Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 7 0

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И СИ СТЕ М

[ГЛ. X

частичные суммы которого, а именно

 

.

i>zkX w (t)

(л = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,

 

 

к—0

 

 

могут быть приняты в качестве приближенного выражения фундаментальной матрицы. Тогда приближенное построе­ ние матрицы G0 (t, £) удобно провести одним из следующих

двух

способов.

 

 

1.

Принимая

 

 

 

Хг (t, е) =

2 skX W (t, т),

 

имеем

 

ft=о

 

 

 

 

 

G&r,(*,S.e) =

Xr (/,e)X r1(g,e).

(7.4)

Отсюда, полагая е = 1 и учитывая, что при этом урав­ нение (7.2) переходит в уравнение (2.1), получим прибли­ женное выражение матрицы Коши уравнения (2.1):

&o)(t,Z )= X r(t)X7l ®.

(7.4а)

2. Имея разложение (7.3), можно и G0 (t,

е) разло­

жить в ряд по степеням параметра е. Для этого нужно сна­

чала представить в виде ряда по степеням

е обратную мат­

рицу Х~1(t, г). Полагая

 

 

 

 

 

X - 1(t, е) = 5 %kZw

(*, т),

 

 

 

fe=0

 

 

 

 

из условия тождественного выполнения равенства

 

 

X{t,

е)Х - 1 (/, е.) — Е

 

 

получаем рекуррентные

соотношения

 

 

2[0]=

 

 

 

 

 

 

Zm = — Z[0] З1.X lnZl*~n

 

(k =

1,2, ...).

 

 

i=1

 

 

 

 

 

Группируя коэффициенты при одинаковых степенях е,

получаем

 

 

 

 

 

 

G0 (t, 1,в) = Х (t, e) X -1(I

e) = І

e ^ " 1 ,

(7.5)

где

 

 

 

/г=0

 

 

 

 

 

 

 

G[°] =

Xt°] (^ -г)Z [0](£, T.),

TE=

eg,

 

GU] = £

(л T) Zlk-M

}

(/e =

1,2, 3, . . .).

 

i-i

 

4

 

 

 

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 271

Ограничиваясь в разложении (7.5) некоторым числом г первых членов, получим соответствующее приближенное выражение матрицы Коши уравнения (7.2):

Go0 (t, е) = É BkG}f\

(7.6)

lt=о

 

Отсюда, полагая e = 1, получаем приближенное выра­ жение матрицы Коши уравнения (2.1):

Оо} (і, I) = Ѣ С (U Ю-

(7.6а)

*==о

 

По матрице G(0r) (t, g), полученной первым или вторым способом (по формулам (7.4а) или (7.6а)), легко определить и приближенное выражение матрицы импульсных пере­ ходных функций:

G(r) {t,l) = G[r) (t, l)Â~x(g)tf(g).

З а м е ч а н и е . G^’ (t, g, e), построенные по формуле (7.4) и формуле (7.6) с точностью до членов, содержащих гк (k >• г -+- 1), совпадают, т. е.

 

Goi> (t, g, е) -

GÖii (t, g, e) =

B'+'AG^1(f, g, e),

 

 

где AGjT’

(G g, e) — функция, регулярная относительно

e

в окрестности точки

е =

0. Исходя

из этого, г-е прибли­

жения, полученные одним и другим

способом, следует рас­

сматривать как эквивалентные, так что выбор того или

иного способа построения G^\t, g)

в каждом конкретном

случае нужно производить, руководствуясь соображениями

удобства

в

практическом применении.

 

 

7.2.2.

 

П р и м е н е н и е

а л г о р и т м а

а с и м п ­

т о т и ч е с к о г о

р а с щ е п л е н и я . Алгоритм расщеп­

ления системы линейных дифференциальных уравнений на

подсистемы

уравнений

меньшего

 

порядка, описанный

в

гл. VIII,

позволяет свести задачу по построению разложе­

ния фундаментальной матрицы уравнения (7.2) в виде ряда

по степеням параметра в к более простой задаче построения

такого разложения

для

подсистем

расщепленной

системы.

