Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 173

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 5]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАЧАЛ ЬНЫ Х

УСЛОВИЯ

265

что

совпадает

с (4.3), ибо

 

 

 

ft

G(t, 0 d g = I\G(t, t)d l=

F (t, l).

 

0E

§5. Преобразование начальных условий на выходе системы в эквивалентный входной сигнал

До сих пор процессы в линейной системе при воздейст­ вии входных сигналов рассматривались в предположении, что до начала подачи входных сигналов система находи­ лась в невозбужденном состоянии.

Допустим теперь, что система, состояние которой опи­ сывается уравнением

ИY

(5.1)

A ( t ) ^ - = B(()x + H ( { ) u ( t ) \ ( t - l ) ,

к моменту £ приложения входного воздействия уже нахо­

дилась

в

возбужденном

состоянии,

так что

 

 

 

 

X (£ — 0) =

(а'£ Ф 0).

 

(5.2)

Подберем такой дополнительный сигнал

f (t, £), чтобы

на выходе предварительно

невозбужденной

системы полу­

чить процесс, тождественный при

t >• £ +

0 процессу на

выходе

возбужденной

системы. Другими

словами,

надо

найти такую функцию / (t,

£), чтобы решение уравнения

 

 

л

 

 

 

 

 

 

A(t)

- £ - =

B ( ß ) x + H ( f ) u ( f ) i ( ß - $

 

(5.3)

удовлетворяющее

условию

 

 

 

 

 

 

 

* ( S - 0 ) = 0,

 

(5.4)

при t

I + 0 совпадало бы с решением уравнения

(5.1),

удовлетворяющим условию (5.2), т. е.

 

 

 

 

 

х(() = х(()І ( / - £ ) ,

 

(5.5)

где X (/)

иX (f) — решения

соответствующих уравнений,

удовлетворяющие условиям (5.2) и (5.4) соответственно. Продифференцируем (5.5) по t:

2 6 6

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И СТ Е М

[ГЛ. X

Исключая из полученного равенства производные с помощью дифференциальных уравнений (5.1) и (5.3), имеем

B(t)x + H(i) и

+

£) =

= B ( t ) x + H (t)u{t) 1

( t - l ) + A (t) x { t) b { t - l) .

Отсюда при

t > £ -f- 0

 

/(*. $ = A ( t) x ( t) b ( t - Q

или, в силу свойства дельта-функции,

f(t, ® = A(Z)x(Z)6(t-t),

причем X (£) = а- (£ — 0), так как выходная функция х, как решение линейного дифференциального уравнения (5.1), непрерывна в точке

§ 6. Определение дифференциального уравнения по импульсной переходной функции

Пусть задана п х /-матрица G (/, £) импульсных пере­ ходных функций линейной системы и требуется найти со­ ответствующее ей векторно-матричное уравнение вида (0.1). Два векторно-матричных уравнения, каждое из ко­ торых получается из другого путем умножения слева или справа на невырожденную непрерывную квадратную мат­ рицу соответствующего порядка, представляют две экви­ валентные системы в том смысле, что при произвольном входном сигнале и (/), подаваемом на обе системы одно­ временно, выходные сигналы этих систем будут также идентичны. Поэтому заранее матричный коэффициент при производной от матрицы выходных сигналов примем равным единичной матрице: А (() = Е. Тогда (см. (2.3))

G(t, g) = X ( t ) X ~ ' ® H ® .

Отсюда, полагая / =

находим

Я (0 = <?(&. Ѳ-

Значит,

G(t,l) = X(t) X -1(t)G(t l),

И поэтому связь между матрицей и входных сигналов

5 в]

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я ПО Ф У Н К Ц И И

2 6 7

и матрицей х выходных сигналов системы представляется в следующем виде:

х = { X(t)X~' (t') G(/', t')udt'.

Продифференцируем обе части последнего соотношения по t:

I

Ч Г

= ~ 1 Г I Х_1

0 (*'• п

udi' +

х

W Х_І w G (*■

ц-

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

= J X p - X - ' { f ) x + G ( t , t ) u

 

(6.1)

Матричное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(t,® = G0(t,t)G (l

I),

 

 

 

где

G0 (t, £) =

X

(t) Х~'

(g),

разрешимо

относительно

G0 (/, £), так как ранг матрицы G' (£, £) равен рангу расши­

ренной матрицы

(G' (/, I)

G' (g,

£))

(см. замечание в

конце

§ 2).

