G{t,l)u{i)dl + |
|
H{t)u{t). |
||||||||
|
— с о |
с |
(0.1), |
получаем |
— оо |
|
|
|
|
|
||
Сравнивая |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
J G(t, l)u ( l)d t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
во внимание, что п(^) = |
0 при 5 < |
^ |
0(система |
|||||||
до |
момента |
t0 находилась |
в невозбужденном |
состоянии) |
||||||||
и учитывая |
условия |
физической |
реализуемости |
системы, |
||||||||
имеем |
|
G(/, 5) и © |
= |
0 |
при |
I < /0, |
j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
G(t,l)u(l)=s 0 |
при |
l > t , |
J |
|
|
||||
и |
поэтому |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
j G(t,l) u(l)dl. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
К |
|
|
|
(3.1) |
представляет |
|||
|
П р и м е ч а н и е . |
Соотношение |
||||||||||
связь между |
входными и выходными сигналами системы в |
|||||||||||
общей форме. Если в качестве начала отсчета времени (пер вый аргумент импульсной переходной функции) принять момент подачи входного сигнала,то аргумент t импульс
ной |
переходной |
функции |
должен |
быть сдвинут на |
вели |
||||
чину |
I |
(рис. |
10.3). |
Учитывая |
это, |
импульсную |
пере |
||
ходную |
функцию |
более |
детально |
следует записывать |
|||||
как |
G ( і — I, |
I). |
В |
соответствии |
с |
этим формула |
(3.1) |
||
5 41 |
Р Е А К Ц И И С И С Т Е М Ы НА В Х О Д Н О Й С И Г Н А Л |
2 6 3 |
предстанет в виде |
|
|
|
t |
|
|
* = |
(3.3) |
Расширяя нижний предел интегрирования (с учетом (3.2)), связь между входными и выходными сигналами си стемы можно записать и так:
I
* = J |
(3.4) |
§ 4. Реакции системы на входной сигнал в виде производной и интеграла от дельта-функции
Рассматривая входной сигнал в виде производной г-го порядка от дельта-функции и учитывая (1.6), получаем
t
J G (t, t')&lr) (t' - 0 dt' = ( - 1 у |
• |
Значит, входной сигнал в виде производной от дельта функции г-го порядка вызывает реакцию (см. (3.1))
Gr (U ) = ( - ! ) '
Можно показать, что Gr (t, 0 удовлетворяет дифферен циальному уравнению
А (0 = В (/) G, + H (0 S(r) (t - 0 (4.1)
при условии
Gr ( l - 0 , 0 = 0 .
Действительно, дифференцируя левую и правую части уравнения (2.4) по £ г раз и учитывая, что
■= ( - У6^Г6) = ( - і)гб(г) (t - Ю,
придем к соотношению (4.1).
Теперь рассмотрим входной сигнал в виде интеграла от t
дельта-функции J 6 (т— 0 dt, который представляет собой
^0 единичную ступенчатую функцию.
264 |
Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М |
[ГЛ . X |
|
|
Согласно (3.1) |
|
|
|
S) dT dt' == j' G (l, t') 1 {t' — £) dl' = |
|
|
|
= [G(è, t') 1 {t' — l)d f = |
\G{t, |
t') dt'. |
|
I |
'l |
|
Реакцию системы на единичную ступенчатую функцию 1 (/ — £) называют обычно переходной функцией. Поэтому
матрицу
t
F{t,l) = \G {tJ ')d t’ |
(4.2) |
6 |
|
можно рассматривать как матрицу переходных функций многомерной системы.
Дифференцируя (4.2) по получим выражение матри цы импульсных переходных функций линейной системы через матрицу ее переходных функций:
3 F (t , S)
dl
Матрицу переходных функций можно трактовать как решение дифференциального уравнения
Л ( 0 ^ - = = Д ( 0 ^ + Я ( 0 1 ( / - Ю |
(4.3) |
при начальном условии
F ( g - o . ! ) = - 0.
В самом деле, интегрируя левую и правую части урав нения (2.4) по I от 0 до t, имеем
I |
|
і |
I |
A { t ) ^ \ G { t , l ) d l |
= B{t) j' |
G{t,l) dl + H{t) j ö ( / - | ) d | . |
|
Отсюда, |
так как |
|
|
t |
|
I |
|
\ d { t - l ) d l = [ d { z ) d z = \ { z ) = \ { t - l \ |
|||
получаем |
|
|
|
А(0 |
\G (t, 0 |
df = Я(t) |
[ G {t, 1)dl + H (l) 1 (t - 0, |