Пусть собственные значения матрицы U (т) = А~](т) В (т) на рассматриваемом промежутке изменения аргумента раз­ биваются на некоторое число р непересекающихся групп

272

Д И Н А М И Ч Е С К И Е

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И

СИ СТЕ М

[ГЛ. X

 

К[а),

...,

ХІИ (а =

1, 2,

р; 2

А0

= п). Тогда

в со-

ответствии

с материалами

сг=1

асимптотическое

главы

VIII

выражение фундаментальной матрицы уравнения (7.2) мож­

но

записать

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

х

(*. е) = (^і (х- е) • •

•

КР{і, в)) diag (Y^t, в), . .

Yp(t, 8)),

где Ya (t, e) — асимптотическое

выражение фундаменталь­

ной

матрицы

подсистемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dya

~

 

 

 

 

 

 

 

 

~ а р =

л а(Ч е)Уа

 

 

 

расщепленной системы.

 

 

 

 

 

 

 

Матрицы

Ко (т, е)

и А „

(т, е)

имеют

размеры п X Іга

и Аст X Ао соответственно и представляются рядами

 

 

 

Ко ( Т е)1 — К а (т) 4"

8 /(,т

 

 

 

 

 

 

 

 

É=1

О >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7-7)

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

Лет (т, е) — Лог (т) -}-

2

ек

 

(т).

 

 

 

 

 

 

 

 

fc=1

 

 

 

 

Члены первого ряда (7.7) определяются по формулам

 

 

W = K Q P

 

( А =

 

1 , 2 , 3 ,

. . . ) ,

где К = (К1 ... Кр) — матрица преобразования

матрицы U

к квазидиагональному

виду

Л =

diag (Лѵ ...,

Ар); Qо1—

блочная

матрица типа

п

X Аа, состоящая

из

блоков

(s— 1,2,

... р) с размерами As X Аа. При s Ф о блоки мат-

рицы QC

однозначно определяются уравнением

 

 

 

 

AsQlso =

<3^а]Лст +

Л іД Ы 1,

 

где Ms — s-й блок матрицы

(

М,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м = к~' =

 

 

 

 

 

 

о Г ,] =

dK$~11

+

2

К1сПЛ1а' П

 

( K P s

Ko).

 

dx

 

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 2 7 3

Блок Qga матрицы

может

быть выбран в достаточной

мере произвольно. Для

удобства можно принять

 

при всех k и а.

 

 

Qcra

=

0

 

 

 

(7.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Члены второго ряда (7.7) при условии (7.8) выражаются

формулой

 

 

M0D V‘~"

 

(k= 1,2,3, ...).

 

Л[0';] =

-

 

 

Построение

Gor) (t, £)

можно

провести следующими пу­

тями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Полагая

Xr(t, е) =

К{г) (т,

е) Y {r) (t, г),

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К г) (т,

е) =

( Я ( т , е)

К? (т, в) .

/(<;' (т. е)),

 

Ylr>(t,

8) =

diag (ГК1(t, г),

YP (t,

e),

. . .,

Y<r) (t,

e)),

 

 

 

K a ] (T, e) =

У

e l!K

a ] (T),

 

 

 

 

 

 

*=o

 

 

 

 

 

а Y ^ (t, e) — фундаментальная матрица уравнения

 

-

Л<г (т, б ) і)Ѵ

іл'г) (т, е) -

V

(т) ), (7.9)

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<%' (t, £, е) =

 

(т, в) Ylr) (t, б )

 

& б ) К (п~1(т. . е)

 

 

 

 

 

 

 

 

(ТЕ = Ф

(7.10)

и, следовательно,

при е — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GP (t, 1) = K r) (t) Y {n (t) Y ln~]K(r)~' ß).

(7.11)

2. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z„(t,z) =

I-

B Z ^ ( t,

X)

 

(7.12)

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

удовле-

— квадратная матрица порядка

£а,

тождественно

творяющая равенству

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

Y0(t,e) Za(t,e) = Ека>

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7,131

 

 

 

Ма (Ч е) =

^

вкм[,;](т)

 

 

 

 

 

 

к=0

 

 

 

 

Смотрите также файлы