Поэтому,

предполагая

матрицу

G0 (G £)

известной,

матрицу уравнения (6.1) можно определить так.

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дОр (t> £) _

d X

(t)

у —1/£\

 

 

 

Отсюда

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<tX (f) у —1

,,4

_

dGp (t, %)

 

 

 

 

 

 

dt

A

(G —

 

dt

 

 

 

 

 

Таким образом, искомое дифференциальное уравнение

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ЗГ

дОр{і, £)

f.=i X +

G (/,

и.

 

 

 

dt

 

 

 

З а м е ч а н и е ,

dGp (t, ?)

 

 

есть

решение

матричного

de

s=l

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OG (t. 5)

QG0(<, E)

 

t=t G { 1 ,

 

 

 

 

dt

£=f

 

dt

 

l ) .

 

 

2 6 8

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ. X

§7. Построение импульсной переходной функции

7.1.Стационарная система. В случае стационарной си стемы А, В и Н — постоянные матрицы. Фундаментальная

матрица X (t) однородного векторно-матричного уравнения имеет вид

X (і) = eul

(U = A~lВ).

В соответствии с этим матрица импульсных переходных функций стационарной системы

G (t — g) = еи и~^А~1Н.

(7.1)

Если ./ — жорданова форма матрицы U, а /( — соответ­ ствующая преобразующая матрица, то в силу (7.1)

G (t -

I) =

Ke и~1)МА~'Н

(М = К*').

Пусть

diag (J! (A,j),

J2 (Я2),

. . . , Jр (kp)),

J

где

Ji (^т) =

ßki’ T- ^ki-

 

 

 

Тогда, представляя К и М в виде блочных матриц:

К =

(Кг К2

 

М *

 

 

 

 

 

 

 

\

Мр )

где К[, М с — матрицы типа п х /г,- и kt х

п соответственно

(k[ — порядок

жордановой

клетки

У£ (А.,-)), будем иметь

G (t - 0

= У. K tY t (t -

ö M iA -'H .

 

 

/=t

 

 

 

Здесь (см. гл. VII,

§ 5)

 

 

 

Yl (t — l) = eJi^i) {t- l) =

 

" > <

 

1

•

1)1

 

 

 

 

(ft/ —

 

 

 

 

V - 1)

b __•)

(' - 5 >

0

1

t - ъ

‘ ■

 

•

2)1

 

 

 

 

(kt -

 

•

*

 

 

 

 

О

О

0

1

 

 

 

 

 

1

§ 7]

П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й

П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 269

 

7.2. Нестационарная система.

Для построения

 

7.2.1. О б щ и е с о о б р а ж е н и я .

матрицы импульсных переходных функций

(2.3) требует­

ся

знание фундаментальной

матрицы X

(і)

однородного

уравнения (2.1). В случае произвольного дифференциаль­ ного уравнения (2.1) определение X (t) сопряжено со зна­ чительными трудностями, и не всегда эта матрица может быть выражена в замкнутой форме. Поэтому, имея в виду произвольную линейную нестационарную систему, можно говорить лишь о приближенном построении импульсных переходных функций. Приближенное выражение импульс­ ной переходной функции можно получить, если известна приближенно фундаментальная матрица уравнения (2.1). Так, если Хг (t) яа X (t), то согласно (2.3)

G (t, §)« Gw (t, Ѳ = Gp (i, l) А~' (g) H (g),

где

GP (t, l) = Хг (t) Х7' ©■

Возможны различные пути построения приближенного выражения фундаментальной матрицы уравнения (2.1), а значит, и матрицы импульсных переходных функций

C(r) (t, I), и существующая литература содержит описания некоторых способов такого построения [34, 46]. Мы ниже приведем один метод построения приближенного выраже­ ния матрицы импульсных переходных функций, основан­ ный на использовании разложения в ряд фундаментальной матрицы однородного дифференциального уравнения по сте­ пеням искусственно вводимого параметра е. Общая идея этого метода заключается в следующем.

Привлечем к рассмотрению вспомогательное уравнение

 

-§ -

=

£/ (т) -V

(U = А - 1В, т = гі),

(7.2)

которое при

е =

1

совпадает с уравнением (2.1).

Допустим,

что

нам известно

разложение (сходящееся

или

формальное)

фундаментальной

матрицы

уравнения

(7.2)

в ряд по степеням параметра

е, т. е.

 

 

 

 

X (t, е) =

2 e,kX w

(if),

(7.3)

 

 

 

 

 

φε= 0

 

 

 

Смотрите также файлы