Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я

3 1 5

При этом Ktа, ate (і — 1,2) — матрицы типа соответствен­ но п X ka, ka X ka, представляемые формальными рядами

^

со

^

со

 

 

кш(х, е) =

2

БМ а] (Т).

а,ст(т, е) = 2

еМ а1 СО- (2

.1 0)

 

fc=

0

 

*=о

 

 

Для д о к а з а т е л ь с т в а

теоремы

достаточно

по­

казать возможность построения членов рядов (2 .1 0). Вектор q, определенный равенствами (2.8) и (2.9), под­

ставим в систему (2 .6 ) и в полученном выражении прирав­

няем нулю коэффициенты при za и d z jd t:

 

(m0 + em j

yC\aCC\(j(X2o— ^2 aa 2 a ■

 

 

 

 

 

 

^xla ~

 

~

^ad2 a 'l ,

„о

d'4 o

1 ,

+ e

\ —

2 1

FT a2° — Хіа ~ іГ ) +

8"

 

+

4

- er I — xiaa 2c, + e

) 4* (^o +

e^i) x2 <*—

{m0 + effij)

X i a ^ l a

—

X2aOSj(j — ^ l a ^ 2 a

 

 

(2 . 11)

 

 

 

+ e 2

rfx2o

 

2

dx la

 

da la

+ £ 2

rf2*la

dx

—

dx

 

• OSicr — ^la ’ d t

 

dx2

 

I

 

 

 

 

 

ti/Vj0 I

 

 

 

-j-er yx2 o— ^icK^io4" e — — j 4" (^o4~ e^i)xicr= 0

( a = 1,2, . . . . p).

В равенства (2.11) подставим ряды (2.10) и отделим сна­ чала коэффициенты при е°. Будем иметь

,...[0 ]

- -

ѵ[0 ]

[0 ]

—

[0 ]

[0 ]

[0 ]

и л 2

о

К о о

^ 2 о

у л о

^ia ^2a >

,,v [0]

...

„[0]

[Oj

,

[0]

[0]

(2. 12)

v[0 V/ [ 0 ] 2

U

K \

Q

-

K\Q CCOG

“ Г

X 2 0

W -la

 

 

■K\Qa la .

В силу условия (2.7) можно построить блочные матрицы к, а, р., удовлетворяющие равенствам (1.4) и (1.5), причем все эти матрицы будут, иметь, как и и, производные всех порядков.

Положим

 

al°a] = 0,

K]a = 0,

a $ ^ a a,

х $ =

х0. (2.13)

Тогда

равенства

(2.12)

будут выполняться

тождест­

венно.

Далее, приравняем в (2.11)

коэффициенты при

3 1 6 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ . X II

e-k (k = 1,

2,

...). Получим, принимая во внимание (2.13),

ш 4 а ] = 4 а 3« а + Х а 4 £ 3 -f 4 о ~ 1]

(t = 1 , 2 ; k = 1 , 2 , . . . ).

 

dia

 

(2.14)

Через

|] (t = 1, 2) обозначены выражения, завися­

щие лишь от величин до (k — 1 )-го

приближения включи­

тельно. Так,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 а = — Г П о 1 Г Х п — 2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

doCT =

гпо 1 (щк 0 а о — І^Ко)]

 

 

 

4а

=

m0 1

ftli f Ха4а3

П],

 

— rXsa — ^[.a +

Ч- ttloJaa — 2

dx

 

 

 

 

 

 

I J l U ' l

, J

‘L[II

о

d4a3

 

 

 

 

 

 

-f-X2 aCC|a

-rXlo&2a

— * —-rr—

4о

=

Wo 1

Wj (XaCC2 a3

~f-

Г (4 o^o — ~~dx ) — ^jxla

 

 

 

 

 

 

dxHl

 

[l] d a o

d 2x„

 

 

— 4 a 14 a «а +

«

2 a « 2 0

-+- 2

Ha

 

 

 

 

dl ■cca -I- x,CT-

dx

d T-

И T. Д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что 4/J.

4o

( £ = 1 , 2 ;

/ = 0,

1, ...

...,k — 1)уже найдены. Тогда k-я пара равенств (2.14) впол­ не определяет величины следующего приближения 4 a3. 4 a1.

Действительно, эти равенства, как

легко проверить

непо­

средственной подстановкой,

используя соотношения (1.4) —

(1.5), обращаются в тождества, если

принять

 

 

 

 

4 а 3 =

щ {$ ,

 

 

 

 

 

 

 

(2.15)

 

„W -

„ „т

 

.niklrt

 

и

у

 

 

(2.16)

где

Ща —&оЧіоо'

Чіоо'-Ьа— I+GUi(j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'4Й

 

 

 

 

 

 

4a1 =

p 4 a 3 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

*а

типа

— матрица типа п х /г0, у которой субматрицы

4

ks X ka

при s ^ o

представляют

единственные

решения

алгебраических систем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

asVLcr — 4sa®a Ч~ (Ts4a

3

(S ¥= о),

 

 

(2.17)

а <7iaa —

произвольная,

достаточное

число

раз

дифферен­

цируемая квадратная матрица порядка ka.

 

 

 

 

5 2]

ФОРМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

317

Приведенные рекуррентные соотношения позволяют последовательно определить члены рядов (2 .1 0).

Вышеизложенное остается в силе и при s = 1. Удерживая в рядах (2.10) конечное число первых сла­

гаемых, получим приближенно расщепленную систему.

2.2. Случай простых собственных значений. Если все собственные значения матрицы и на рассматриваемом про­ межутке изменения аргумента остаются простыми, то мож­ но, произведя разбивку собственных значений на п групп (по одному собственному значению в каждой группе), при­ вести исходную систему к п уже скалярным дифференциаль­ ным уравнениям второго порядка (вида (2.9)). В этом слу­ чае члены рядов (2 .1 0) определяются соотношениями

 

М

_

,

[ft] _ n

x Л*]

где

CS/cr

— — ЦоЩ а

Х м

— г aU-ia

-p лсгу/асгі

 

 

D

__ V 1

X sH-S

 

 

 

И а

~

Z J

V S - V CT ■

 

2.3.Неоднородная система. Для неоднородной системы

[т0(т) + гт1(т)]

+ гг (т)

+

[ / 0(т) + еІг (т)] q = Фо + еф,

имеет

место

 

 

 

 

(2.18)

2.2. Если а) m0, т 1, г, l0, lv ф при 0 < г <

Т е о р е м а

<: L, 0

<

( <

L/'e (

0 <

е) имеют производные по х всех по­

рядков,

б)

det т0 (т)

Ф 0

(т £

1 0,

Ц), то, предполагая, что

собственные значения матрицы и разбиты на р групп при условии (2.7), систему (2.18) посредством подстановки

 

 

<7= 2 d

~

 

âzQ

~

 

(2.19)

 

 

*іч(т»е) -Т7~ +

х2 а(т, г)га

 

 

 

 

<j=i

 

 

 

 

 

можно преобразовать к виду

 

 

 

 

 

d~za

 

~

dz0

~

 

e%o

(2.20)

~^а~ +

(Т, 8) —^ --- (- &2о(^> в) zo = "Фоа +

 

 

 

 

(СГ= 1 , 2

, ... ,/?).

 

 

При этом

Кіо,

(/ =

1,2) — матрицы типа соответст­

венно

п X ko,

ko X ko,

определенные формальными

рядами

(2 .1 0),

а

ф/а (J = 0

, 1) — ko-мерные векторы

(столбцовые

3 1 8 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И И [ГЛ. X II

матрицы), представляемые формальными рядами

СО

 

Ф/с = 2 e S ^ .

(2.21)

*=о

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставив вектор q, опре­ деленный равенствами (2.19) и (2.20), в (2.18) н приравняв в полученном соотношении нулю коэффициенты при га, dzjdt и свободный член, получим равенства (2 .1 1), которые обращаются в тождества, если члены рядов (2 .1 0) опреде­ лены по формулам (2.15), (2.16), и равенства

 

р

d*io_

 

 

 

К + е/Пі) Yi

^lo«la "I- ^2 ст Ф/с +

 

dx

 

 

Ü= 1

 

 

 

 

“Н Klo

5 Ф/а

дф/а

 

а = 0 , 1 ) (2

.2 2)

dt

8 дх

 

 

 

 

 

(ф/а рассматриваются как функции и от t,

и от т).

 

Для доказательства

теоремы поэтому

достаточно

по­

казать, что могут быть построены ряды (2 .2 1), обращающие

равенства

(2 .2 2) в тождества.

 

Введя обозначения

 

 

 

 

ѵ-і =

{Кі\Хц ... Kip),

 

 

«п

 

 

Фл"

 

«12

 

0

Ф/2

 

 

ф/ =

 

 

 

,

 

0

■ •

 

 

 

 

«Ір_

_ Ф/Р _

 

 

 

 

представим (2 .2 2) в виде

 

 

(т04- em j

2 е "dT —

 

+ Х 2 Ф/ +

 

+ * 1 ( т

+ е - T F T ) + е™ і Ф / =

(/ = 0 , 1 ) . (2 .2 3 )

§ 2]

Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я

319

В равенствах (2.23) приравняем коэффициенты при оди­ наковых степенях е. Получим, принимая во внимании (2.13),

 

 

т 0* Ф/ ° ] =

Ф/,

 

 

 

 

= — т0 (

 

+ хі’]

 

/«іИф/01,

т0к\р1Р = — m0l4

]I1^ 1] + ^

2 ---- ------x\i]a\'] +

и|2 ])ф(0 ] -j-

+ Xl У di

'

дтГ~Ij

Л'

~

t

- r ^ w

r

 

 

 

,11] _I

,Ді].і,[0] I

Л 1 ]

[ 0]

 

 

 

â ^ i

 

- m j x ^ r + x ^ i i r + x!

дх

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

(2.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (*н Ч г ]

• • ■и/p1).

 

 

 

 

 

’ <Z\Ш1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Jft]

 

 

 

 

а[*]

 

 

С С | 2

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а [ft]IP _

 

 

 

 

-lb[ft] '

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф/i

 

 

 

 

 

 

 

 

...[ft]

 

 

 

 

 

 

 

 

Wj-2

 

 

 

 

 

 

W

-

 

 

 

 

 

 

_ ^/P] .

Умножая обе части всех равенств (2.24) слева на рлг0 1, будем иметь

# ] = р ^ ]

(£ = 0,1,2, . . . ),

(2.25)

Смотрите также файлы